第02講函數(shù)概念與性質(zhì)-2022年高一數(shù)學(xué)寒假課（2019）（原卷版）

第02講函數(shù)概念與性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解函數(shù)的概念。掌握函數(shù)的三種表示方法、理解函數(shù)圖象的作用和分段函數(shù)。理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性。會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷（或證明）一些函數(shù)的單調(diào)性。理解函數(shù)的最大值和最小值，能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性求一些簡單函數(shù)的最值。理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，理解奇偶函數(shù)的圖象特征，能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡單的問題?！净A(chǔ)知識】1．函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，通常記為f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(5)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．2.分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數(shù)值集合的并集．3.映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．4．常見函數(shù)定義域的求法(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0．(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽．(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R．(5)y＝tanx的定義域?yàn)閧x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．5．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當(dāng)a＞0時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)a＜0時(shí)，值域?yàn)椋?3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．6．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)．如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)．從圖象來看，增函數(shù)圖象從左到右是上升的，減函數(shù)圖象從左到右是下降的，如圖所示：（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù)，就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間M上具有單調(diào)性(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間)．7．函數(shù)的奇偶性(1)奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．(2)判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是：①考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．②考察表達(dá)式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，既非奇非偶函數(shù)．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念例1．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是________.(填序號)f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)②f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2③f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1④f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)變1．下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是________.(填序號)解題策略1．判斷是否是同一函數(shù)關(guān)鍵看兩點(diǎn)：①定義域相同；2對應(yīng)關(guān)系相同．判斷是否是函數(shù)圖象，要看定義域和值域是否在所指定范圍，同時(shí)每一個(gè)自變量應(yīng)只對應(yīng)一個(gè)因變量．考點(diǎn)二：函數(shù)解析式求法例2．(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.(3)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．變2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝________.解題策略函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程組法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．考點(diǎn)三：函數(shù)的定義域例3．求下列函數(shù)的定義域(1);(2)變3．函數(shù)f()=的定義域?yàn)開_______.解題策略抓住常見函數(shù)有意義的約束條件是解題的關(guān)鍵，需要注意的是：函數(shù)定義域應(yīng)寫成集合或區(qū)間的形式．考點(diǎn)四：函數(shù)的值域例4．求下列函數(shù)的值域(1)y＝x2＋2x，x∈[0，3]；(2)變4．(1)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(2)f(x)＝x－eq\r(1－2x).考點(diǎn)五：分段函數(shù)例5．(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,2x，x≤0，))則f(f(eq\f(1,9)))＝________.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．變5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于________．解題策略1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，“分段求解”是解決分段函數(shù)的基本原則．2.在求分段函數(shù)值時(shí)，一定要注意自變量的值所在的區(qū)間，再代入相應(yīng)的解析式；自變量的值不確定時(shí)，要分類討論．考點(diǎn)六：函數(shù)單調(diào)性的判斷例6．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是________.(填序號)y＝eq\r(x＋1)②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)變6．下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是________.(填序號)①f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))②f(x)＝x3③f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)④f(x)＝3x解題策略確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法：(1)定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論．(2)圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性．(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，再根據(jù)“增＋增得增”“減＋減得減”“同增異減”得待確定函數(shù)的單調(diào)性．考點(diǎn)七：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例7．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.變7．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，則a＋b＝________.解題策略1.利用單調(diào)性求參數(shù)．①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．③注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，借助圖形列出對應(yīng)不等式，從而求出參數(shù)范圍．2.利用單調(diào)性求最值．應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值．考點(diǎn)八：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例8．求函數(shù)y＝log(x2－4x＋3)的單調(diào)區(qū)間．變8．函數(shù)y＝x2－2x(x∈[2,4])的增區(qū)間為________．解題策略1.求單調(diào)區(qū)間的常用方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法．2．求復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)；若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”．3．求單調(diào)區(qū)間時(shí)需注意兩點(diǎn)：①最終結(jié)果寫成區(qū)間的形式；②不可忽視定義域．考點(diǎn)九：判斷函數(shù)的奇偶性例9．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(3)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3).解題策略判斷函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)步驟：1.判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；2.判斷f(－x)與f(x)關(guān)系.若f(－x)＝－f(x)則函數(shù)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)則函數(shù)為偶函數(shù)．或是利用下列兩個(gè)等價(jià)關(guān)系式進(jìn)行判斷：若f(x)＋f(－x)＝0則函數(shù)為奇函數(shù)；若f(x)－f(－x)＝0則函數(shù)為偶函數(shù)．考點(diǎn)十：函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例10．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．變10．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A．B．C． D．【真題演練】（2020年北京）函數(shù)的定義域是__________.（2018年全國1卷）設(shè)函數(shù)若的的取值范圍是（）.B.C.D.3.（2019年全國2卷）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，=（）.B.C.D.4.（2020年全國2卷）設(shè)函數(shù)，則().A.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減（2020新高考1卷）若定義在R上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值為（）.B.C.D.【過關(guān)檢測】1.函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域?yàn)開_______．2．函數(shù)y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是________．3．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是________．②③④4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，則b等于________．5．函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是_________________．6.(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．(2)若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，求g(x)的解析式．7.．甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家．如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(分)的關(guān)系．試寫出y＝f(x)的函數(shù)解析式．8．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\l