2024-2025學(xué)年陜西省寶雞市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省寶雞市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)是不同的直線，是不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則AB邊上的中線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．3．過點(diǎn)P（1，1）作直線l，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．已知圓過點(diǎn)A(1,0),則圓C的圓心的軌跡是（

）A．點(diǎn) B．直線 C．線段 D．圓5．若a2＋b2＝2c2（c≠0），則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．6．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，則點(diǎn)B到直線A1C的距離為（

）A． B． C． D．17．是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為（

）A． B． C． D．8．若圓C1與圓C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(diǎn)(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于()A．4 B．42C．8 D．82二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中正確的是（

）A．是直線與直線平行的充分不必要條件B．是直線與直線垂直的充分不必要條件C．經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相反的直線方程是D．若一條直線沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為10．已知圓，圓，，且，不同時(shí)為交于不同的兩點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．11．一塊正方體形木料如圖所示，棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)將木料鋸開，使得截面過，則（

）A．B．截得的兩個(gè)幾何體分別是三棱柱和四棱臺(tái)C．截面的面積為D．以為球心，為半徑的球面與截面的交線長(zhǎng)為三、填空題（本大題共3小題）12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若與的夾角為120°，則實(shí)數(shù)．13．如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且軸，，則此橢圓的離心率是．

14．已知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是．(1)求點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，在的軌跡上任取一點(diǎn)（異于點(diǎn)），求線段長(zhǎng)的最大值．16．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，則的面積為，求b，c．17．從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人.（1）分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.（2）在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面．

(1)求證：；(2)求平面APB與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．19．已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程．(2)過圓外點(diǎn)向圓引兩條切線，且切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，求最小值．(3)若直線l：與圓交于兩點(diǎn)，且直線的斜率分別為，則是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，由可能得到平行于的交線，不一定有，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨取正方體的一部分如下圖所示：此時(shí)，可得，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由面面垂直的判定定理即可得出C正確；對(duì)于D，由可得，可在平面內(nèi)找一條直線滿足，可得，即D錯(cuò)誤.故選：C2．【正確答案】C【詳解】邊的中點(diǎn)為，∴邊上的中線所在直線的方程，即.故選：C3．【正確答案】B【詳解】由題意可知，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，令，解得；令，解得.，化為，即①，②，由于方程①，方程②無解，可得兩個(gè)方程共有2個(gè)不同的解.因此直線共有2條.故選：B.4．【正確答案】D【詳解】圓的圓心為，半徑為.由于在圓上，故，也即圓的圓心滿足方程，所以圓的圓心的軌跡方程是，所以圓C的圓心的軌跡是圓.故選：D5．【正確答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以設(shè)弦長(zhǎng)為，則，即.考點(diǎn)：本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系——相交.6．【正確答案】B【詳解】過點(diǎn)B作BE垂直A1C，垂足為E，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y，z)，則A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．因?yàn)?，所以，解得，所以?－，，)，所以點(diǎn)B到直線A1C的距離||＝，故答案為B7．【正確答案】B【詳解】是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，，，，在中，，，故選．8．【正確答案】C∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切,且都經(jīng)過點(diǎn)(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且每個(gè)圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個(gè)根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a?b)9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)A，若直線與直線平行，即，故是直線與直線平行的即不充分又不必要條件，A錯(cuò)；對(duì)B，直線與直線垂直，即或，故是直線與直線垂直的充分不必要條件，B對(duì)；對(duì)C，截距相反的直線可能過原點(diǎn)，C錯(cuò)；對(duì)D，該直線顯然有斜率，設(shè)直線為，則沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的直線為，即有，由兩直線重合則有，D對(duì).故選：BD10．【正確答案】ABC【詳解】根據(jù)題意：圓和圓交于不同的兩點(diǎn)A，，兩圓方程相減可得直線的方程為：，即，分別把點(diǎn)Ax1,y1，，上面兩式相減得：，即，所以選項(xiàng)正確；由上得：，所以選項(xiàng)B正確；兩圓的半徑相等，由圓的性質(zhì)可知，線段與線段互相平分，則有，變形可得，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，是正方體的對(duì)角面，則四邊形為矩形，，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，因此，A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)作直線平行于交分別于，連接，顯然，則四邊形為過點(diǎn)及直線的正方體的截面，截得的兩個(gè)幾何體分別是三棱柱和四棱柱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B得，則，，因此截面矩形面積，C正確；對(duì)于D，過作于，由平面，平面，得，而平面，則平面，因此為以為球心，為半徑的球面被平面所截小圓圓心，球面與截面的交線為以為圓心，為半徑的半圓弧，顯然，，因此交線長(zhǎng)為，D正確.故選：ACD12．【正確答案】【詳解】，，，，，，，，，，，，，，，與的夾角為，，解得．故13．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示則有，直線方程為，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得橢圓的離心率為.故14．【正確答案】【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的下半部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，須得，即m的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋缦聢D所示：所以直線的斜率，同理直線的斜率；由已知可得，化簡(jiǎn)可得；即點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)M的軌跡是除去，兩點(diǎn)的橢圓．（2）設(shè)，則，所以，即，根據(jù)橢圓范圍可得，所以時(shí)，最大為，所以線段PQ長(zhǎng)的最大值為．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可得，又易知，所以，可得，又，整理得，即，又，所以，即．（2）由，，得．由余弦定理得，所以，又，所以．17．【正確答案】（1）詳見解析（2）;;（1）設(shè)第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數(shù)組表示樣本點(diǎn).，有放回地抽樣，任取一個(gè)，然后與所有的組合，包括自身；無放回抽樣，任取一個(gè)，然后與剩下的所有組合；按性別等比例分層抽樣，取一個(gè)男的，只能與一個(gè)女的組合，同樣取一個(gè)女的，只能與一個(gè)男的組合．這樣可一一列舉出所有樣本點(diǎn)．（2）分別求出各種抽樣中事件所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后計(jì)算概率．【詳解】解：設(shè)第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數(shù)組表示樣本點(diǎn).（1）根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間，，，不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間，，，按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再?gòu)呐谐橐蝗?，其樣本空間（2）設(shè)事件A=“抽到兩名男生”，則對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，，因?yàn)槌橹袠颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此.對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，，因?yàn)槌橹袠颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此因?yàn)榘葱詣e等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以，因此.18．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3)不存在，理由見詳解【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，可得平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，可得平面，由平面，可得，因?yàn)?，則，可知四邊形是平行四邊形，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則可得，設(shè)平面APB的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令