陜西省西安市2024−2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試卷含答案

陜西省西安市2024?2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知為異面直線，平面，平面、，則（

）A．與都相交 B．與至少一條相交C．與都不相交 D．至多與中的一條相交2．如果實數(shù)，滿足等式，那么的最小值是（

）A． B． C． D．3．如圖，是正方體，，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點）、重心（中線的交點）、垂心（高的交點）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.若的頂點，則其歐拉線方程為（

）A． B．C． D．5．已知直線過點（1，3），若與軸，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．已知點，且點在直線上，則下列命題中錯誤的是（

）A．存在點，使得B．存在點，使得C．的最小值為D．的最大值為37．已知正三棱臺的側面積為6，，，則與平面ABC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．使方程組至少有一個解，且所有的解都是整數(shù)解的實數(shù)對的個數(shù)是（

）A．66 B．78 C．72 D．70二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，圓，則（

）A．圓與圓內切B．直線是兩圓的一條公切線C．直線被圓截得的最短弦長為D．過點作圓的切線有兩條10．在三棱錐中，已知，，點分別是的中點，則（

）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為1111．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則（

）A．B．的最大值是5C．的取值范圍是D．的最大值是三、填空題（本大題共3小題）12．已知，其中若，則.13．為保護環(huán)境，建設美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為三個自然村建造一座垃圾處理站，集中處理三個自然村的垃圾，受當?shù)貤l件限制，垃圾處理站M只能建在與A村相距，且與C村相距的地方．已知B村在A村的正東方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，則垃圾處理站M與B村相距．14．連接三角形三邊中點所得的三角形稱為該三角形的“中點三角形”，定義一個多面體的序列；是體積為1的正四面體，是以的每一個面上的中點三角形為一個面再向外作正四面體所構成的新多面體.則的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知坐標平面內兩點．(1)當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍；(2)若直線的方向向量為，求的值．16．已知圓心為的圓經(jīng)過和，且圓心在直線上(1)求圓心為的圓的標準方程；(2)線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段中點的軌跡方程．17．已知圓，直線.(1)若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程.(2)若點在直線上運動，，求的最小值.18．如圖，在直三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，為中點，點在棱上，且.(1)當時，求證平面；(2)設為底面的中心，求直線與平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時的值.19．如圖，經(jīng)過原點的直線與圓相交于兩點，過點且與垂直的直線與圓的另一個交點為．(1)當點坐標為時，求直線的方程；(2)記點關于軸對稱點為（異于點），求證：直線恒過軸上一定點，并求出該定點坐標；(3)求四邊形的面積的取值范圍．

參考答案1．【答案】B【分析】由題意畫出滿足條件的圖象，結合異面直線的定義，得到正確選項.【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，

也可以與兩條都相交，但不交于同一點，如圖

綜上：與中的至少一條相交.故選：B【點睛】本題考查判斷直線與直線的位置關系，意在考查空間想象能力，屬于基礎題型.2．【答案】D【詳解】由題意可得設過原點的直線的斜率為，即直線方程為畫出圖形由圖可得當直線與圓相切時，斜率最小，圓心2,0，半徑為所以2k1+k2=3故選：D.3．【答案】A【分析】通過平移直線求得異面直線所成的角，再由余弦定理即可得解.【詳解】過點A在平面內作，再過點在平面內作，如圖，則或其補角即為與所成的角，因為是正方體，不妨設，則，，所以在中，.故選：A.4．【答案】C【詳解】解：因為的頂點，可得的重心的坐標為，由，可得，所以的垂直平分線所在直線的斜率為，可得的垂直平分線所在直線的方程為，又由，可得的垂直平分線所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即的外心的坐標為，則，所以的方程為，即，所以的歐拉線方程為.故選：C.5．【答案】D【詳解】由題意知直線在軸上的截距存在且大于，設直線的方程為，直線過點，可得，所以，當且僅當，即取等號，故，所以.故選：D.6．【答案】A【詳解】對于A：構造以為直徑的圓，其方程為.因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以在直線不存在點，使得，故A錯誤;對于B：設，由可得，，化簡得，即，所以圓心為，半徑為，可判斷圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交所以存在點，使得，故B正確；對于C項：設關于直線的對稱點為，由可解得，即，則，所以，故C正確；對于D項：當點與不共線時當點與共線時，此時點，故D正確.故選:A.7．【答案】A【詳解】設中心為，中心為O，如圖，連接，由正棱臺的性質可知，，平面，平面，則，在直角梯形中，過作，垂足為，則，則四邊形為平行四邊形，且平面.所以即為所求與平面ABC所成角.在等腰梯形中過作，垂足為，設，則，則，在中，，由正三棱臺側面積為，可知梯形的面積為，故，解得，則，在四邊形中，，則，則在中，.故側棱與平面所成角的余弦值為.故選：A.8．【答案】C【詳解】解：因為且，所以，，，共12組整數(shù)解，對應12個整點，即，，，，，，，，，，，.又因為表示不經(jīng)過原點的直線，所以當直線與圓相交于兩個整點時，共有條直線，且對應有實數(shù)對的個數(shù)為；當直線與圓相切于一個整點時，共有條直線，且對應有實數(shù)對的個數(shù)為；綜上符合要求的實數(shù)對的個數(shù)為.故選：C.9．【答案】BCD【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑；對于A，，，即，兩圓外切，故A錯誤；對于B，圓心到直線的距離，則與圓相切，圓心到直線的距離，則與圓相切，所以是兩圓的一條公切線，故B正確；對于C，直線恒過點，連接，過作，交于圓于點，如圖所示，則即為直線被圓截得的最短弦，則，由勾股定理得，，則，所以直線被圓截得的最短弦長為，故C正確；對于D，因為，所以在圓外部，所以過點作圓的切線有兩條，故D正確；故選：BCD．10．【答案】ABD【詳解】三棱錐中，已知，,三棱錐補形為長方體，如圖所示，則有，解得，以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，點M，N分別是AD，BC的中點，則有,所以，所以,故A選項正確；設平面的法向量為，,所以，則，即，同理可得，平面的法向量為，所以，所以，所以平面平面，故B選項正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長方體體積減去這四個三棱錐體積為，故C選項錯誤；長方體的外接球的半徑為，這個外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，故D選項正確.故選：ABD.11．【答案】BCD【詳解】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點Px,y，則,,所以,點在以為直徑的圓上，所以,則,故A錯誤；由，所以，故B正確；由，即，當且僅當取等號.由三角不等式，，故的取值范圍是，故C正確；由，,則，所以,故D正確.故選：BCD12．【答案】【詳解】由題意可得，，，則.故答案為：13．【答案】或.【分析】建立平面直角坐標系，求出圓A的方程和圓C的方程，進而求得兩圓公共弦的方程，聯(lián)立圓A的方程求得點M坐標，進而求得答案.【詳解】以A為原點，以為x軸建立平面直角坐標系，則，以A為圓心，以5為半徑作圓A，以C為圓心，以為半徑作圓C，則圓A的方程為：，圓C的方程為∶，即，∴兩國的公共弦方程為∶設，則，解得或，即或．∴或，故答案為∶或.14．【答案】【詳解】如圖，畫出了，因為有4個面，則有24個面，歸納可知有個面，這個數(shù)即是到時增加的小正四面體的個數(shù)，由于新增加的每一個小正四面體的體積是前一個小正四面體體積的，歸納得到時增加的每個小正四面體的體積為，所以比的體積增加了，所以的體積為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）結合兩點式求斜率，解不等式即可得出答案；（2）根據(jù)方向向量得，解方程即可得出答案.【詳解】（1）因為傾斜角為銳角，則，又即，解得．（2）直線的方向向量為16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，所以弦的垂直平分線的斜率為又弦的中點坐標為，所以弦的垂直平分線的方程為，即，與直線聯(lián)立解得：，，所以圓心坐標為所以圓的半徑，則圓C的方程為：；（2）設，線段的中點為，，為中點，所以，則，①；因為端點在圓上運動，所以，把①代入得：，所以線段的中點M的軌跡方程是.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為恰好平分圓的圓周，所以經(jīng)過圓心，設點關于直線的對稱點，則直線與直線垂直，且線段的中點在上，即，解得，所以，所以直線即為直線，且，所以直線方程為，即；（2）由已知點在直線上，設，則，所以當時，取得最小值為.18．【答案】(1)證明見解析.(2)最大值為，此時.【詳解】（1）取的中點，連接，因為三棱柱為直棱柱，且△為正三角形，所以以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)已知條件得，，當時，，，，，，即，又，而平面，平面.（2）由（1）知，，，為△的中心，，，設平面的法向量，則，令，則，設直線與平面所成角為，則令，則，此時，(當且僅當即時取等號)，，即直線與平面所成角正弦的最大值為，此時的值為.19．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(3)【分析】（1）根據(jù)垂直求出的斜率，由點斜式即可解決；（2）設直線方程，聯(lián)立方程組到韋達定理，找等量關系，由，得，再根據(jù)，即可解決；（3）分類討論，運用弦長公式求得，由即可.【詳解】（1）當點坐標為時，直線的斜率為2，