內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月大聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，，，則（

）A． B．C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)（），且，則（

）A．1 B．2 C． D．4．若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（

）A．5 B．1 C． D．5．在中，角，，的對邊分別為，，，已知，則（

）A． B．C． D．6．已知，，過點(diǎn)的直線l與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，，則（

）A． B． C．8 D．118．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（

）

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．的值域?yàn)?0．已知，，是曲線上的任意一點(diǎn)，若的值與x，y無關(guān)，則（

）A．m的取值范圍為 B．m的取值范圍為C．n的取值范圍為 D．n的取值范圍為11．已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點(diǎn)P滿足，其中，，，則（

）A．當(dāng)P為底面的中心時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，長度的最小值為C．當(dāng)時(shí)，長度的最大值為6D．當(dāng)時(shí)，為定值三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，．若，則．13．已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為.14．過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交圓O：于和，則四邊形面積的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線l：.(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求a的值；(2)若直線m：，且，求l與m間的距離.16．如圖，在正六棱柱中，為的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)用，，表示向量，；(2)若求的值．17．已知圓M與y軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線截得的弦長為.(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線l與圓M相切，求直線l的方程.18．如圖，在幾何體中，平面，，，，，分別為棱，的中點(diǎn).(1)證明：平面．(2)證明：.(3)求直線與平面所成角的正弦值.19．定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”(1)求點(diǎn)P所在曲線的方程.(2)已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.（?。┣笾本€的方程.（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)槿?，，所以，又因?yàn)椋?故選：D.2．【答案】A【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，都可點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是．故選：A.3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，因?yàn)?，所?故選：D,4．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m的取值可以為.故選：C5．【答案】B【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，所以，或，，又，，則，所以．故選：B．6．【答案】B【詳解】，，由圖象可知：直線l的斜率的取值范圍為.故選：B.

7．【答案】C【詳解】因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，則，解得，因?yàn)?，則，所以，則.故選：C.8．【答案】C【詳解】在從左往右第一個(gè)圖中，因?yàn)?，所以，因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，所以面，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

因?yàn)榉謩e是所在棱的中點(diǎn)，所以所以，，故，即得證，在從左往右第二個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，

此時(shí)，所以，，故，所以，在從左往右第三個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，

此時(shí)，故，，即，所以不垂直，則3個(gè)直觀圖中滿足的有個(gè)，故C正確.故選：C9．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，故A正確；由，可得，所以圖象的對稱軸為，當(dāng)時(shí)，圖象的關(guān)于對稱，故B正確；由，可得，所以圖象的對稱中心為，當(dāng)時(shí)，圖象的關(guān)于點(diǎn)對稱，故C不正確；由，故的值域?yàn)?，故D正確.故選：ABD.10．【答案】BC【詳解】由曲線，得，則（），所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓（x軸及以上部分）.若的值與x，y無關(guān)，則該曲線在兩平行直線：與：之間.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，，解得，則m的取值范圍為.當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得，則n的取值范圍為.故選：BC11．【答案】BCD【詳解】對于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，由，則故，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;對于C，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在及內(nèi)部，而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得最大值為，故C正確；對于D，，，而，所以，則為定值，故D正確.故答案選：BCD.12．【答案】【詳解】．因?yàn)?，所以，解得．故答案為?13．【答案】【詳解】，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：14．【答案】【詳解】記圓心O到直線，的距離分別為，，則，因?yàn)?，，所以，即，則四邊形的面積，即四邊形面積的最大值為97.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，則，令，則，所以，解得.（2）因?yàn)?，所以，解得，則的方程為，即，則l與m間的距離.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），；（2）由題意易知，則，，則．17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因?yàn)閳A心在軸的負(fù)半軸上，所以設(shè)圓：又圓與軸相切，所以，即.圓心到直線的距離為,所以，解得，則.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓心為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，其切線有2條.①當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，即，則圓心M到的距離，解得，此時(shí)的方程為.②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為2，所以直線與圓M相切.綜上，的方程為或.18．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)【詳解】（1）如圖，連接.在中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,，又平面，平面.所以平面.（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，?平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所?（3）因?yàn)椋灾本€與平面所成角與直線與平面所成角相等，設(shè)為.不妨設(shè)，則.設(shè)到平面的距離為.則.又.在中，，，所以,，.所以.所以.故直線與平面所成角的正弦值為.19．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）存在，【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，故點(diǎn)P所在曲線的方程為（2）（?。┮?yàn)镻為圓B的“黃金點(diǎn)”，則所以，即點(diǎn)P在圓上，則P是圓和的交點(diǎn).因?yàn)镻，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，所以直線即為圓和的公共弦所在直線，兩圓方程相減可得，故