期中押題預(yù)測卷（考試范圍第六-八章）

期中押題預(yù)測卷一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】【分析】通過計(jì)算，結(jié)合三點(diǎn)共線的知識確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，所以共線，即三點(diǎn)共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯(cuò)誤.，則不共線，C錯(cuò)誤.故選：A2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出的坐標(biāo)得答案．【詳解】由

，得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限．故選：B．3．（2022·重慶市開州中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合得出.【詳解】由正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，所?故選：A4．（2022·上海交大附中高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c．根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】A【解析】【分析】前三個(gè)選項(xiàng)中已知兩邊和一對角，分別比較和之間、與之間的大小關(guān)系，從而得到三角形解的個(gè)數(shù)，D選項(xiàng)中已知兩角和一邊得三角形有唯一解【詳解】A選項(xiàng)：，又，所以三角形有兩個(gè)解，則A正確；B選項(xiàng)：，又，所以三角形有一個(gè)解，則B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，所以三角形有一個(gè)解，則C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：可得，所以三角形有一個(gè)解，則D錯(cuò)誤；故選：A.5．（2022·重慶市開州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知等腰直角的直角邊邊長為1，那么的平面直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由斜二測的畫法結(jié)合三角形面積公式得出的平面直觀圖的面積.【詳解】設(shè)，則，，則.故選：D6．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習(xí)）已知設(shè)分別是內(nèi)角的對邊，且，，則向量在向量上的投影為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出cosA；根據(jù)結(jié)合余弦定理可求c，則向量在向量上的投影為.【詳解】由，得，則，即；∵，∴根據(jù)余弦定理得，，解得，故向量在向量上的投影為.故選：B.7．（2022·四川·成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）在直角三角形ABC中，，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，則取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算將表示成t的函數(shù)，再求函數(shù)值域作答.【詳解】如圖，中，，則，，令，則，于是得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以取值范圍為.故選：B8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，所以在三角形中?,由余弦定理得：.故選B.【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.二、多選題9．（2022·浙江·嘉興市第五高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，，向量是與方向相同的單位向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角 B．向量a在b方向上的投影向量為C．2m+n=4 D．mn的最大值為2【答案】CD【解析】【分析】由數(shù)量積的符號可判斷A；根據(jù)投影定義直接計(jì)算可判斷B；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可判斷C；由基本不等式結(jié)合可判斷D.【詳解】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯(cuò)誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯(cuò)誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有，當(dāng)m=1，n=2時(shí)，mn有最大值2，正確；故選：CD.10．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（

）.A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，求出，可判斷A;將和比較，可判斷B;計(jì)算出，可判斷C;判斷z具有周期性，由此可計(jì)算出，判斷D.【詳解】∵,A選項(xiàng)錯(cuò);,則，B選項(xiàng)對；∴，C選項(xiàng)對；,故,∴,D選項(xiàng)錯(cuò)故選:BC.11．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，若滿足要求的△ABC有且只有1個(gè)，則b的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，根據(jù)三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】由，及，得.若滿足要求的△ABC有且只有1個(gè)，則或，即或，解得或.故選：ABC12．（2022·全國·高一）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．截面PQMNC． D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，又平面，平面所以平面又平?平面平面所以因?yàn)榻孛?，截面，所以截面，故B正確同理可證因?yàn)?，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和不一定相等，故C錯(cuò)誤故選：ABD三、填空題13．（2022·重慶十八中高一階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，，則________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，進(jìn)而由可得，從而有，故而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，所以，所以，故答案為?14．（2022·重慶市開州中學(xué)高一階段練習(xí)）若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三角形ABC的面積為S，若，則______.【答案】【解析】【分析】由三角形的面積公式和余弦定理可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性和均值不等式結(jié)合等式成立的條件可得答案.【詳解】由，即，∴，所以.又，，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等式成立，此時(shí)，故答案為：15．（2022·陜西·虢鎮(zhèn)中學(xué)高一期末）《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.已知陽馬，底面，，，，則此陽馬的外接球的表面積為______.【答案】【解析】將該幾何體放入長方體中，即可求得外接球的半徑，再由球的表面積公式即可得解.【詳解】將該幾何體放入長方體中，如圖，易知該長方體的長、寬、高分別為、、，所以該幾何體的外接球半徑，所以該球的表面積.故答案為：.16．（2022·全國·高一單元測試）點(diǎn)E、F、G分別是正方體的棱、、的中點(diǎn)，如圖所示，則下列命題中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號)．①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面中最多只有三個(gè)面是直角三角形；②過點(diǎn)、、的截面是正方形；③點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時(shí)，總有；④點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積是定值；【答案】③④【解析】【分析】以三棱錐為例判斷①，根據(jù)四邊形的形狀判斷②，根據(jù)棱錐的體積公式判斷③；根據(jù)平面判斷④.【詳解】解：以三棱錐為例，則此三棱錐的4個(gè)面均為直角三角形，故①錯(cuò)誤；，且，過點(diǎn)、、的截面為矩形，故②錯(cuò)誤；，，平面，當(dāng)在直線上運(yùn)動時(shí)，平面，，故③正確；當(dāng)在直線上運(yùn)動時(shí)，△的面積為定值，到平面的距離為定值，的體積是定值，故④正確．故答案為：③④．四、解答題17．（2022·山西大附中高一階段練習(xí)）已知向量，，，．(1)求；(2)是否存在實(shí)數(shù)，，使得；(3)若，求實(shí)數(shù)的值．(4)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)存在實(shí)數(shù)，(3)(4)且【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，計(jì)算即可得答案.（2）求得的坐標(biāo)，結(jié)合題意，列出等式，即可求得答案.（3）分別求得和的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行法則，列出方程，即可求得答案.（4）根據(jù)向量求夾角公式，可得，又，計(jì)算即可得答案.(1)向量，，．，，，，．(2)，，，，，，，解得，，存在實(shí)數(shù)，，使得；(3)，，，，解得實(shí)數(shù)．(4)與的夾角是鈍角，且，，且，解得且18．（2022·陜西·西安市慶安高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知復(fù)數(shù)z滿足，z2的虛部為2.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A?B?C，求△ABC的面積.【答案】(1)或(2)1【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知條件列方程求得，由此求得.（2）求得的坐標(biāo)，從而求得三角形的面積.(1)設(shè)，①，的虛部為，所以②，由①②解得或.所以或.(2)當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以三角形的面積為.當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以三角形的面積為.19．（2022·浙江·玉環(huán)市玉城中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面，且，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線定理平行四邊形的判定，再結(jié)合及線面平行的判定定理即可證明；（2）利用等腰三角形的三線合一得出，及線面垂直得，進(jìn)而證明面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；（3）根據(jù)等體積法，求出點(diǎn)G到平面CDF的距離為，再利用線面角的定義即可求解.(1)取中點(diǎn)，連，.如圖所示∵為中點(diǎn)，∴又，∴.∴四邊形為平行四邊形.∴.又面，面，∴平面.(2)∵為平行四邊形，∴、、、共面.∵為正三角形，為中點(diǎn)，∴.又面，.∴面，∴.且.∴面.又面，∴面面.(3)取BC中點(diǎn)G，連DG，F(xiàn)G.則，且.∴直線AB與面PCD所成角即為DG與面PDC所成角.又，，，.∴面面，且面PAB，∴面.設(shè)G到平面CDF的距離為，由等積法∴，∴.設(shè)與面所成角為.則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20．（2022·廣東·深圳市南山外國語學(xué)校（集團(tuán)）高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，，分別是矩形的邊和的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)N.(1)設(shè)，，試用，表示；(2)若，，H是線段上的一動點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）引入，重新整理得出和這組基底的關(guān)系；（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y軸，建立平面坐標(biāo)系，借助的方程，化為關(guān)于的表達(dá)式，從而利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.(1)取AC的中點(diǎn)O，連OE，OF則，因?yàn)椋?(2)以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，直線的方程為：，設(shè)，則，，所以，當(dāng)時(shí)等號成立.21．（2022·湖南師大附中高一階段練習(xí)）銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量，,且∥.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由向量平行得到等式，由正弦定理得到，結(jié)合銳角三角形，得到A；（2）在第一問的基礎(chǔ)上利用正弦定理，用角的正弦表示邊，得到，利用銳角三角形求得B的范圍，從而求出的取值范圍.(1)因?yàn)?，所以有，由正弦定理可得：，又因?yàn)椋?，所以，又，解得：?2)由正弦定理可知：，則，又為銳角三角形，故且，解得：，又，由于，則，由正弦函數(shù)圖象可知.22．（2022·山東·高一階段練習(xí)）如圖，在斜三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面平面，異面直線與互相垂直.（1）求證：平面平面；（2）若與平面的距離為，，三棱錐的體積為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)與平面的距離為多少時(shí)，三棱錐的體積取得最大值？并求出最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通過線面平行證明面面平行；（2）找到三棱錐合適的底和高，并求出底和高關(guān)于的表達(dá)式，從而求出體積的表達(dá)式；（3）求出表達(dá)式之后，利用函數(shù)思想即可求解體積的最大值，以及此時(shí)的值.【詳解】（1）斜三棱柱中，四邊形是平行四邊形，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；連接，如圖所示：所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，因?yàn)?平面，所以平面平面（2）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平面，平面，所以與