內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則等于（

）A． B． C．2 D．3．若直線(xiàn)與互相垂直，則的值為（

）A． B． C．或 D．或4．正方體中，為中點(diǎn)，則直線(xiàn)，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線(xiàn)方程為（

）A． B．C．或 D．或6．平行六面體中,.則=（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在直線(xiàn)的同側(cè)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍是（）A． B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C． D．(?1,0)∪(1,+∞)8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線(xiàn).已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則10．以下四個(gè)命題敘述正確的是（

）A．直線(xiàn)在軸上的截距是1B．直線(xiàn)和的交點(diǎn)為，且在直線(xiàn)上，則的值是C．設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2D．直線(xiàn)，若，則或211．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，若一點(diǎn)P在底面內(nèi)（包括邊界）移動(dòng)，且滿(mǎn)足，則（

）A．與平面的夾角的正弦值為 B．點(diǎn)到的距離為C．線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最大值為 D．與的數(shù)量積的范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．兩平行直線(xiàn)與之間的距離為．13．已知空間向量，，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為14．在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A(yíng)，B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)的重心，則的周長(zhǎng)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，BC中點(diǎn)為D點(diǎn)，求：(1)邊所在直線(xiàn)的方程(2)邊上中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)的方程(3)邊的垂直平分線(xiàn)的方程.16．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求.17．設(shè)直線(xiàn)l的方程為．(1)求證：不論a為何值，直線(xiàn)l必過(guò)一定點(diǎn)P；(2)若直線(xiàn)l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)，，當(dāng)面積最小時(shí)，求此時(shí)的直線(xiàn)方程；(3)當(dāng)直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)且a也為正整數(shù)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．18．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，M為棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAD；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線(xiàn)段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是？若存在，求出PQ的值；若不存在，說(shuō)明理由．19．有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)，將三角板鋁成，問(wèn)：應(yīng)該如何鋸法，即直線(xiàn)斜率為多少時(shí)，可使三角板的面積最大？

參考答案1．【答案】C【詳解】易知的斜率為，顯然傾斜角為.故選：C2．【答案】A【分析】由點(diǎn)關(guān)于某坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征以及兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，所以.故選A.3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則，即，解得或.故選：D.4．【答案】B【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量求線(xiàn)線(xiàn)夾角.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，可得，則，所以直線(xiàn)，所成角的余弦值為.故選B.【方法總結(jié)】求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量夾角（直線(xiàn)方向向量與直線(xiàn)方向向量、直線(xiàn)方向向量與平面法向量、平面法向量與平面法向量）的余弦值，通過(guò)轉(zhuǎn)化求出結(jié)果.5．【答案】D【分析】分直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線(xiàn)的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿(mǎn)足題意，又因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)方程為，即，當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，解得，所以直線(xiàn)方程為，故所求直線(xiàn)方程為或.故D項(xiàng)正確.故選D.6．【答案】A【分析】先表達(dá)出，兩邊平方后，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，從而求出模長(zhǎng).【詳解】由題意得，故，故.故選A.7．【答案】A【詳解】由題意，點(diǎn)，，，根據(jù)斜率公式，可得，，如圖所示，要使得直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在直線(xiàn)的同側(cè)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍是.故選：A.

8．【答案】A【詳解】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線(xiàn)上，所以設(shè)外心，因?yàn)?，所以，解得，即：，則，故歐拉線(xiàn)方程為：，即：，故選：A.9．【答案】ACD【分析】運(yùn)用空間向量的垂直、共線(xiàn)的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算、模的運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，由可得，解得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由可得，解得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.10．【答案】BC【分析】求出直線(xiàn)的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離判斷C；驗(yàn)證判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，直線(xiàn)在軸上的截距是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由解得，即，則，解得，B正確；對(duì)于C，依題意，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)重合，D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】ABD【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，，若，則，可得，則，解得，即.對(duì)于選項(xiàng)A：可知平面的法向量，則，所以與平面的夾角的正弦值為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以點(diǎn)到的距離為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，且，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最大值為3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，則，且，可知當(dāng)時(shí)，取到最小值；當(dāng)時(shí)，取到最大值；所以與的數(shù)量積的范圍是，故D正確；故選：ABD.12．【答案】/【詳解】由，可得，所以與之間的距離為.故答案為：.13．【答案】【詳解】由投影向量的定義可知，，故答案為：14．【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B4,0，，，所以直線(xiàn)的方程為，設(shè)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由，易得，，直線(xiàn)就是所在的直線(xiàn)，

所以直線(xiàn)的方程為，設(shè)的重心為，則，所以，即，所以（舍去）或，所以，.結(jié)合對(duì)稱(chēng)關(guān)系可知，，所以的周長(zhǎng)即線(xiàn)段的長(zhǎng)度為：.故答案為：.15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），故邊所在直線(xiàn)的方程為：，化簡(jiǎn)得到.（2）中點(diǎn)為，即，故，故AD所在直線(xiàn)的方程為，即.（3），故垂直平分線(xiàn)的斜率為，中點(diǎn)為，故垂直平分線(xiàn)的方程為，即.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,E0,0,1，，，，，，因?yàn)椋?，所以，所以，?（2）因?yàn)?，所以因?yàn)?，且，所?17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)．【詳解】（1）由得，則，解得，∴不論a為何值，直線(xiàn)l必過(guò)一定點(diǎn)；（2）由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．，，∴直線(xiàn)方程為．（3）直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)，即，均為正整數(shù)，而a也為正整數(shù)，，，∴直線(xiàn)l的方程為．18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)（i）；（ii）存在，．【分析】（1）取中點(diǎn)，可證四邊形是平行四邊形，可得，從而得證；（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，（ii）假設(shè)存在點(diǎn)到平面的距離為，利用點(diǎn)到面的距離公式法求解即可.【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示：因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PDC，所以平面ABCD，又因?yàn)锳D，平面ABCD，所以，而，，所以以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以（i），設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，平面PDM的一個(gè)法向量為，所以，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為.