2023-2024學(xué)年級(jí)廣元中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年級(jí)廣元中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.右43。的內(nèi)角的對(duì)邊分別為若（2CL/?）COSC=CCOS3,則內(nèi)角C=（）

7171

D.

62

2.博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,

設(shè)計(jì)兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為Pl,P2,則（)

115

A.Pi*P：=—B.Pi=P2=_C.Pi+Pz=-D.Pi<P

4362

3.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)比二()

?

A.-l+iB.-1-iC.1+iD.1-i

4.=是“函數(shù)/（為）=（方-3〃-1卜〃（。為常數(shù)）為募函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

2x/34x/3

亍亍

6.設(shè)。=log?3,b=log46,c=5^',則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

7.在鈍角ABC中，角A&C所對(duì)的邊分別為8為鈍角，若acosA=〃sinA,則sinA+sinC的最大值

為（）

l97

A.V2B.-C.1D.-

88

8.如圖所示是某年笫一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）

與

大

6469.3

年

同

K9.6

期

相

2M2.2比

K增

率

{

求

東

山)

A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省

B.與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)

C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)

D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元

9.已知函數(shù)/（x）在R上都存在導(dǎo)函數(shù)廣（x）,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有?譚當(dāng)x<0時(shí)，/0）+/'*）>0,

若6“/（2。+1）之/（。+1）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

21r

A.0,-B.--,0C.[0,+oo）D.（-oo,0]

JJ

10.已知集合4=卜|/一2X一15>0],B={x\0<x<7}t貝iJ（M4）UB等于（）

A.[-5,7）B.[-3,7）C.（-3,7）D.（-5,7）

11.如圖，在平行四邊形ABC。中，。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)?為平行四邊形外一點(diǎn)，且A/MO4,3?！?。4,則。夕=

()

ArB

3一—

A.D4+2OCB.-DA+DC

3—1——

C.2DA^-DCD.-DA+-DC

22

12.設(shè)雙曲線「一與=1（?>0,5>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸（c,0）（c>0）,且離心率等于石，若該雙曲線的一條漸近

crb-

線被圓f+y2?2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2百，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A廠）廠1R廠K1

20525100

x222

C.—-^-=1D.---^-=1

520525

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

y>（）

13.若實(shí)數(shù)%，）'滿足不等式組（2X-），+3N0,則z=2），一工的最小值是一

x+y-l<0

14.己知數(shù)列｛qj為正項(xiàng)等比數(shù)列，=27,則6生+46o的最小值為______.

432

15.甲、乙兩人同時(shí)參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過的概率分別為一和一；乙筆試、面試通過的概率分別為；和

543

若筆試面試都通過才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立，則該次考試只有一人被錄取的概率是___________.

2

a+2〃=2k—]&￡N*

16.己知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S,tM=lM=2,%+，=〈"'一，，二，則滿足201945“W3000的正整

2an,n=2k,ksN

數(shù)加的所有取值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）橢圓W：1+￡=1（。>方>0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳，K,離心率為立，左、右頂點(diǎn)分別為A,

a'b~'2

氏過F,且垂直于工軸的直線被橢圓W截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)P（l,o）的直線與橢圓卬相交于不同的兩點(diǎn)C、D（不與點(diǎn)A、4重合），直線C8與直線x=4相交于

點(diǎn)M,求證；A、。、"三點(diǎn)共線.

7T

18.（12分）如圖，四棱錐E—A8C。中，平面A8CQ_L平面3CE,若NBCE=一,四邊形ABC。是平行四邊形,

2

且AE_L3D.

（I）求證：AB=AD；

（II）若點(diǎn)尸在線段AE上，且EC//平面8。產(chǎn)，ZBCD=60°,BC=CE,求二面角4一8/一。的余弦值.

19.（12分）已知函數(shù)/（X）=/一x+1,且〃?,〃tR.

（1）若加+2〃=2,求/（㈤+2/（"）的最小值，并求此時(shí)利,〃的值；

（2）若|加-〃|<1,求證：|/（〃。一/（〃）|<2（|〃7|+1）.

20.（12分）我們稱〃"EN"）元有序?qū)崝?shù)組（M，x2,x.）為〃維向量，之㈤為該向量的范數(shù).已知〃維

1=1

向量。二（%,%，，%），其中％￡卜1.0,1｝,，=1,2,〃.記范數(shù)為奇數(shù)的〃維向量。的個(gè)數(shù)為4,這4個(gè)向量

的范數(shù)之和為紇.

（1）求&和冬的值；

（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，求A.，紇（用〃表示）.

21.（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，且S”是%與，-的等差中項(xiàng).

（1）證明：｛S；｝為等差數(shù)列，并求S.；

（2）設(shè)——數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為乙，求滿足425的最小正整數(shù)〃的值.

22.（10分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足2S〃=〃-//（〃eN"）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(n=2k-\)

」一十〃對(duì)

(2)設(shè)口=<2(AwN"),數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和人若

71------------V5=2公\4,2〃+2

(1一*(1一%+2)

恒成立，求實(shí)數(shù)。，〃的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得.

【詳解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCeos

A2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

1Ji

三角形中sinArO,???COSC=E，，。=].

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.

2、C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=-

6;

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=-；

6

所以

6

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)匕1ul-i,即可求解，得到答案.

1

【詳解】

1+i(1+i)?(-i)

由題意，復(fù)數(shù)一='.).-l-i，故選D.

1ix(-i)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

根據(jù)幕函數(shù)定義，求得的值，結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.

【詳解】

???當(dāng)函數(shù))("=(助2-3。-1卜"為黑函數(shù)時(shí)，加一30-1=1,

解得0=2或_!，

2

???“力=2”是“函數(shù)/(力=(2〃—3〃-1卜“為第函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了充分必要條件的概念和判斷，幕函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.

【詳解】

由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：

D

其中，底面為直角三角形，AD=21AE=>/3>高為A8=2.

，該幾何體的體積為V=4x2x6x2=26

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較a瓦再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.

【詳解】

6z=log23e(l,2),b=log46=log276G(1,log23),€=5^s(O,l),因此故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得cosA=sinA,即可得到A=再求出BE1[,芬],最后根據(jù)

2124)

sinA+sinC=sinB-^J+sin7r-\B-^-B求出sinA+sinC的最大值；

【詳解】

解：因?yàn)閍cosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因?yàn)閟inAwO

所以cosA=sin8

?.A"]

0八<AA<—兀0<B——<—

222

71八,\/.COSBG

—<B<兀，即—<B<7T

22124J呼。)

<C<0.仿/)(工71

°f2)2

/.sinA-sinC=sinIB--71+sin4一B--j-B

2J2

=-cos8-cos28

=-2cos2B-cosB+1

if9

cosB+一+—

48

9

...COSB=——G—,0時(shí)(sinA+sinC)m、x

48

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、D

【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

由折線座可知A、B項(xiàng)均正確，該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確；4632.1+(1+3.3%”4484<4500.

故D項(xiàng)不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖、柱形圖的識(shí)別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

9、B

【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，解得結(jié)果.

【詳解】

令g(x)=eV(x),則當(dāng)x<0時(shí)，，。)=，[/*)+/'*)]>()，

又g(-x)=e-xf{-x)=exf(x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

從而，/(2。+1)2/(。+1)等價(jià)于e2W/(2a+l)N，*/(a+l),g(2a+l)Ng(a+l),

2

因此g(—12〃+1|)之g(—+—12，+1|2—|4+1|,3/+2?！?...一5《〃40.選8.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

10、B

【解析】

解不等式確定集合A,然后由補(bǔ)集、并集定義求解.

【詳解】

由題意力={%|12-2x-15>0}={x|x<-3或工>5},

/.={x|-3<x<5|,

◎A)|jB={x|_3Wx<7}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.

11、D

【解析】

連接。P,根據(jù)題目，證明出四邊形4P。/)為平行四邊形，然后，利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案

【詳解】

DC

連接。P,由AP||OB,BP"OA知,四邊形APB。為平行四邊形，可得四邊形4P。。為平行四邊形，所以

113-1-

DP=DA+DO=DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題

12、C

【解析】

由題得￡二6，bC2又/+〃=/,聯(lián)立解方程組即可得4=5,〃=20,進(jìn)而得出雙曲線

z,=b=Jc-5f

a\Ja~+b~

方程.

【詳解】

由題得e=￡=6①

a

又該雙曲線的一條漸近線方程為班-4=0,且被圓好+爐-2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2石，

所以/"=b=&2-5②

Wr+Zr

又〃2+。2=。2③

由①②③可得："=5,從=2(),

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-工=1.

520

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計(jì)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

作出可行域，如圖：

由z=2y-x得y=:x+gz,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）

所以4而=-1

故答案為?1

14、27

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得4，結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知4=3,則生《0=9,

64（）+4%+=9+3%+3%o>9+=9+64=27.

當(dāng)且僅當(dāng)%=4。=3時(shí)取得最小值.

故答案為：27.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.

15.1

15

【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

433211

甲被錄取的概率Pi=三*工=三；乙被錄取的概率p?=鼻、5=可；

JJD乙J

3212s

「?只有一人被錄取的概率〃=q（1_外）+〃2（1_四）=三*4+4*1二R.

JJJJ1J

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考食獨(dú)立事件概率的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.

16、20,21

【解析】

由題意知數(shù)列｛a,,｝奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)

值檢驗(yàn)即可.

【詳解】

解：由題意知數(shù)列｛?！保钠鏀?shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，

偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，

則J+I+2"T)"+2(I-2-)=力+公_2；

口/+2伏-1)］駕￡^=2叫我2-2.

21-2

當(dāng)左二10時(shí),59-2'°+102-2-1122,5^-2"+102-2-2146.

2122

當(dāng)〃=11時(shí),S21=2"+11-2=2167,522=2+11-2=4215.

由此可知，滿足20194S,”<3(X)0的正整數(shù)〃z的所有取值為20,21.

故答案為：20,21

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式，是綜合題，分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+/=1；(2)見解析

4

【解析】

(1)根據(jù)已知可得絲1=1,結(jié)合離心率和億〃，。關(guān)系，即可求出橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程：

a

(2)CD斜率不為零，設(shè)CD的方程為x=，〃.y+l,與橢圓方程聯(lián)立，消去X,得到縱坐標(biāo)關(guān)系，求出方

程，令1二4求出例坐標(biāo)，要證A、。、M三點(diǎn)共線，只需證女皿-Kw=0,將原。一的M分子用縱坐標(biāo)表示,

即可證明結(jié)論.

【詳解】

V-2V2

（1）由于一力2,將1=一《?代入橢圓方程0+2T=1,

a2b2

得y=±S,由題意知塵=1,即〃=2".

aa

又e=￡=立，所以a=2,b=\,

a2

所以橢圓卬的方程為上+V=i.

4.

（2）解法一：

依題意直線CO斜率不為0,設(shè)。。的方程為x=my+l,

x=my+1

聯(lián)立方程消去X得(m2+4)),2+2^-3=0,

廠2.

一+y=1

4-

由題意，得』＞0恒成立，設(shè)。（為，必），。（工2，）’2），

S、I2/773

所以y+%=——「■，XM=——

加“+4nr+4

直線C8的方程為）'二上;（無(wú)一2）.令1=4,得加（4,巨、）.

x1-2Xj-2

又因?yàn)榱Γㄒ?,0）,D（x2,y2）,

則直線AM的斜率分別為勖=仁

所以“2去一六T*瑞產(chǎn)

上式中的分子3%(%-2)-y(x2+2)=3y2(myl-l)-yl(my2+3)

-6m+6/77

=2〃%%一3(凹+%)二=0,

m2+4

?.?仁＞一心”=。?所以A,D,M三點(diǎn)共線.

解法二:

當(dāng)直線CD的斜率A不存在時(shí)，由題意，得C。的方程為％=1,

代入橢圓W的方程，得C（1「C）,。（1,-

直線CB的方程為），=-比2）.

則M（4,-6），人M=（6,-G）,4。=（3,-券），

所以AM=2A。，即4，D,M三點(diǎn)共線.

當(dāng)直線CO的斜率上存在時(shí)，

設(shè)CO的方程為y=k（xT）（AwO）,C（x，y）,。（々，為），

聯(lián)立方程消去丁，得（41+1比2—8人+4公一4=0.

由題意，得4>0恒成立，故必"'內(nèi)/一而十

直線C8的方程為)2).令1=4,得M(4,2、).

又因?yàn)?-2,0),D(x2,y2)t

則直線4。，AM的斜率分別為心。=37，L=/二、，

X2+23(七一2)

-k-必X_3%(4-2)-)，仆2+2)

所以的A"X2+23(^-2)3(X,-2)(X2+2),

上式中的分子3y2(%-2)-%(x2+2)=3k(々-1)(芭一2)一-再一1)(占+2)

4公一48左2

、、攵(內(nèi)左

=2kxx-5+x',)+8Z=2kx47,2--?--1--5kx-Ai-l-.1+8=0

所以原「女■=0.

所以A,D,M三點(diǎn)共線.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查

計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

18、(I)見解析(II)

7

【解析】

(I)推導(dǎo)出BC_LCE,從而EC_L平面A8CO,進(jìn)而ECLBDt再由BD±AEf得3O_L平面

A￡C,從而8O_LAC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

(II)設(shè)AC與"。的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC〃FG,取3c的中點(diǎn)為0,連結(jié)OD,則OO_L6C,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。

且與CE平行的直線為x軸，以6c為y軸，O0為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【詳解】

71

(I)證明：4BCE=—，即3C_LCE,

2

因?yàn)槠矫嫫矫鍮CE,

所以EC_L平面A8CO,

所以EC_L30,

因?yàn)锽D上AE，

所以3O_L平面AEC,

所以5O_LAC,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是平行四邊形，

所以四邊形A8C。是菱形，

故AB=A。；

解法一：(II)設(shè)AC與3。的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面8。廠，

平面AECI平面33尸于尸G,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是AC中點(diǎn)，

所以尸是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)镹3CD=60。，

取8C的中點(diǎn)為。，連接8,

則O￡)ABC,

因?yàn)槠矫鍭3C0_L平面BCE,

所以面

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。且與C石平行的直線為X軸，以9C所在直線為）'軸，以8所在直線為Z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則8（0,—1,0）,A（0,—2,6）,。（0,0,6）,F1,——,BF=1,—

\/\

B4=（0.-l,V3）,5D=（0,1,73）,

設(shè)平面力8尸的法向量4=（%，X，zJ,

1幣_(tái)八

則產(chǎn)匕1。,取4=卜"①1）,

-y}+V3z）=0

同理可得平面DBF的法向量%=（0.-1）,

設(shè)平面ABF與平面DBF的夾角為6,

因?yàn)閏os（〃i，〃2）4?%_2_\jl

勺n22,J77

所以二面角4一8/一。的余弦值為立.

7

解法二：（II）設(shè)AC與區(qū)。的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C7/平面BOb,平面AECI平面BDF于FG,

所以EC//FG,

因?yàn)?是4。中點(diǎn)，

所以/是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)锳C_L3。，AC.LFG,

所以ACJL平面8。尸，

所以4CJ_K/，

取Bb中點(diǎn)”，連接G〃、AH.

因?yàn)槭珿=8G,

所以GHA.BF,

故Z?77J_平面A"G,

所以即NA//G是二面角A-4b-力的平面角,

不妨設(shè)AB=2,

因?yàn)锳G=G，GH=—f

2

在R/AAG”中，tanZ.AHG=4b,

所以cos/AHG二立，所以二面角A—斯一Q的余弦值為立.

77

【點(diǎn)睛】

本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.

72

19、(1)最小值為一，此時(shí)機(jī)=〃=一；(2)見解析

33

【解析】

(1)由已知得/(〃?)+2/(〃)=(nr+2n2)-(m+2i)+3=>+2n~+1,

法一:???〃z+2〃=2,.“xZ-Z”，根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得；

法二:運(yùn)用基本不等式構(gòu)造〃22+2/N，〃/+4加〃+4/)=；(/〃+2〃)2=g,可得最值；

法三：運(yùn)用柯西不等式得：nr+2n2=-(m2+n2+n2)(l2+12+12)>-(//?+//+n)2,可得最值；

(2)由絕對(duì)值不等式得，-*"z+〃一又

|m+n-l|=|(H-/n)+(2w-l)|<|w-?]+|2/?z-l|<1+(2同+1)=2(同+1),可得證.

【詳解】

(1)f(tn)+2/(n)=(w2+2n2)-(m+2n)+3=nr+2n2+1，

法一:,.?/??+2〃=2,/.m=2-2n,

277

f(m)4-2f(〃)=(2-2n)2+2/?2+1=6n2-8〃+5=6(〃——)2+->—

72

.?./(加)十2八〃)的最小值為飛，此時(shí)刀=)=,；

JJ

22222222222

法二:fn+2n=—(3m+6n)=—[m+2(//z+n)+4/?1>—(m4-4n)=—(m+2n)=—t

33

4772

.*./(W)4-2/(n)>-+l=-,即/(M+2/(〃)的最小值為§,此時(shí)機(jī)=〃=§；

法三：由柯西不等式得：

1114

m2+2n2=—(m2+〃？4-/?2)(12+124-12)>—(m+n+n)2=—(6+2〃)？=—,

4772

.?./.(相)+2f⑺>-+l=-,BP/(/n)+2/(/?)的最小值為-,此時(shí)m=/?=-；

(2)|w—/?|<1,二?|1(加)-fW\=|(/n2-n2)-(m-w)|=|/n-w|?仙+n-l|<|m+n-l|,

X|/n+n-l|=|(n-nz)+(2/n-l)|<|zn-n|+|2/n-l|v1+(2帆+1)=2伽+|1),

：\f(ni)-f(n)|<2(|w|+1).

【點(diǎn)睛】

本題考查運(yùn)用基本不等式，柯西不等式，絕對(duì)值不等式進(jìn)行不等式的證明和求解函數(shù)的最值，屬于中檔題.

20、(1)4=4,&=4.(2)紇=〃

【解析】

(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫出來，再做和；(2)用組合數(shù)表示4和4,再由公式

(〃一攵)c：=%L或AC：=〃c二將組合數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出最終結(jié)果.

【詳解】

解：(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：(TO),(0,-1),(0,1),(1,0),

它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故4=4,4=4.

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，在向量。二(%,工,芻,…，皿)的〃個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以

可按照含0個(gè)數(shù)為：1,3,…，應(yīng)一1進(jìn)行討論：。的〃個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或一1,共有C：-2"T個(gè)，每

個(gè)〃的范數(shù)為〃一1;

〃的〃個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或一1,共有C，2”-3個(gè)，每個(gè)〃的范數(shù)為〃-3；

〃的〃個(gè)坐標(biāo)中含〃-1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或-1,

共有C；：，2個(gè)，每個(gè)〃的范數(shù)為1；所以

4=c：?+c：?r-3+…+?2,

紇=(〃f.C：.2"T+(〃-3)C：2-3++C「2

因?yàn)?2+1)"=C；.2"+C：?2〃T+c：?r-2+…+C；,①

(2-1)"=Cj；-T-C；,-T-l+C；-2n-2-+(T)"C；，②

①:②得，C：.2〃T+C：.2”-3+=寫1,

所以4=亨?

.(〃一

解法h因?yàn)閚(〃M)C：=("Z)?而R=〃?域二備=“3,

所以紇二(〃一1)?C：?2'1+(〃-3)?C：?2〃-3++C；：-'.2.

=〃(*?2〃T+C>2"-3+,..+C；；2)

=2〃(C%2〃-2+c3.2i+，,+C")

=2"?(寧卜"fl).

解法2：1''②得,C〉2〃+C>2""+=與也?

22

,（〃一11!,

又因?yàn)椤?所念廣,.（」）!（,一）廣心￡，所以

(〃一1)!

n\=〃叱；

人