微積分 第3版 課件 2.2 函數(shù)無窮小與極限

2.2函數(shù)無窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點極限

在數(shù)軸上,常量對應(yīng)于定點,變量對應(yīng)于動點.我們用表示自變量x無限接近但不等于

即且動點x到定點的距離無限接近0.考察函數(shù)和

當(dāng)時,

無限接近0,無限接近1,我們說當(dāng)時函數(shù)的極限是

0,是無窮小,也稱當(dāng)時而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時,

則稱當(dāng)時的極限是0,

或稱當(dāng)時,如果A是常數(shù),且

則稱當(dāng)時的極限是A,

記作由可得其中

C為正數(shù).無窮小比較定理顯然,

即當(dāng)時,是無窮小.例2.3證明證因由有例2.4設(shè)證因由

有

證明練習(xí)證明證因而所以例2.5證因不妨設(shè),

顯然有,

證明即,

故.

對,

有

而所以我們用表示點x從的

右側(cè)無限接近但不等于的過程.我們用表示點x從的

左側(cè)無限接近但不等于的過程;單側(cè)極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義,

分別稱為f(x)在點的左極限與右極限.等價于

定理2.2(極限與左、右極限的關(guān)系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數(shù)在無窮遠的極限考察函數(shù)

我們用表示x無限地遠離坐標原點,即無限增大的過程.

當(dāng)時,無限增大,因此無限接近0,

我們說當(dāng)時函數(shù)的極限是0,也稱當(dāng)時是無窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時,

則稱當(dāng)時的極限是0,

或稱當(dāng)時,如果A是常數(shù),且

則稱當(dāng)時的極限是A,

記作的幾何意義:之內(nèi).函數(shù)的圖形完全落在帶型區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無窮時由可得其中

C為常數(shù).例2.7證明證由有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設(shè)

當(dāng)時,因例2.8證明證由有當(dāng)時,不妨設(shè)

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義.

等價于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質(zhì)證設(shè)取有即在

的空心鄰域內(nèi)有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個空心鄰域內(nèi)有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號性)

證只需證第一部分.

不妨設(shè)(1)若因即于是設(shè)則在

的某個空心鄰域內(nèi)與A同號.(2)如果在

的某個空心鄰域內(nèi)2.2.4

無窮大考察函數(shù)

當(dāng)時的變化趨勢.

任意給定的正數(shù)M,無論M多么大,

就有

我們稱當(dāng)時是無窮大量,簡稱無窮大.是無窮大,

是正無窮大,

定義2.4記作如果則稱當(dāng)時

不會和任意一個固定的常數(shù)無限接近,因而極限不存在.注意:當(dāng)時是無窮大,

如果且