高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè) 541-542正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案

新教材必修第一冊(cè)

541正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像

542正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

課標(biāo)解讀

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像（理解）

2.周期函數(shù)的概念.（了解）

3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì).（理解）

學(xué)法指導(dǎo)

1.在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)在三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，利用單位圓作出正弦函數(shù)和余弦函

數(shù)的圖像，再利用圖象形象直觀探究、把握、記憶正弦和余弦函數(shù)的性質(zhì).

2.教材上重點(diǎn)研究了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，同學(xué)們可以通過類比學(xué)習(xí)余弦函數(shù)的性

質(zhì).

知識(shí)導(dǎo)圖

知識(shí)全解

知識(shí)點(diǎn)1：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像

1.正弦函數(shù)的圖象

（1）函數(shù)戶sinx的圖象

根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到y(tǒng)=sin~E[0,2組的圖象，如圖所示.

由誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)y=sinx,xe[2k7r,2（k+1閉,ZGZ且攵工0的圖像與y=sinw[0,2%]的

圖象形狀完全一致,因此將函數(shù)y=sinx,xb0,2加的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)

24個(gè)單位長度)，就就可以得到正弦函數(shù)產(chǎn)sinx,xwR的圖像.

觀察下圖，在函數(shù)y=sinx,xw［0,2組的圖象上，以下五個(gè)點(diǎn)

(0,0),(-,1),(肛0),(―-1),(2匹0)

22

在確定圖象形狀時(shí)起關(guān)鍵作用.描出這五個(gè)點(diǎn)，函數(shù)y=sinx,x￡［0,2組的圖象形狀就基本

確定了,因此，在精確度要求不高時(shí)，常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們

連接起來，得到正弦函數(shù)的的簡圖,這種作圖方法叫做“五點(diǎn)(畫圖)法”

2.余弦函數(shù)的圖象

(1)圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象

由誘導(dǎo)公式六，我們知道丁ucosxusinCr+g,而函數(shù)y=sin(x+g,xcR的圖象可以通過

正弦函數(shù)y=sin-xcR的圖像.向左平移］個(gè)單位長度而得到，所以將正弦函數(shù)的圖象

向左平移g個(gè)單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖象.

2

(2)五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象

類似于正弦函數(shù)圖象的作作法，從余弦函數(shù)y=cosx,xwR的圖象可以看出，要作出函數(shù)

y=cosx在［0,2萬］上的圖象，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是：

(0,1),(-,0),(4,一1),(―,0),(2肛1)

22

先描出這五個(gè)點(diǎn)用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數(shù)、=*$工在。2封上的簡圖，再

通過左右平移（每次移動(dòng)2萬個(gè)單位長度）即可得到余弦函數(shù)y=cosx,xwR的圖象.

3.正弦曲線、余弦曲線

正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦函數(shù)和余弦曲線.

它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

例1-1:(1)作出函數(shù)y=2sinx(04x<24)的簡圖;

（2）作出函數(shù)y=1-cosx（0Wx42/r）的簡圖.

答案：（1）

例1-2：作出函數(shù)已=的簡圖.

答案:

-2ir-F01T2^

知識(shí)點(diǎn)2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1.周期函數(shù)

（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)/（幻的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每

一個(gè)xe。都有x+Tc。，且f(x+T)=/(x),那么函數(shù)/(幻就叫做周期函數(shù)俳零常數(shù)了叫

做這個(gè)函數(shù)的周期函數(shù).

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/3)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)

最小正數(shù)就叫做了。)的最小正數(shù)就叫做/(x)的最小正周期.

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)如下表：

函數(shù)y=sinxy=cosx

函數(shù)7p\y*

-1

定義域RR

值域[-14][-1,1]

周期性最小正周期：24最小正周期：2冗

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

單增區(qū)間[----+2攵肛一+2攵乃](2GZ)\-7l+2k7T,2k7C](kGZ)

22

調(diào)

減區(qū)間[—+2k,7T,—+2上4](欠wZ)[2左4,7i+2kil(kGZ)

性22

當(dāng)x=匹+2k;r(k€Z1時(shí)，當(dāng)x=2k7T(kwZ)時(shí)，y=1;

2max

小=1；當(dāng)工=手+224

最值當(dāng)x=7T+2k兀(ksZ)時(shí)，ymax=1;

(ZeZ)時(shí)，ymin=-l.Vmin=T?

對(duì)稱中心：(5■,())(%￡Z)對(duì)稱中心：(k7T+-fi)(keZ)

圖象的對(duì)稱性2

對(duì)稱軸方程：x=k;r+—(keZ)對(duì)稱軸方程：x=kn(kGZ)

2

例23若函數(shù)y=sin“D=cosx在區(qū)間D上都是增函數(shù)，則區(qū)間D可以是()

A?(吟。.唔D得次

例2?4:設(shè)Q=COSC,Z?=sin^^,c=cos—,貝()

1264

K.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

答案：A

例2.5：求下列函數(shù)的定義域和值或：

(1)y=2-sinx;(2)y=-v-3sinx;(3)y=lgcosx.

答案：(1)[1,3]；(2)[0,拘；(3)(-oo,0].

重難拓展

知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)周期性的探究

1.對(duì)周期函數(shù)定義的理解

在已知函數(shù)/(x)是周期函數(shù)的前提下，對(duì)于一個(gè)非零常數(shù)7為函數(shù)/(幻的周期的反面理

解是只要/(幻定義域中有一個(gè)值使得/(%+7)=/30)，則T就不是/0)的周期.例如,

對(duì)于f(x)=sinx,我們?cè)诘玫剿且?萬為周期的周期函數(shù)后，一個(gè)自然的問題是：還有

沒有其他的數(shù)是正弦函數(shù)的周期？例如衛(wèi)是不是它的周期？可以得到，雖然對(duì)于常數(shù)

2

T=|,對(duì)自變量工取%2時(shí)(壯Z)時(shí)都有f(x+g=f(x),但并非“每一個(gè)值”都成立，

如自變量x取m時(shí)就有因此工不是正弦函數(shù)的周期.

66262

2.周期函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明

(1)周期函數(shù)的定義是對(duì)定義域中的每一個(gè)值來說的.如果只有個(gè)別的x滿足

/(x+T)=/(x),那么丁是不能成為f(x)的周期的.

(2)從等式來看，自變量x本身所加的非零常數(shù)才是周期，如=了不

是周期，而應(yīng)寫成/d人十T)=/d(人十2T)]=/(L),即27是/(~L)的周期.

2222

（3）不是所有的函數(shù)都是周期函數(shù)，如y=x+l就不是周期函數(shù).

（4）周期函數(shù)的周期不唯一，如果丁是函數(shù)f（x）的周期，那么且女工0）也是函數(shù)

/3）的周期.

（5）設(shè)周期為7的函數(shù)的定義域?yàn)镸,若xwM,則必有x+仃且〃wO）.因此周

期函數(shù)的定義域一定既無上界也無下界.

（6）函數(shù)的周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).若一個(gè)函數(shù)為周期函數(shù)，則只需研究

它在一個(gè)周期范圍內(nèi)的整體性質(zhì)，就可以知道它的整體性質(zhì).

3.對(duì)最小正周期概念的理解

（1）不是所有的周期函數(shù)都存在最下正周期的.

例如，常數(shù)函數(shù)/*）=c（c為常數(shù)），所有非零常數(shù)都是它的周期，顯然在非零實(shí)數(shù)組成

的集合中，不存在最小的正數(shù)，所以常數(shù)函數(shù)不存在最小正周期.

Lx是有理數(shù)

又如函數(shù)Q（x）=<

0,x是無理數(shù)

任何一個(gè)非零有理數(shù)都是它的周期，但沒有最小正周期.

（2）說明某正數(shù)是函數(shù)的最小正周期，只需說明比該周期小的任意正數(shù)都不是該函數(shù)

的周期即可.

（3）若無特別說明，本書中所說的周期一般都是最小正周期.

4.一類周期函數(shù)的周期公式

（1）一般地，函數(shù)"45抽（血+9）（448為常數(shù)，且AwO,?工0）.的最小正周期丁=

㈤

⑵若函數(shù)y=/（x）的周期是T'則函數(shù)…川+⑺的周期為擊C常數(shù)，且A,。,

6)*0).

5.抽象函數(shù)的周期性

（1）若函數(shù)/（X）（X￡R）滿足了（a+x）=/s+x）（"b）,則函數(shù)/"）是周期函數(shù)，|6-創(chuàng)為它

的一個(gè)周期.

(2)若函數(shù)f(x)(xwR),滿足，3+x)=-f(b+x)("b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，2\b-a\

為它的一個(gè)周期.若b=0,則/(%)的一個(gè)周期為21al.

(3)若函數(shù)和/(x)(xeR)的圖象有兩條對(duì)稱軸x=4x=gz"),則函數(shù)/⑴是周期函數(shù),

2為它的一個(gè)周期.

(4)若函數(shù)〃幻的圖象存在對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(4Hb),則函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，

且2|b-〃|為它的一個(gè)周期.

(5)若函數(shù)/(X)的圖象存在對(duì)稱軸/:x=a,對(duì)稱中心B(A0)("b),,則函數(shù)f(x)為周

期函數(shù)，且4g-為它的一個(gè)周期.

(6)若f(x+a)=/一或/?*+〃)=-，一，則21al為函數(shù)/a)的一個(gè)周期.

fWf(x)

例3-6：求下列函數(shù)的最小正周期:

(1)y=sin(3x+—);(2)y=|cos(2x+—)|.

46

答案」1)V⑵5

例3-7：干支紀(jì)年法(農(nóng)歷)是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一，與國際公歷歷法

并存.黃帝時(shí)期，就有了使用六十花甲子的干支紀(jì)年歷法.干支是天干地支的總稱，把干

支順序相配正好六十為一周期凋而復(fù)始，循環(huán)記錄.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、

壬、癸十個(gè)符號(hào)叫做天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二

個(gè)符號(hào)叫做地支，受此周期規(guī)律的啟發(fā)，可以求得函數(shù)/(x)=sin與+cos3x的最小正周期

為()

A.15乃B.12乃C.6萬

答案：C

例38若對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,都有/a)=〃Aa)+/(x+a),(常數(shù)〃為正整數(shù))，則/a)是

否為周期函數(shù)？若為周期函數(shù)，求它的一個(gè)周期；若不是周期；若不是周期函數(shù)，說

明理由.

答案：由f(x)=f(x-a)+f(x

得f(x+a)=f(x)+f(x+2a)②，

由①+②得f(x-a)+/(x+2a)=0,

所以fG)=-f(x+3a)

f(x+3d)=-/(x+6a)

所以/(幻=/。+6/

故函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，周期為6a.

例3-9：(多選題)定義[幻表示不超過?的最大整數(shù)，例如，口.5]=1,[-1.5]=-2,若

/(x)=sin(x-[x]),則下列結(jié)論中正確的是()

A.y=/(x)是奇函數(shù)

B.y=/(x)是周期函數(shù)，周期為1

C.y=/a)的最小值為0,無最大值

D.y=f(x)無最小值，最大值為sin1

答案：BC

知識(shí)點(diǎn)4：正弦型函數(shù)y=AsinM+e)(Aw0)及余弦函數(shù)y=Acos@r+夕)(A+0)的性質(zhì)

1.函數(shù)正弦型函數(shù)》=〃山(5+0)0400)及余弦函數(shù)產(chǎn)入05(5+°)(人。0)的性質(zhì)

函數(shù)y=Asin(oix+0)y=Acos@r+°)

定義域RR

值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]

當(dāng)A>0,①>0時(shí)，將以+夕視為一個(gè)整體，帶入y=$指3或》=cosx相應(yīng)的

單調(diào)性

單調(diào)區(qū)間求解；當(dāng)A<0或0<0時(shí)，注意單調(diào)區(qū)間的變化.

當(dāng)°=攵乃(2￡Z)時(shí)為奇函數(shù)當(dāng)夕=k4(kEZ)時(shí)為偶函數(shù)

奇偶性

當(dāng)夕=&乃±彳(女￡2)時(shí)為偶函數(shù)當(dāng)e=人乃士々丘Z)時(shí)為奇函數(shù)

周期性T3T=—

㈤\(o\

圖象對(duì)將儂+0視為一個(gè)整體，帶入y=sinx或y=cosx相應(yīng)的對(duì)稱軸方程或?qū)ΨQ

稱性中心的橫坐標(biāo)滿足的方程求解

2.三角函數(shù)的最值與單調(diào)性、奇偶性、周期性的聯(lián)系

(1)三角函數(shù)的最值與單調(diào)性之間的聯(lián)系

相鄰兩個(gè)最大值之間的距離為一個(gè)周期，兩個(gè)最大值之間有一個(gè)最小值，從左至右第

一個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的與與最小值對(duì)應(yīng)的與之間構(gòu)成的區(qū)間為減區(qū)間，第一個(gè)最小值對(duì)

應(yīng)的/與第二個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的與+r所構(gòu)成的區(qū)間，從而三角函數(shù)

y=Asin(5+0)(A>O)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kT+x0,kT+(x0+^-)](A:GZ),單調(diào)遞增區(qū)間為

[kT+(x0+^),kT+(x0+T)(keZ)],單調(diào)遞增區(qū)間為伙丁+(%+多，敏+(/+丁)](&￡2).

當(dāng)然也可以從右至左來看，最大值對(duì)應(yīng)的自變量的值向左半個(gè)周期所對(duì)應(yīng)的區(qū)間為增

區(qū)間，此時(shí)三角函數(shù)y=Asin(〃+e)(A>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7+(%-夕,仃+/)](ZeZ),

單調(diào)遞減區(qū)間為伙7+/,仃+(/+1)](%￡Z)

函數(shù)的最小值的相應(yīng)情況可類似討論.

(2)三角函數(shù)的最值與奇偶性之間的聯(lián)系

三角函數(shù)丁=Asin(atv+oXA,3，e為常數(shù)，旦AwO)為偶函數(shù)當(dāng)且/(0)=0取得最值.

三角函數(shù)丫=公山(皿+姒40,夕為常數(shù)，且A00)為奇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)/(0)=0.

(3)三角函數(shù)的最值與周期性之間的聯(lián)系

由三角函數(shù)的圖象可知，相鄰兩個(gè)最大值之間的區(qū)間長度為周期7,相鄰最大值與最小

值之間的區(qū)間長度叫，相鄰的圖象最高(低)點(diǎn)與圖象與諭的交點(diǎn)之間的區(qū)間長度

為右

例4-10：(多選題)關(guān)于函數(shù)f(x)=3sin(2x-?)+l(xwR),下列命題正確的是()

A.若/(%)=/(%)=1，是乃的整數(shù)倍

B.原函數(shù)等價(jià)于/(x)=3cos^-—)+1

6

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(亨J)對(duì)稱

4

D./(x)的圖象關(guān)于直線.后對(duì)稱

答案：BD

例4-11若函數(shù))，=sin(x+0)(OW°W;r)是R上的偶函數(shù)，則。等于()

A.0B.￡

答案：C

例4-12：若金行點(diǎn)是函數(shù)〃33+夕)(0＞。)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)，則」).

3

A.2B.-C.1D.-

22

答案：A

題型與方法

題型1：正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用

L函數(shù)圖形的識(shí)別問題

例13.函數(shù)/（x）=cosx-ln（V7石-%）在上的圖象大致為（）

r'

-1/&

C

答案：B

例14：（多選題）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此圖象作以下變化

l+2sinx

后的圖象可以與原來圖象重合的變換方法是（）

A.若著x軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°4，

B.沿x軸正方向平移UUUUU

C.以犬軸為軸作對(duì)稱

D.以x軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.

答案：BD

變式訓(xùn)練1：

1.函數(shù)“r）=（e'-er）.sinx的大致圖象為（

答案：D

2.解三角不等式

例15:不等式sin(2x+馬，的解集為______________

32

答案：[x\-—+k7T<X<-+k7C.kEZ｝

124

3.利用圖象解決與函數(shù)零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)的問題

|,>0,若函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)至

例16：已知函數(shù)/(X)=cos(x)u

-logd(-x),x<0(。>。且。*1)

少有3對(duì)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

B?(汐

A"c(o4)D.(y-4)

答案：A

變式訓(xùn)I練2：若集合加=｛例5山62；,0?8?萬｝,^=｛6>|cos<9<pO<6><^)Mr>N=

答案：『"努｝

3o

變式訓(xùn)練3：方程f=cosx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為

。案:|

題型2：值域與最值問題

1.利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求值域(或最值)

例"：求下列函數(shù)的值域；

(1)y=2sin(2x+—),xe—

362

(2)y=|sin^|+sinx

答案：(1)[-后,2](2)[0,2]

2.化為/(sinx)或^(cosx)型函數(shù)求值域(或最值)

例18：求使下列函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的x的值，并求出函數(shù)的最大值和最小值:

(1)y=-sin2x+V3sinx+—;

4

/c、2?y兀71、

\2)y=cosx-sinx9xe[——，一]

44

5.,_1-V2

答案：(1)y=2;y=^--V3.(2)y

maxminm4；Jmin=2

3.分離常量求值域(或最值)

例19：求函數(shù)丁=也二的值域.

sinx-1

答案：||,+8)

變式訓(xùn)練4：求下列函數(shù)的值域:

(1)y=Vcos(sinx);(2)y=l-2sin2x+2cosx.

（2）l-13J

答案：（1）[VcoslJl；

題型3：單調(diào)性問題

1.求正、余弦型函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間

（母題）例20：函數(shù)y=2sin（2x.）的單調(diào)遞增區(qū)間為

答案：[--+k/r,—+k;r],kGZ

1212

子題1：函數(shù)y=-2sin（2x-§的單調(diào)減區(qū)間為

答案：|一~—+k7ri—+k7r],keZ

子題2：函數(shù)y=2sing-2x）+l的單調(diào)遞增區(qū)間為.

答案：[2^+左江,口^+左江],4￡Z

例21：已知函數(shù)/（x）=sin（s?十號(hào)儂＞0）在區(qū)間[-女，當(dāng)上是增函數(shù)，且在區(qū)間10㈤上恰

336

好取得一次最大值1，則①的取值范圍是（）

A.（0,-]C.[-,1]D.[l,-）

5256522

4案,

變式訓(xùn)練5:函數(shù)k2sinaq）aw[r,0]）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

B.[—]一勺C.[-^,0]D.[-J,0]

o663o

答案：D

變式訓(xùn)練6:當(dāng)/=?時(shí)，函數(shù)/(x)=sin(2/+°)取得最大值，則了⑴的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是

().

A?邑瑪B.(g,當(dāng)C.(f㈤D.(?㈤

633623

答案：B

2.比較大小

例22：比較下列各組數(shù)的大小

.10乃1.11萬

(1)sin與s1n廿

17

5TI-14乃

(2)cos——與cos---;

39

(3)sin(cosa)與cos(sina)(0<a<9.

答案：(1)>(2)>(3)<

題型4：奇偶性與對(duì)稱性問題

1.由函數(shù)奇偶性確定參數(shù)的值

例23:已知函數(shù)/(%)=&sin(x+軍+0)是奇函數(shù)，則*的值可以是()

4

A.0B.--C.-D.乃

42

答案：B

2.三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性

例24:如果函數(shù)y=3cosQ八十⑼的圖象關(guān)于點(diǎn)(專,0)中心對(duì)稱，那么IR的最小值為

答案：J

6

例25:已知函數(shù)/3=2的@￥+9)(0>0)的圖象關(guān)于直線工=看對(duì)稱，且嗎)=0,貝1」力的

最小值為()

A.2B.4C.6D.8

答案：A

變式訓(xùn)練7：已知函數(shù)〉=5山(2%+夕)在％=工處取得最大值，則函數(shù)y=cosQx+0)的圖象

6

()

A.關(guān)于點(diǎn)6,0)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(工0)對(duì)稱

63

C.關(guān)于直線X=巳對(duì)稱D.關(guān)于直線彳=工對(duì)稱

63

答案：A

題型5:函數(shù)的周期性

例26：求下列函數(shù)的最小正周期.

⑴f(x)=；cosQx+[);

(2)f(x)=|sinx|.

答案：(1)]；(2)7T

例27:已知函數(shù)/a)=sin(o?十馬(30),若函數(shù)/(八)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的距

離的最小值為?，則/的值為

答案：I

變式訓(xùn)練8.已知產(chǎn)sinw3>0)的圖象在。1]上有10個(gè)最高點(diǎn)，則o的取值范圍為()

A.[—,—)B.[20^,22^]C.[—,—]DJ20肛221)

2222

答案：A

題型6:函數(shù)y=Asin(oir+e)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例28:已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+馬+〃+1(其中a為常數(shù)).

6

(1)求/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe[0,多時(shí)，/a)的最大值為4,求a的值;

(3)求使取最大值時(shí)x的取值集合.

答案：(1)函數(shù)/(力的單調(diào)遞增區(qū)間是[-￡+以C+&m(kwz),單調(diào)遞減區(qū)間是

36

[―+to,—+k兀](keZ).

(2)最大a=L(3){x\x=—+k^,keZ).

易錯(cuò)提醒

易錯(cuò)1：忽略有界性

例29:求函數(shù)y=cos?x+2asinx-3M€H的最大值.

答案：若aw[-1』時(shí),最大值為/-2；

若av-1時(shí)，最大值為-加-3;

若a>l時(shí)，最大值為2a-3.

易錯(cuò)2：忽略定義域

例30：函數(shù)yfogzlsina+g］的單調(diào)增區(qū)間為

:(―g+2攵zr，k+2攵〃],左eZ

高考鏈接

考向1:正弦、余弦函數(shù)的圖象

例31：函數(shù)/（勸=?二在［_肛）］上的圖象大致為（）

COSX+X

考向2：正、余弦函數(shù)的單調(diào)性

例32：已知函數(shù)〃Msin⑶+》則/⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為--------

「2匕r7t2k冗7T..)

----------,------+—],keZ

34312

考向3：正余弦函數(shù)的最值

例33：設(shè)函數(shù)fa）=cos（B/）Q〉0）,若/*）?/（馬對(duì)任意的實(shí)數(shù)式都成立，則。的最小

64

值為-

答案：I

例34:函數(shù)f(x)=sin2x+6cosx-](x￡[0,g)的最大值是

答案：1

考向4：正、余弦函數(shù)的周期性與對(duì)稱性

例35：函數(shù)f(x)=sin(2x+1)的最小正周期為()

A.47rB.2萬C.兀D.—

2

串案J

變式探源1:逆向問題一一由一條對(duì)稱軸方程確定參數(shù)值

1.己知函數(shù)尸sin(2x+e)(g<°<g的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則尹的值是

答案：E

6

變式探源2：逆向問題一一由兩條對(duì)稱軸的方程確定①的值

2.若直線工=&?=芷是函數(shù)f(x)=sin奴3>0)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則。=__

44

A.2B.-C.10.-

22

答案：A

考向5：正、余弦函數(shù)的綜合問題

例37：關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下列四個(gè)結(jié)論:

①是偶函數(shù)；

②/(?在區(qū)間名㈤上單調(diào)遞增；

③/*)在［-肛乃］上有4個(gè)零點(diǎn)；

④/*)的最大值為2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

答案：c

基礎(chǔ)鞏固

1.函數(shù)〃x)=cos(&+g)的最小正周期為()

26

A.—B.C.2萬D.4萬

2

2.下列函數(shù)的圖象中，關(guān)于直線x=對(duì)稱的是()

6

A.y=sin(x+y)B.y=sin(2x+y)C.y=cos(x+—)D.y=cos(2x+—)

3.若函數(shù)/(工)=(：05芭工￡(-2%,2乃)，則不等式4。)>0的解集為()

A.(0,1)B.烏,2萬)C.(-^-|)D.(0,g5.,2%)5-',一,

4在(0,2/r)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是()

A,冗冗、/54.口/兀、「,45不、c/萬\?5TF37r、

424444

5.方程sin%=lgx的實(shí)數(shù)根有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無窮多個(gè)

6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+三)，則()

AJ(x)的最小值為-1B.點(diǎn)臉,。)是/⑴的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

CJ&)的最小正周期為乃D./U)在(-1,0)上單調(diào)遞增

6

能力提升

7.函數(shù)/(x)=sin(2x-?)在區(qū)間［0弓］上的最小值為()

A.-lB.--C.—D.0

22

8.設(shè)fa)=cos(x+§,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.7(x)的一個(gè)周期為-2%B.y=/(x)的圖象關(guān)于直線x片對(duì)稱

C./(x+7)的一個(gè)零點(diǎn)為x=gD./(x)在(工㈤上單調(diào)遞減

62

9.已知奇函數(shù)/(x)=2cos@