遼寧省大連市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試卷含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，，，若四點共面，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2．如圖，正四面體ABCD的棱長為2，點E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點，則的值為（

）A．4 B． C． D．23．已知為平面的一個法向量，l為一條直線，為直線l的方向向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若，，，則點A到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線l的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面α的方程為，經(jīng)過點的直線l的方程為，則直線l與平面α所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．6．如圖，正四棱臺中，，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．7．如圖，四面體A-BCD，△ABD與△BCD均為等邊三角形，點E、F分別在邊AD、BD，且滿足，，記二面角的平面角為，，則異面直線BE與CF所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．8．如圖，四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知四面體，則下列說法正確的是（

）A．若D為的中點，E為的中點，則B．若四面體是棱長為1的正四面體，則C．若，，，則向量在上的投影向量是D．已知，，，則向量，，不可能共面10．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM=2A1M，C1N=2B1N.設(shè)，，，若，，AB=AC=AA1=1，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．直線AB1和直線BC1相互垂直 D．直線AB1和直線BC1所成角的余弦值為11．在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．若∥平面，則動點的軌跡是一條長為的線段B．存在點，使得⊥平面C．三棱錐的最大體積為D．若，且與平面所成的角為，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是.13．如圖，正方體的棱長是2，S是的中點，P是的中點，點Q在正方形及其內(nèi)部運動，若平面，則點Q的軌跡的長度是.14．在平面四邊形中，，，，，沿將向上翻折，得到四面體，則四面體體積的最大值為；若二面角的大小為120°，則.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且．設(shè)．(1)試用表示向量；(2)若，求異面直線與的夾角的余弦值．16．如圖一，是等邊三角形，為邊上的高線，，分別是，邊上的點，；如圖二，將沿翻折，使點到點的位置，.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值.17．如圖，在四棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)若四棱臺的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．18．在正方體中，為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動點.

(1)點在棱上，當(dāng)時，平面，試確定動點在直線上的位置，并說明理由；(2)若為底面的中心，求點到平面的最大距離.19．已知兩個非零向量，，在空間任取一點O，作，，則叫做向量，的夾角，記作，定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，E為上一點，.(1)求的長；(2)若E為的中點，求二面角的余弦值；(3)若M為上一點，且滿足，求.

參考答案1．【答案】D【詳解】若四點共面，則存在實數(shù)使得成立，則解得故選：D．2．【答案】C【詳解】，．故選：C．3．【答案】B【分析】利用線面垂直的性質(zhì)及其法向量與方向向量的關(guān)系，即可判斷得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示：若，則可以在平面內(nèi)，即，所以充分性不成立；若，易知，由線面垂直性質(zhì)可知，即必要性成立；所以可得“”是“”的必要不充分條件.故選B.4．【答案】A【詳解】，，則在上的投影向量的模為，則點A到直線的距離為．故選：A.5．【答案】A【詳解】由題設(shè)知：平面α的法向量，直線l的方向向量，且平面α與直線l相交于，所以直線l與平面α所成角的正弦值為.故選：A6．【答案】A【詳解】設(shè)正四棱臺的高為，所以四邊形，是正方形，設(shè)其中心分別為，連接，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，且作，由勾股定理得，所以，由題意得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故，得到，而，所以，，所以，由投影向量公式得在上的投影向量為，故A正確.故選：A7．【答案】C【詳解】由于△ABD與△BCD均為等邊三角形，由可知為的中點，過作，交于點，連接，則，,故的夾角即為二面角的平面角為，故，設(shè)等邊三角形的邊長為2，設(shè)與的夾角為，則，，即，則，，即，故選：C．8．【答案】C【詳解】解：取BD中點O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），設(shè)二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ，則，連AO、BO，則∠AOC＝θ，A（），∴，，設(shè)AB、CD的夾角為α，則cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值為．故選C．9．【答案】ABC【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為正四面體，所以對棱互相垂直，，故B正確；

對于C，，，所以向量在向量上的投影向量為，故C正確；對于D，假設(shè)向量共面，則，，所以，所以，解得，所以當(dāng)，時向量共面，故D錯誤.故選：ABC.10．【答案】ABD【詳解】A：，又，∴.B：∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴.對于C、D：，，所以D正確，C錯誤，故選：ABD.11．【答案】ACD【詳解】對于A中，如圖所示，分別在取點，使得，可得，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，又由，且平面，平面，所以平面，又因為，且平面，所以平面平面，且平面平面，若平面，則動點的軌跡為線段，且，所以A正確；對于B中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)，可得，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，可得，所以，若平面，則，所以存在，使得，則，所以不存在點，使得平面，所以B錯誤；對于C中，由，可得，則，所以，所以,要使得三棱錐的體積最大，只需點到平面的距離最大，由，可得點到平面的距離，因為，所以當(dāng)時，即點與點重合時，可得，所以三棱錐的最大體積為，所以C正確；對于D中，在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，所以，即，又由，設(shè)與平面所成的角，所以，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即時，與平面所成的角最大值，的最大值為，D正確.故選：ACD.1、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；2、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.12．【答案】【詳解】與的夾角為鈍角，，解得，由題意得與不共線，則，解得，的取值范圍是.故答案為：.13．【答案】【詳解】解：如圖所示：要使平面，作交于E，則平面，因為正方體的棱長是2，所以，連接，取的中點，連接，則為平行四邊形，則，則平面，又，所以平面平面，設(shè)平面平面=EF，則，連接，則為平行四邊形，在上，所以，故答案為：14．【答案】【詳解】取的中點，連接，由題知，當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大，，，，，，，即，，為等腰三角形，，，平面平面，平面，平面，四面體體積的最大值為；如圖，過點作交于點，過點作于點，，與的夾角即為二面角的平面角，在中，，，，，，，，，.故答案為：；.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖可得：.（2）由（1）可知，因為，所以，，，，所以，，，所以，所以異面直線與的夾角的余弦值為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）是等邊三角形，，為邊上的高線，，則，，又，平面，平面，平面，平面，，在內(nèi)，，，，，，又，平面，平面，平面；（2）分別以，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為n1=則，取，則，，，設(shè)平面的法向量為，，取，則，，，設(shè)平面與平面的夾角為，，則，，平面與平面夾角的正弦值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）解法一：，，，在中，，由余弦定理得，故，則，因為棱臺，故交于一點，即共面，又，即，，平面，所以平面，因為面，所以，又，即，，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；解法二：由棱臺的定義，把四棱臺的側(cè)棱延長交于點，得到四棱錐，，同解法一，可得，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則，設(shè)，由，則有，所以，即，所以平面，因為平面，故平面平面，即平面平面；（2）解法一：設(shè)梯形與梯形的面積分別為，，因為梯形與梯形相似，且，故，所以，由（1）知，平面，則，所以，故，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

，由，得，由，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則．解法二：可知四棱錐與四棱錐，相似比為，故體積比為，故，所以，又，所以，故，所以，故下同解法一．18．【答案】(1)為的中點，理由見解析；(2).【詳解】（1）設(shè)平面與平面的交線為，因為平面平面，平面平面，所以.由正方體知，平面平面，又因為平面平面，平面平面，所以，所以，取的中點，連接，易知，所以，又因為為的中點，所以為的中點.

（2）法一：以點為原點，分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，其中，

設(shè)平面的法向量為，則有即，不妨取，，則，所以點到平面的距離當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)，即時，d取到最大值為.綜上，點到平面的最大距離為19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為底面為矩形，所以，，又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以為直線與所成角，即，設(shè)，則，，在中，