陜西省咸陽市武功縣2024−2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試題含答案

陜西省咸陽市武功縣2024?2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．如圖，空間四邊形中，，，.點在上，且，為的中點，則（

）

A． B．C． D．2．已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．143．已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知點，，若過點的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．三點，，在同一條直線上，則值為（

）A．2 B． C．或 D．2或6．設點是點，關于平面的對稱點，則（

）A．10 B． C． D．387．如圖所示，在棱長為2的正方體中，為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．在空間直角坐標系中，，三角形重心為，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的有（

）A．若兩條不重合的直線，的方向向量分別是，，則B．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則C．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則D．若兩個不同的平面，的法向量分別是，，則10．已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是11．在長方體中，，，分別為棱的中點，則下列結論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．直線和所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線經(jīng)過點且其方向向量為則直線的方程為.13．已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于.14．在直棱柱中，分別是，的中點，．則二面角的余弦值是．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知點，，，設，，．(1)若實數(shù)使與垂直，求值．(2)求在上的投影向量．16．如圖所示，平行六面體中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．17．如圖，正方體的棱長為4，點分別為的中點，（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面間的距離．18．棱長為2的正方體中，分別是的中點，在棱上，且，是的中點.(1)證明：；(2)求；(3)求的長.19．如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點，為靠近的四等分點.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值：(3)求點到平面的距離.

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】，，為的中點，，.故選D.2．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量坐標運算以及空間向量垂直的坐標表示可以計算得到答案.【詳解】因為，所以，解得.故選C.3．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.【詳解】對于A選項，因為設，即，可解得，所以，，共面，不能構成空間的一個基底，故A錯誤；對于B選項，因為設，無解，所以不共面，能構成空間的一組基底，故B正確；對于C選項，因為設，可解得，所以共面，不能構成空間的一個基底，故C錯誤；對于D選項，因為設，可解得，所以共面，不能構成空間的一個基底，故D錯誤.故選B.4．【答案】B【分析】首先求出直線,的斜率，然后結合圖象即可寫出答案．【詳解】記為點，直線的斜率，直線的斜率，因為直線過點，且與線段相交，所以結合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選B．5．【答案】D【解析】根據(jù)三點共線，可得，由兩點求斜率即可求解.【詳解】由題意可得，因為三點共線，所以，即，解得或，所以的值為2或．故選D．6．【答案】A【分析】寫出點坐標，由對稱性易得線段長．【詳解】點是點，關于平面的對稱點，的橫坐標和縱坐標與相同，而豎坐標與相反，，直線與軸平行，.故選A．7．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，，進而求出線線角的向量公式即可求出結果.【詳解】如圖所示，以D為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則.所以，因為，所以.故選C.

8．【答案】B【分析】三角形重心為，所以，計算出和，得到在上的投影，根據(jù)勾股定理計算即可.【詳解】在空間直角坐標系中，，三角形重心為，所以，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為.故選B.9．【答案】BD【分析】根據(jù)向量與不平行，可判定A錯誤；由，可判定B正確；由，可判定C不正確；由，可判定D正確.【詳解】對于A選項，因為由直線，的方向向量分別是，，設，可得，此時方程組無解，即與不平行，所以與不平行，所以A錯誤；對于B選項，因為由直線的方向向量是，平面的法向量是，可得，所以，所以，所以B正確；對于C選項，因為由直線的方向向量是，平面的法向量是，可得，可得，所以或，所以C不正確；對于D，因為由兩個不同的平面，的法向量分別是，，可得，所以，則，所以D正確.故選BD.10．【答案】BD【分析】利用空間向量共線可判斷A；求出與同向的單位向量可判斷B；求出和夾角的余弦值可判斷C；求出平面的一個法向量可判斷D.【詳解】對于A選項，因為，，，所以與不是共線向量，故A錯誤；

對于B選項，，與同向的單位向量是，故B正確；對于C選項，因為，，，所以和夾角的余弦值是，故C錯誤；

對于D選項，因為，，設為平面的一個法向量，則，，令，可得，所以平面的一個法向量是，故D正確.故選BD.11．【答案】ACD【分析】A.根據(jù)線面垂直作出判斷；B.假設結論成立，然后通過條件驗證假設；C.通過面面平行來證明線面平行；D.將直線平移至同一平面內(nèi)，然后根據(jù)長度計算異面直線所成角的余弦值.【詳解】選項A．如圖所示，

因為，所以四邊形是正方形，所以，因為幾何體為長方體，所以平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，故A正確；選項B．如圖所示，

假設平面，因為平面，所以，顯然不成立，故假設錯誤，所以B錯誤；選項C．如圖所示，

連接，因為由條件可知，所以，因為，所以平面平面，因為平面，所以平面，故C正確；選項D．如圖所示，

連接，因為，所以和所成角即為或其補角，因為由條件可知：，所以，故D正確.故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量求出斜率，從而利用點斜式寫出直線方程，化為一般式.【詳解】由題意該直線斜率為，所以直線l的方程為：，化為一般式方程為：.故答案為：.13．【答案】【分析】依題意設，列方程組能求出結果．【詳解】，，，且，，三向量共面，設，，，解得，，．故答案為：．14．【答案】【詳解】如圖，以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，可得，設平面的法向量為，則，令，則，即，由題意可得：平面的法向量，則，由圖形可知：二面角為鈍角，所以其余弦值為.

15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出空間向量的坐標，再結合向量垂直的坐標表示列式計算即得.（2）利用投影向量的定義求解即得.【詳解】（1）依題意，，，因為與垂直，可得，所以解得.（2）因為由（1）知，，，所以在上的投影向量為.16．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）借助空間向量的線性運算和模長與數(shù)量積的關系計算即可得；（2）結合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.【詳解】（1）因為，所以，所以.（2）由空間向量的運算法則，可得，因為，且，所以，，所以.17．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，證明，，即可得，從而可證平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得證；（2）因為平面平面，所以點到平面的距離即為平面與平面間的距離，求出平面的法向量，從而可求的答案.【詳解】（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，因為由題意可得，，，，，，，，所以，，，，所以，，所以EFMN，AMBF．因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面，因為，所以平面平面，（2）因為平面平面，所以點到平面的距離即為平面與平面間的距離．設是平面的法向量，則有，即，可取，因為，所以點B到平面AMN的距離為，故平面與平面間的距離為．18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，計算出，得到直線垂直；（2）利用空間向量夾角余弦公式進行求解；（3）求出的坐標，由公式計算出.【詳解】（1）如圖，以為原點，，，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，因為，，所以，所以，故；（2）因為，所以因為，，所以；（3）因為是的中點，所以，因為，所以，，故.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）直接建立空間直角坐標系，然后用空間向量計算垂直，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用第一小問建立的空間直角坐標系計算即可；（3）利用向量的投