2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市新吳區(qū)新城集團(tuán)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年江蘇省無錫市新吳區(qū)新城集團(tuán)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．（3分）下列幾何圖形不一定是軸對稱圖形的是A．正方形 B．角 C．圓 D．直角三角形2．（3分）下列各式中，正確的是A． B． C． D．3．（3分）等腰三角形一邊長等于5，一邊長等于9，則它的周長是A．19 B．23 C．19或23 D．144．（3分）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點(diǎn)、作、的垂線，交點(diǎn)為，畫射線，則平分的依據(jù)是A． B． C． D．5．（3分）有三位同學(xué)在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，如果將三人視為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃谌切蔚腁．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)6．（3分）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面積依次為2、6、3，則正方形的面積為A．6 B．8 C．11 D．127．（3分）如圖，若△的三條角平分線，，交于點(diǎn)，則與互余的角是A． B． C． D．8．（3分）如圖，與中，，，，交于．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)9．（3分）如圖，中，，，是邊上的中線，是上的動點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，則的最小值為A． B．10 C．12 D．1310．（3分）如圖，在和中，，，，，，交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分，其中正確的是A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④二.填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）11．（3分）黑板上寫著在正對著黑板的鏡子里的像是．12．（3分）16的平方根是．13．（3分）已知△△，，，則的度數(shù)為．14．（3分）已知直角三角形兩直角邊的長分別為和，則斜邊上的中線長為．15．（3分）如圖，是△的角平分線，于點(diǎn)，△的面積，，則的長是．16．（3分）如圖所示，在的方格中每個(gè)小正方形的邊長是單位1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．現(xiàn)有格點(diǎn)、，在方格中任意找一點(diǎn)（必須是格點(diǎn)），使成為等腰三角形．這樣的格點(diǎn)有個(gè)．17．（3分）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題，老師對其進(jìn)行改編：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，適與岸齊，問水深幾何？”題意為：有一個(gè)底面為正方形的池塘，在池塘正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，拉動7尺后它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水深是尺．18．（3分）如圖，在長方形中，，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動點(diǎn)，把沿直線折疊．當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，則的長為．三.解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）計(jì)算：（1）．（2）．20．（8分）（1）如圖①，，是兩個(gè)以直線為對稱軸的三角形的兩邊，試畫出完整的和△（保留作圖痕跡）．（2）如圖②，已知，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，求作等腰三角形，使得為等腰三角形底邊，點(diǎn)在內(nèi)部，且點(diǎn)到角的兩邊距離相等．（尺規(guī)作圖）21．（6分）如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長．22．（8分）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．23．（8分）如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若周長為，，求長．24．（10分）如圖是小明家中的三個(gè)房間甲、乙、丙的截面圖，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作．（1）當(dāng)小明在甲房間時(shí)，梯子靠在對面墻上，頂端剛好落在對面墻角處，若米，米，則甲房間的寬度米．（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測得米，米，且，求乙房間的寬；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測得米，且，，求丙房間的寬．25．（10分）我們已經(jīng)知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，如圖①所示，四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，四個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為．（1）請利用圖①完成勾股定理的證明．（2）通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．圖②是棱長為的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．試一試，你能從中得到什么等式．（3）已知，，利用上面的等式求．26．（10分）等邊△的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為△外一點(diǎn)，且，，．當(dāng)點(diǎn)、分別在直線、上移動時(shí)，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系以及△的周長與等邊△的周長的關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系式為；此時(shí)的值是；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)、分別在邊、的延長線上時(shí)，若，試用含、的代數(shù)式表示．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分）1．（3分）下列幾何圖形不一定是軸對稱圖形的是A．正方形 B．角 C．圓 D．直角三角形解：正方形、角、圓都找到這樣的一條（或多條）直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；直角三角形不一定能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形；故選：．2．（3分）下列各式中，正確的是A． B． C． D．解：，則不符合題意；，則不符合題意；，則符合題意；，則不符合題意；故選：．3．（3分）等腰三角形一邊長等于5，一邊長等于9，則它的周長是A．19 B．23 C．19或23 D．14解：當(dāng)5為底時(shí)，其它兩邊都為9，5、9、9可以構(gòu)成三角形，周長為23；當(dāng)5為腰時(shí)，其它兩邊為5和9，5、5、9可以構(gòu)成三角形，周長為19，所以答案19或23．故選：．4．（3分）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點(diǎn)、作、的垂線，交點(diǎn)為，畫射線，則平分的依據(jù)是A． B． C． D．解：在和中，，，，是的平分線．故選：．5．（3分）有三位同學(xué)在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，如果將三人視為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃谌切蔚腁．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．故選：．6．（3分）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面積依次為2、6、3，則正方形的面積為A．6 B．8 C．11 D．12解：如圖，解：設(shè)正方形、、、的邊長分別為、、、，中間陰影正方形的邊長為，由圖形知：兩個(gè)白色的三角形的為直角三角形，，，，、、三個(gè)正方形的邊長分別為3、4、5，，正方形的面積為11．故選：．7．（3分）如圖，若△的三條角平分線，，交于點(diǎn)，則與互余的角是A． B． C． D．解：△的三條角平分線、、交于點(diǎn)，，，，三角形內(nèi)角和是，，、，不一定互余，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，不一定互余，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故選項(xiàng)正確；、與不一定互余，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．8．（3分）如圖，與中，，，，交于．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)解：在與中，，，，；由，，可知：；，，由△，可得，．綜上可知：①③④正確．故選：．9．（3分）如圖，中，，，是邊上的中線，是上的動點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，則的最小值為A． B．10 C．12 D．13解：，是邊的中線，垂直平分，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，連接于，交于．則此時(shí)，的值最小，且等于的長，為的中點(diǎn)，，，，，，．的最小值為，故選：．10．（3分）如圖，在和中，，，，，，交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分，其中正確的是A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④解：，，即，在和中，，，，，，故②正確；由三角形的外角性質(zhì)得：，，故①正確；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，在和中，，，，平分，故④正確；，當(dāng)時(shí)，才平分，假設(shè)，，，平分，，在和中，，，，，，與矛盾，故③不正確；綜上所述，正確的是①②④，故選：．二.填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）11．（3分）黑板上寫著在正對著黑板的鏡子里的像是．解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，因此的真實(shí)圖象應(yīng)該是．故答案為：．12．（3分）16的平方根是．解：，，的平方根為，故答案為：．13．（3分）已知△△，，，則的度數(shù)為．解：△△，，，，．故答案為：．14．（3分）已知直角三角形兩直角邊的長分別為和，則斜邊上的中線長為5．解：在中，，，是邊上的中線．15．（3分）如圖，是△的角平分線，于點(diǎn)，△的面積，，則的長是9．解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖：，，是△的角平分線，，，△的面積，，故答案為：9．16．（3分）如圖所示，在的方格中每個(gè)小正方形的邊長是單位1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．現(xiàn)有格點(diǎn)、，在方格中任意找一點(diǎn)（必須是格點(diǎn)），使成為等腰三角形．這樣的格點(diǎn)有8個(gè)．解：如圖，分別以、為圓心，長為半徑畫圓，則其與方格的交點(diǎn)為格點(diǎn)的有8個(gè)，故答案為：8．17．（3分）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題，老師對其進(jìn)行改編：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，適與岸齊，問水深幾何？”題意為：有一個(gè)底面為正方形的池塘，在池塘正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，拉動7尺后它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水深是24尺．解：如圖，設(shè)水深是尺，由題意可知，尺，尺，在△中，由勾股定理得：，解得：，即水深度是24尺，故答案為：24．18．（3分）如圖，在長方形中，，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動點(diǎn)，把沿直線折疊．當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，則的長為或10．解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)在的垂直平分線上，；，由勾股定理得，，設(shè)為，則，，在中，由勾股定理得：，，即的長為．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，同①的方法可得，，設(shè)為，則，，在中，由勾股定理得：，，即的長為10．綜上所述，點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，的長為或10，故答案為：或10．三.解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）計(jì)算：（1）．（2）．解：（1）原式；（2）原式．20．（8分）（1）如圖①，，是兩個(gè)以直線為對稱軸的三角形的兩邊，試畫出完整的和△（保留作圖痕跡）．（2）如圖②，已知，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，求作等腰三角形，使得為等腰三角形底邊，點(diǎn)在內(nèi)部，且點(diǎn)到角的兩邊距離相等．（尺規(guī)作圖）解：（1）如圖所示，和△即為所求．（2）如圖所示，即為所求．21．（6分）如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：，，為的中點(diǎn)，，在△和△中，，△△；（2）解：，，，△△，，即的長為5．22．（8分）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：連接，是邊上的高線，，是邊上的中線，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．（2）解：連接，則，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，．23．（8分）如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若周長為，，求長．解：（1）垂直平分，垂直平分，，，，，；（2）周長，，，即，．24．（10分）如圖是小明家中的三個(gè)房間甲、乙、丙的截面圖，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作．（1）當(dāng)小明在甲房間時(shí)，梯子靠在對面墻上，頂端剛好落在對面墻角處，若米，米，則甲房間的寬度3.2米．（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測得米，米，且，求乙房間的寬；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測得米，且，，求丙房間的寬．解：（1）在△中，，米，米，，，甲房間的寬度米，故答案為：3.2；（2），，，．在△與△中，，△△，米，（米，（米；（3）過點(diǎn)作垂線，垂足點(diǎn)，連接．設(shè)，且．梯子的傾斜角為，△為等腰直角三角形，△為等邊三角形，梯子長度相同），．，．，△為等邊三角形，．△△，，米，即丙房間的寬是1.6米．25．（10分）我們已經(jīng)知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，如圖①所示，四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，四個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為．（1）請利用圖①完成勾股定理的證明．（2）通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．圖②是棱長為的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．試一試，你能從中得到什么等式．（3）已知，，利用上面的等式求．【解答】（1）證明：圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為，圖中大正方形的面積為或，，即；（2）解：圖形的體積為：或，，；（3）解：，，，，解得：．26．（10分）等邊△的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為△外一點(diǎn)，且，，．當(dāng)點(diǎn)、分別在直線、上移動時(shí)，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系以及△的周長與等邊△的周長的關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)、在邊