期中解答壓軸題 （四大模塊十一大題型）-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（蘇科版）

第第頁特訓(xùn)06期中解答壓軸題（四大模塊，十一大題型）目錄：模塊1：全等三角形（題型1：截長補短法）模塊1：全等三角形（題型2：倍長中線法）模塊1：全等三角形（題型3：情景探究題）模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型4：傳統(tǒng)幾何解答證明）模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型5：截長補短法）模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型6：定值問題）模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型7：角平分線中作垂線）模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型8：截長補短法）模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型9：折疊問題）模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型10：情景探究題）模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型11：三點共線的最值問題）模塊1：全等三角形（題型1：截長補短法）1．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知：中，，，點為直線上一動點，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，過點作于，直接寫出，，的關(guān)系：______；(2)如圖2，連接，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接交的延長線于點，求證：；(3)當(dāng)點在射線上時，連接交直線于，若，則的值為______．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）由結(jié)合已知得結(jié)合題意證，利用全等的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）如圖2，過點作，由垂直得結(jié)合已知證，得到，，再證即可得到結(jié)果；（3）分兩點情況，一是點在的延長線上，設(shè)，則，由得，推出，，，可求得；二是點在線段上，設(shè)，則，推出，得到，，所以，即可．【解析】（1）解：，，，，，，又，，，，，，∴，∴，∵；（2）證明：如圖2，過點作，，，，，，，又，，，，，，又，，，；（3）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接交直線于，過點作，交的延長線于，，，設(shè)，則，，，，，，，，又，，，，，又，，，，，，，．如圖4，點在線段上，過點作，同理可得：，設(shè)，則，，，，，，，綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積公式，線段的和差關(guān)系，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等并運用性質(zhì)進(jìn)行等量換算．2．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖1，在四邊形中，，分別是上的點，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小亮同學(xué)認(rèn)：如圖1，延長到點，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論是什么？并給出理由．(2)如圖2，在四邊形中，分別是上的點，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．(3)如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．(4)如圖4，已知在四邊形中，，若點在的延長線上，點在的延長線上，仍然滿足1中的結(jié)論，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系并加以說明．【答案】(1)，理由見解析(2)仍成立，理由見解析(3)210海里(4)，理由見解析【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補角相等．（1）延長到，使，連接，先證明，再證明，則可得到結(jié)論；（2）延長到，使，連接，證明，再證明，則結(jié)論可求；（3）連接，延長、交于點，利用已知條件得到：四邊形中：，且，符合（2）具備的條件，則．（4）在延長線上取一點，使得，連接，先判定，再判定，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，延長到點，使，連接，

在和中，，，，，∵，∴，即，∵，∴，在和中，，，，，；（2）解：仍成立，理由如下：如圖2，延長到點，使，連接，

，，，在和中，，，，，，，．，，．在和中，，，，，；（3）解：連接，延長、交于點，如圖3，

，，，，，在四邊形中：，且，四邊形符合（2）中的條件，結(jié)論成立，即（海里），答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．（4）解：結(jié)論：．理由：如圖4，在延長線上取一點，使得，連接，

，，，即在和中，，，，，∵點在的延長線上，點在的延長線上，仍然滿足（1）中的結(jié)論，即，∴在和中，，，，，，，即，．模塊1：全等三角形（題型2：倍長中線法）3．（23-24八年級上·江蘇南通·期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長到點，使，連接．請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：(1)由已知和作圖能證得，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是______________．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系；(2)如圖2，是的中線，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，是的三等分點．求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．（1）延長到點，使，連接，根據(jù)題意證明，可知，在中，根據(jù)，即可；（2）延長AD到，使得，連接BM，由（1）的結(jié)論以及已知條件證明，進(jìn)而可得，由，即可求得AD與的數(shù)量關(guān)系；（3），取中點，連接并延長至點，使得，連接和，通過“倍長中線”思想全等證明，進(jìn)而得到然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1所示，延長到點，使，連接．∵AD是的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．（2），理由：如圖2，延長AD到，使得，連接BM，由（1）知，，∴，∵，∴，∵，即，又∵，∴∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（3）證明：如圖所示，取中點，連接并延長至點，使得，連接和，∵為中點，為三等分點，∴，∴，在和中，，∴,同理可得:,∴，此時,延長交于點，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．模塊1：全等三角形（題型3：情景探究題）4．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）問題提出：．（1）我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，如圖中，，，，P為上一點，當(dāng)時，與是偏等積三角形；問題探究：（2）如圖，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點C作交的延長線于點E，則的長度為；問題解決：（3）如圖，四邊形是一片綠色花園，，，（）．與是偏等積三角形嗎？請說明理由．【答案】（1）；（2）3；（3）是，理由見解析【分析】（1）連接，由與在、邊上的高相等，可知當(dāng)點為中點時，與面積相等，但此時與不全等，所以，與是偏等積三角形，則，于是得到答案；（2）先由與是偏等積三角形，且與在、邊上的高相等，得，再證明，得，，由三角形的三邊關(guān)系得，則，而是正整數(shù)，則；（3）先證明，再由，，說明與不全等，作于點，交的延長線于點，可證明，得，即可證明與面積相等，從而證明與是偏等積三角形．【解析】解：（1）如圖1，連接，與在、邊上的高相等，當(dāng)，與面積相等，，，，，，，與不全等，此時與是偏等積三角形，故答案為：．（2）如圖2，與是偏等積三角形，且與在、邊上的高相等，，，，在和中，，，，，，且，，，，線段的長度為正整數(shù)，，故答案為：3．（3）與是偏等積三角形，理由：如圖3，，，，，，，，與不全等，作于點，交的延長線于點，則，，，在和中，，，，，與面積相等，與是偏等積三角形．【點睛】此題重點考查新定義問題的求解、三角形的三邊關(guān)系、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型4：傳統(tǒng)幾何解答證明）5．（24-25八年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為邊的中點，點分別在射線上，且，連接．(1)如圖1，當(dāng)點分別在邊和上時，連接，①判斷的形狀，并說明理由；②寫出、和的關(guān)系，并說明理由；(2)探究：如圖2，當(dāng)點分別在邊的延長線上時，寫出、和的關(guān)系，并說明理由；(3)應(yīng)用：若，，利用上面的結(jié)論，直接寫出的面積：______．【答案】(1)①是等腰直角三角形，理由見解析；，理由見解析(2)，理由見解析(3)5或17【分析】本題主要等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識點，根據(jù)圖形構(gòu)造全等三角形成為解題的關(guān)鍵．（1）①如圖：連接，再證明可得即可判斷的形狀；②根據(jù)，再結(jié)合圖形即可解答；（2）如圖：連接，即同（1）可證明，根據(jù)的性質(zhì)結(jié)合圖形即可解答；（3）根據(jù)（1），（2）中的結(jié)論，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【解析】（1）解：①是等腰直角三角形，理由如下：如圖，連接，在中，，為邊的中點，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．，∴，∵，∴是等腰直角三角形．②，理由如下：∵，∴，根據(jù)圖中所示，，∵為邊的中點，∴，∴．（2）解：，理由如下：如圖，連接，在中，，為邊的中點，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．，∴，根據(jù)圖中所示可得：，∵為邊的中點，∴，∴．（3）解：①如（1）中結(jié)論，∵，，∴，，∵，∴；②如（2）中結(jié)論，∵，，∴，，∵，∴故答案為：5或17．模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型5：截長補短法）6．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖1，在中，，，，點D為外一點，且在右側(cè)，上方，，連接，作，交于點F，(1)圖1中與相等的角是________；(2)如圖2，延長與射線相交于點E，①求的度數(shù)；②過點F作的平行線，交于點G，求的長．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)．（1）先證明，在和中，，，即可解答；（2）①由（1）證明是等腰直角三角形，即可解答；②過點B作交的延長線于N，連接，過點B作交于點M，證得，進(jìn)而證得是等腰直角三角形，，即可解答．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，設(shè)、交于點Q，在和中，，，∴，故答案為：；（2）①由（1）得，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；②如圖，過點B作交的延長線于N，連接，過點B作交于點M，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．7．（24-25八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知為等腰三角形，，點P在線段上（不與B、C重合），以為腰作等腰直角，如圖1，過Q作于E．(1)求證：；(2)連接交于M，探究線段與線段之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖2．過點Q作交的延長線于點F，過點P作交于點D．連接．當(dāng)點P在線段上運動時（不與B、C重合）．式子的值會變化嗎？若不變，求出該值：若變化，請說明理由．【答案】(1)見詳解(2)，理由見解答過程(3)式子的值不會變化，【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識．（1）根據(jù)題意得到，，，進(jìn)而得到，即可證明；（2）根據(jù)得到，，進(jìn)而證明，得到，即可證明，從而證明；（3）作交于點，先證明，得到，，再證明，得到，即可得到．【解析】（1）證明：∵△為等腰三角形，，點在線段上（不與，重合），以為腰長作等腰直角△，于．，，，，在和中，，；（2）解：；理由如下：∵，，，∵，．在和中，，，，∵，，，；（3）解：式子的值不會變化，，理由如下：如圖所示：作交于點，∵，，，，，，∵為等腰直角三角形，，在△和△中，，，，，∵為等腰直角三角形，，∴，∵，，在和中，，，，．模塊2：全等三角形、等腰三角形綜合（題型6：定值問題）8．（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）已知中，，，為邊上一點，點在延長線上，連接．(1)如圖1，已知，，當(dāng)時，求的面積；(2)如圖2，過點作的垂線，分別交于點，過點作交于，連接，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點在上運動，且始終為時，過點作，垂足為，則的值是否發(fā)生改變？若不變，求出這個值；若發(fā)生改變，說明理由．【答案】(1)(2)(3)不發(fā)生改變，2【分析】（1）由，，可得，由，可得，計算求解即可；（2）由，可得，由三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等可得，證明，則，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，；（3）如圖，作交于點，同理（2）可證，，則，是等腰直角三角形，是的中點，，由，進(jìn)而可求得，然后作答即可．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的面積為；（2）解：∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，；（3）解：如圖，作交于點，同理（2）可證，，∴，是等腰直角三角形，∵，∴是的中點，∴，∴，∴∴的值不發(fā)生改變，值為．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，中線與面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，中線與面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．9．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為______；②若，當(dāng)B、D、E三點共線時，則的度數(shù)為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當(dāng)?shù)拇笮≡诜秶鷥?nèi)之間任意改變，的度數(shù)是否隨之改變？請說明理由；(3)在（2）的條件下，F(xiàn)是延長線上一點，且，連接，如圖3，試探究之間的關(guān)系，并證明．【答案】(1)①10；②或(2)的度數(shù)不變，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）①連接，由，得，則線段的最大值為10，于是得到問題的答案；②分兩種情況討論，一是、、三點共線，且點在線段上，設(shè)交于點，由，，，得，，可證明，得，所以，則，即可求得；二是、、三點共線，且點在線段上，設(shè)交于點，則，，可證明，得，于是得到問題的答案；（2）由，得，，則，所以的度數(shù)不變．（3）在線段上截取，連接，可證明是等邊三角形，得，，由，得，則，再證明垂直平分，則，所以是等邊三角形，則，，可推導(dǎo)出，即可證明，得，所以．【解析】（1）解：①如圖（1），連接，，，，，，線段的最大值為10，故答案為：10．②如圖（1）①，、、三點共線，且點在線段上，設(shè)交于點，，，，，，在和中，，，，，，，，；如圖（1）②，、、三點共線，且點在線段上，設(shè)交AB于點，，，，，，在和中，，，，故答案為：或．（2）的度數(shù)不變，理由：，，，且與重合，，，，，，的度數(shù)不變．（3），證明：如圖（3），在線段上截取，連接，，，是等邊三角形，，，，，，，，點、點都在的垂直平分線上，垂直平分，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型7：角平分線中作垂線）10．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）在中，，．若點D在的平分線所在的直線上．(1)如圖1，當(dāng)點D在的外部時，過點D作于E，作交的延長線于F，且．①求證：點D在的垂直平分線上；②________；(2)如圖2，當(dāng)點D在線段上時，若，平分，交于點E，交與點F，過點F作，交于點G．①________；②若，，求的長度；(3)如圖3，過點A的直線，若，，點D到三邊所在直線的距離相等，則點D到直線l的距離是________．【答案】(1)①見解析；②1(2)①；②(3)2或6．【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）①點D在的平分線所在的直線上,過點D作于E，作交的延長線于F，得出，借助，得到，即可證明點D在的垂直平分線上；②通過證出，從而有，即可得出；（2）①先利用角平分線的定義求得，再利用三角形的外角性質(zhì)求得，即可求解；②延長交于H，證明，得到，再由，即可求解；（3）分2種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【解析】（1）①證明：連接，∵點D在的平分線所在的直線上,過點D作于E，作交的延長線于F，∴，在和中，，∴，∴，∴點D在的垂直平分線上；②由①知：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：1；（2）①∵平分，平分，，∴，即，∴，∵，即，∴；故答案為：；②延長交于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）當(dāng)點D在內(nèi)部時，如圖：∵，∴，∴，點D到直線l的距離是；當(dāng)點D在的下方時，如圖：設(shè)點D到三邊的距離為x，由題意得：，∴，∴，點D到直線l的距離是；綜上，點D到直線l的距離是2或6．故答案為：2或6．模塊3：全等三角形、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線綜合（題型8：截長補短法）11．（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）根據(jù)三角形全等知識易證：中，①若，則；②若，則，有時恰當(dāng)使用上述結(jié)論，可使解題過程更簡化．?dāng)?shù)學(xué)實驗課上，小穎、小亮、小慧三位同學(xué)每人拿的一張畫有“形狀、大小完全相同的”的紙張，是的中線，他們進(jìn)行如下操作：(1)如圖1，小穎測量發(fā)現(xiàn)，那么邊、有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，小亮在上取一點，將沿翻折后發(fā)現(xiàn)，點的對應(yīng)點恰好在線段上，且平分，則___________．(3)如圖3，小慧在的延長線上取一點，連接交延長線于點，延長到，連接交延長于點，測量發(fā)現(xiàn)，探究線段與的數(shù)量關(guān)系；【答案】(1)，證明見解析；(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得證；（2）設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，列出方程，即可求解；（3）延長至，連接，使得，證明，即可得證．【解析】（1）證明：∵是的中線，∴，∵，∴垂直平分，∴；（2）解：∵，∴，設(shè)，則，∵平分，∴，∵折疊，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∵是等腰三角形的中線，∴，∴，故答案為：；（3），證明如下，如圖所示，延長至，連接，使得∵∴∴∴，又∵∴，∵，∴在中，∴∴【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知，如圖，在中，的垂直平分線與的角平分線交于點D，

(1)如圖1，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若時，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在（2）的條件下，和的延長線交于點E，點F是上一點且，連接交于點G，若，求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)4【分析】（1）過點D作于點G，于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)及各角之間的關(guān)系即可證明；（2）在上截取，連接，根據(jù)各角之間的關(guān)系及等邊三角形的判定和性質(zhì)得出為等邊三角形，再由全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（3）延長至點M，使，證明，可得，，可由得出結(jié)果．【解析】（1）解：，理由如下：如圖1，過點D作于點G，于點H，

∵的垂直平分線與角平分線的交于點D，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2），理由如下：如圖2，在上截取，連接，

由（1）知，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．（3）由（2）知，如圖3，延長至點M，使，

∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)；正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（20-21八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，，．當(dāng)點M、N分別在直線、上移動時，探究之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．

(1)如圖①，當(dāng)點M、N在邊、上，且時，之間的數(shù)量關(guān)系式為______；此時的值是______；(2)如圖②，當(dāng)點M、N在邊、上，且時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖③，當(dāng)點M、N分別在邊、的延長線上時，若，試用含x、L的代數(shù)式表示Q．【答案】(1)，(2)（1）問的兩個結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)，見解析【分析】（1）先證是等邊三角形，再證，然后根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)即可求出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）在的延長線上截取，可證，可得，再證，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論仍成立；（3）在上截取，連接，可證，可得，然后證得，可證，即可得出．據(jù)此計算即可求解．【解析】（1）解：、、之間的數(shù)量關(guān)系，此時，理由如下：，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，；（2）解：猜想：結(jié)論仍然成立，證明：如圖，在的延長線上截取，連接，

，，，，，，，，，，，，的周長為：，；（3）證明：如圖，在上截取，連接，

同（2）可證，，，，，，又，，，，，．∵等邊的周長為L，∴，的周長．故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性強，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法．模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型9：折疊問題）14．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．【初步感知】數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們用紙片進(jìn)行折紙操作．如圖①，在中，，，．將沿著DE翻折，使點A落在AB邊上的處，且，則______，______．【方法探索】折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．小明遇到這樣一個問題：如圖②，在中，，，CD平分，求證：．小明的思路如下：如圖③，將沿CD翻折，使點落在邊上的處，連接DE，（1）請完成小明的證明過程；（2）如圖④，CD是AB邊上的高線，其他條件不變，請你用剛剛獲得的方法探索、AD、DB之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系______．【思維拓展】如圖⑤，在中，，，，、是邊AB上的點，連接CD、CE，先將邊沿CD折疊，使點的對稱點落在邊AB上：再將邊沿CE折疊，使點的對稱點落在的延長線上，則線段的長為______．【答案】[初步感知]，；[方法探索]（1）見證明：（2）．[思維拓展]0.8．【分析】[初步感知]根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求得，，進(jìn)一步即可求得，；[方法探索]（1）由，，得，由翻折得，，，則，所以，于是；（2）按照（1）的解題思路求得即可；[思維拓展]由和關(guān)于CD對稱，和關(guān)于CE對稱，可以推出是等腰直角三角形，由勾股定理，三角形面積公式可求出BD，CD長，從而可以解決問題．【解析】[初步感知]解：將沿著DE翻折，使點落在AB邊上的處，且，則，，，，故答案為：，；[方法探索]（1）證明：如圖③，將沿CD翻折，使點落在BD邊上的處，由翻折得，，，，，，，，，，．（2）證明：如圖④，由翻折得，，，，，，，，，，．故答案為：．思維拓展解：由題意可知：和關(guān)于CD對稱，和關(guān)于CE對稱，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案為：0.8．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（23-24八年級上·江蘇·期末）在生活中、折紙是一種大家喜歡的活動、在數(shù)學(xué)中，我們可以通過折紙進(jìn)行探究，探尋數(shù)學(xué)奧秘．【紙片規(guī)格】三角形紙片，，，點是底邊上一點．【換作探究】(1)如圖，若，，連接，求的長度；(2)如圖，若，連接，將沿所在直線翻折得到，點的對應(yīng)點為點若所在的直線與的一邊垂直，求的長；(3)如圖，將沿所在直線翻折得到，邊與邊交于點，且，再將沿所在直線翻折得到，點的對應(yīng)點為點，與、分別交于，，若，請直接寫出邊的長．【答案】(1)(2)或或(3)【分析】（1）作于，求得，從而得出，，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；（2）當(dāng)時，連接，作于，依次得出，，，，，，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)時，設(shè)交于點交于，可推出，，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)時，可推出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）可推出和及是直角三角形，且，，，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解析】（1）解：如圖1，作于，，，，，，，，；（2）解：如圖2，當(dāng)時，連接，作于，由翻折得：，，，，，，，，，，由（1）知：，，；如圖3，當(dāng)時，設(shè)交于點交于，，，，，，，，，，，，如圖4，當(dāng)時，，，，，，綜上所述：或或；（3）解：如圖5，∵，，，，，，，將沿所在直線翻折得到，，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形．模塊4：勾股定理在前兩章的應(yīng)用（題型10：情景探究題）16．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖1，在四邊形中，，分別是上的點，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)提示：探究此問題的方法是延長到點G，使，連接，先證明，再證明．請根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．(3)能力提高：如圖，等腰直角三角形中，，點M，N在邊上，，若，則的長為．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)24【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵的通過截長補短，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．（）延長到點，使，連接，證明和，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（）（）中的結(jié)論仍然成立．如圖中，延長至，使，連接，證明和即可求證；（3）過點C作，垂足為點C，截取．連接、，證明，再證明，得到，，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：如圖，延長到點，使，連接，在和中，，∴，∴，，，即，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：（）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖中，延長至，使，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在與中，，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，過點C作，垂足為點C，截取．連接、．∵，∴∵，∴，在和中∵∴∴，∴，∴，在和中∵，∴∴，，∴．故答案為：24．17．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長至點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是____________．A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是____________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．（3）【初步運用】如圖②，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長．（4）【靈活運用】如圖③，在中，，D為中點，，交于點E，交于點F，連接．試猜想線段三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）A（2）（3）（4）【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理解答；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算；（3）延長到M，使，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（4）延長到點G，使，連接，證明，得到，根據(jù)勾股定理解答．【解析】問題情境：解：（1）在和中，，，故選：A；（2）由（1）得：，，在中，，即，，故答案為：；（3）解：延長到M，使，連接，如圖②所示：，，是中線，，∵在和中，，，，，，，，；（4）解：線段之間的等量關(guān)系為：．理由如下：延長到點G，使，連接，如圖③所示：，，∵D是的中點，，在和中，，，，，，，，，即，中，由勾股定理得：，．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用等知識；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．18．（23-24八年級上·江蘇南京·期中）解決問題常常需要最近聯(lián)想，遷移經(jīng)驗，例如研究直角三角形邊的關(guān)系時需要想到……【經(jīng)驗積累】（1）如圖①，中，，，則與的數(shù)量關(guān)系為_____．

【問題解決】用問題（1）中結(jié)論解決以下問題

（2）如圖②，中，，，，求的長；（3）如圖③，中，，，，，求長；【拓展提升】（4）如圖④，中，，，，，，則______．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）10【分析】（1）由含角的直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）由含角的直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理，則，再利用勾股定理可得出答案；（3）設(shè)，含角的直角三角形的性質(zhì)得，由，，可知，進(jìn)而可知，結(jié)合，求出即可得出答案；（4）過點作，使得，得等腰直角，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由三角形的外角的性質(zhì)得，求得，延長交于，證出，由勾股定理可得出答案．【解析】（1）解：∵，，∴；故答案為：；（2）過點A作于D，則，

中，∵，，∴則：中，∴（3）設(shè)，∵，，則，∴則，∵，，∴，∴，∴∴，∴．

（4）如圖所示，過點C作，使得，得等腰直角，則，∴，∴，∵，，∴，∴，，三角形的外角的性質(zhì)可得：，延長交于，，

則，在中，，，∴，則，∵，∴，中，，∴，故答案為：10．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，勾股定理，熟記直角三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．19．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中