2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.已知向量，滿足，且，則（）A. B. C. D.4.如圖為函數(shù)y=fx在上的圖象，則的解析式只可能是（）A. B.C. D.5.已知為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線方程為（）A. B. C. D.6.在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.7.若，則的最大值為（）A. B. C. D.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件：，，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.是數(shù)列中的最大值D.數(shù)列無最大值10.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對立事件C.事件與事件是相互獨(dú)立事件 D.事件與事件是互斥事件11.已知，其中，則的取值可以是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，第14題第一個空3分，第二個空2分．12.若，則____________.13.設(shè)是數(shù)列前項和，點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前項和為________.14.已知點(diǎn)，，，是軸上的動點(diǎn)，且滿足，的外心在軸上的射影為，則點(diǎn)的軌跡方程為______，的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．15.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，BC，AC邊上的兩條中線AD，BE相交于點(diǎn)P．（1）求；（2）若，BE＝2，，求的面積．16.如圖，在三棱錐D－ABC中，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，△ABD是邊長為2的正三角形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，且平面BEF⊥平面ABD.（1）求證：AD⊥平面BEF；（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF與平面BCD夾角的余弦值.17.為研究“眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問題，對某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品時間合計超過一小時一小時內(nèi)近視10人5人15人不近視10人25人35人合計20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗，判斷眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關(guān)；（2）在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是多少？（3）以頻率估計概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為Y，求的值．18.已知函數(shù)．（1）求曲線y=fx在處的切線方程.（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)．證明：存實數(shù)，使得曲線y=gx關(guān)于直線對稱.19.已知橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸平行的直線交曲線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)．①求證：點(diǎn)在定直線上；②求面積的最大值．2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】化簡集合，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】解：所以故選：A．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)的意義求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的乘除計算即可得到結(jié)果；【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，所以，又因為復(fù)數(shù)滿足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故選：A.3.已知向量，滿足，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用平面向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由得，兩式相減得，，所以，則.故選：A.4.如圖為函數(shù)y=fx在上的圖象，則的解析式只可能是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的符號，利用排除法求解即可．【詳解】對于B.的定義域為R，且，故為偶函數(shù)；對于D.的定義域為R，且，故為偶函數(shù)；由圖象，可知為奇函數(shù)，故排除B、D；對于A.當(dāng)時，則，而，此時，由圖像知道排除A；故選：C.5.已知為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，最后由點(diǎn)斜式求出直線方程即可；【詳解】因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意，則，曲線y=fx在點(diǎn)處的切線斜率為，又所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D6.在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題中條件確定點(diǎn)為球心，設(shè)球半徑為，利用三棱錐的體積求出，最后用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因為，，所以，因此點(diǎn)就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以．因為平面平面，平面平面，所以平面．設(shè)球半徑為，則，，又，則，所以三棱錐體積，所以，所以球O的表面積為．故選：D．7.若，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由知，由兩角和正弦公式展開并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.【詳解】若，則，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：D.方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)中的湊角技巧；；.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到，從而得解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，，所以，，；當(dāng)時，，所以，取，則，所以，即，綜上，.故選：C.結(jié)論點(diǎn)睛：對數(shù)比大小常用結(jié)論.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件：，，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.是數(shù)列中的最大值D.數(shù)列無最大值【正確答案】ABC【分析】根據(jù)條件判斷，分和兩情況討論得成立與否得出，即可判斷A；對于B，利用A的結(jié)論和等比數(shù)列項的性質(zhì)即可判定；對于C，D，由前面推得的即可判斷.【詳解】對于A，由可得，（*），由可得.當(dāng)時，因，則，即（*）不成立；當(dāng)時，，（*）成立，故，即A正確；對于B，因，故B正確；對于C,D，由上分析，且，則是數(shù)列中的最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.10.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對立事件C.事件與事件是相互獨(dú)立事件 D.事件與事件是互斥事件【正確答案】ACD【分析】先列舉各事件，再根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨(dú)立事件的概率特征逐一判斷即可；【詳解】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；C：因為，故C正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；故選：ACD.11.已知，其中，則的取值可以是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】令，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知可得，不妨設(shè)，解法一：記，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍即可.解法二：由，兩式相減，可得，令，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得出答案.解法三：令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合洛必達(dá)法則即可得解.解法四：根據(jù)，兩式相減得，再結(jié)合對數(shù)均值不等式即可得解.【詳解】令，則，故當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)時，單調(diào)遞減，∵，，∴，又，不妨設(shè)，解法一：記，設(shè)，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，，則，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，則，所以.解法二：由，兩式相減，可得，令，則，∴；令，則，令，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，因為在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即，所以.解法三：令，則，記，則在1,+∞上恒成立，∴在1,+∞上單調(diào)遞增，∴，所以在1,+∞上恒成立，∴在1,+∞上單調(diào)遞增，又由洛必達(dá)法則可知，∴，∴.解法四：∵，兩式相減得，由對數(shù)均值不等式，可得，下列對數(shù)均值不等式右半部分：，證明：不妨設(shè)，則上述不等式可化為，即，記，則不等式可化為時，，令，則，所以在1,+∞上單調(diào)遞減，則，所以時，，所以.故選：CD.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)y=gx的圖象的交點(diǎn)問題.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，第14題第一個空3分，第二個空2分．12.若，則____________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式以及倍角公式運(yùn)算求解.【詳解】因為，所以.故答案為.13.設(shè)是數(shù)列的前項和，點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前項和為________.【正確答案】【分析】點(diǎn)，在直線上，可得．利用等差數(shù)列的求和公式、裂項求和方法即可得出．【詳解】解：點(diǎn)，在直線上，．．．則數(shù)列的前項和．故．本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知點(diǎn)，，，是軸上的動點(diǎn)，且滿足，的外心在軸上的射影為，則點(diǎn)的軌跡方程為______，的最小值為______．【正確答案】①②.【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)設(shè)，即可根據(jù)得，即可求解軌跡方程，利用拋物線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線即可求解最值.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)點(diǎn)是的外心，設(shè)，而，則，所以從而得到點(diǎn)的軌跡為，焦點(diǎn)為F1,0由拋物線的定義可知，因為，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上時等號成立．故，.四、解答題：本題共5小題，共77分．15.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，BC，AC邊上的兩條中線AD，BE相交于點(diǎn)P．（1）求；（2）若，BE＝2，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，再結(jié)合余弦定理求解即可；（2）由余弦定理結(jié)合面積公式計算.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.【小問2詳解】因為P是BC，AC邊上的兩條中線AD與BE的交點(diǎn)，所以點(diǎn)P是的重心.又，，，所以在中，由余弦定理，所以，又，，所以，所以，所以的面積為．16.如圖，在三棱錐D－ABC中，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，△ABD是邊長為2的正三角形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，且平面BEF⊥平面ABD.（1）求證：AD⊥平面BEF；（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF與平面BCD夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】(1)借助等邊三角形的三線合一，再運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，再根據(jù)(1)的結(jié)論取得平面的法向量，再用向量夾角的公式計算即可.【小問1詳解】是邊長為2的正三角形，E為AD的中點(diǎn)，則.且平面平面，平面平面，平面，則平面.【小問2詳解】由于底面為等腰直角三角形，是邊長為2正三角形，可取AB中點(diǎn)O，連接，則.且平面平面，且平面平面，則平面.因此兩兩垂直，可以建立空間直角坐標(biāo)系.是邊長為2的正三角形，則可求得高.底面等腰直角三角形，求得.可以得到關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)由第（1）問知道平面的法向量可取.設(shè)平面的法向量為，且則,則，解得.則.則平面與平面夾角的余弦值為.17.為研究“眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問題，對某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品的時間合計超過一小時一小時內(nèi)近視10人5人15人不近視10人25人35人合計20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，判斷眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關(guān)；（2）在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是多少？（3）以頻率估計概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為Y，求的值．【正確答案】（1）認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)；（2）；（3）.【分析】（1）假設(shè)為：學(xué)生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關(guān)，求得，再根據(jù)小概率值判斷；（2）根據(jù)給定條件，利用組合計數(shù)問題及互斥事件的概率公式計算即得.（3）分別求得，，，再將概率相加即可求解．【小問1詳解】零假設(shè)為：學(xué)生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關(guān)．計算可得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)．【小問2詳解】每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為，則，所以在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是．【小問3詳解】依題意，，，事件包含兩種情況：①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒超過一小時；②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒超過一小時，于是，所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線y=fx在處的切線方程.（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)．證明：存在實數(shù)，使得曲線y=gx關(guān)于直線對稱.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）求出切點(diǎn)，求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；（2）求定義域，求導(dǎo)，分，兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（3）求