微積分 第3版 課件 2.2 函數(shù)無(wú)窮小與極限

2.2函數(shù)無(wú)窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點(diǎn)極限

在數(shù)軸上,常量對(duì)應(yīng)于定點(diǎn),變量對(duì)應(yīng)于動(dòng)點(diǎn).我們用表示自變量x無(wú)限接近但不等于

即且動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)的距離無(wú)限接近0.考察函數(shù)和

當(dāng)時(shí),

無(wú)限接近0,無(wú)限接近1,我們說(shuō)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是

0,是無(wú)窮小,也稱(chēng)當(dāng)時(shí)而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無(wú)窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱(chēng)當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作由可得其中

C為正數(shù).無(wú)窮小比較定理顯然,

即當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小.例2.3證明證因由有例2.4設(shè)證因由

有

證明練習(xí)證明證因而所以例2.5證因不妨設(shè),

顯然有,

證明即,

故.

對(duì),

有

而所以我們用表示點(diǎn)x從的

右側(cè)無(wú)限接近但不等于的過(guò)程.我們用表示點(diǎn)x從的

左側(cè)無(wú)限接近但不等于的過(guò)程;單側(cè)極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義,

分別稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)的左極限與右極限.等價(jià)于

定理2.2(極限與左、右極限的關(guān)系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限考察函數(shù)

我們用表示x無(wú)限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn),即無(wú)限增大的過(guò)程.

當(dāng)時(shí),無(wú)限增大,因此無(wú)限接近0,

我們說(shuō)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是0,也稱(chēng)當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無(wú)窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱(chēng)當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱(chēng)當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作的幾何意義:之內(nèi).函數(shù)的圖形完全落在帶型區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無(wú)窮時(shí)由可得其中

C為常數(shù).例2.7證明證由有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設(shè)

當(dāng)時(shí),因例2.8證明證由有當(dāng)時(shí),不妨設(shè)

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義.

等價(jià)于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質(zhì)證設(shè)取有即在

的空心鄰域內(nèi)有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號(hào)性)

證只需證第一部分.

不妨設(shè)(1)若因即于是設(shè)則在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)與A同號(hào).(2)如果在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)2.2.4

無(wú)窮大考察函數(shù)

當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).

任意給定的正數(shù)M,無(wú)論M多么大,

就有

我們稱(chēng)當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大.是無(wú)窮大,

是正無(wú)窮大,

定義2.4記作如果則稱(chēng)當(dāng)時(shí)

不會(huì)和任意一個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限接近,因而極限不存在.注意:當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大,

如果且