《微分中值定理的證明與推廣探究》5600字（論文）

微分中值定理的證明與推廣研究目錄摘要 [1].證作輔助函數(shù).顯然，，且在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由羅爾中值定理可得，存在，使.假設(shè)，則由上式可得，但與不能同時為零，所以假設(shè)不成立，即.則可把上式改寫為.柯西中值定理的另一種證明方法（區(qū)間套法）：證先證當(dāng),且時，有.假設(shè)，因為在上連續(xù)，所以由引理2可得存在，且，使得.因此.同樣的，在上也滿足引理2的條件，再次應(yīng)用引理2可得，存在，且，使得，因此又有.按照上面的過程，反復(fù)應(yīng)用引理2，最后可以得到閉區(qū)間套，滿足，且.由閉區(qū)間套定理可得，存在，使得，則由引理1可得，而對，，所以假設(shè)不成立，故.再由引理3可得，存在，且，使得，同樣的，存在，且，使得，按照上述過程，反復(fù)應(yīng)用引理3，可以得到閉區(qū)間套，滿足，且.由閉區(qū)間套定理可得，存在，使得.則由引理1可得.即證.柯西中值定理的幾何意義可以用參數(shù)方程的形式來理解，把和這兩個函數(shù)寫成以為參量的參量方程于是在平面上有一段連續(xù)曲線，兩函數(shù)在該曲線上聯(lián)系.若曲線的兩端點連續(xù)，則在曲線上至少存在一點，該點的切線與兩端點的連線平行.柯西中值定理的幾何意義，它表示了曲線上至少有一點的切線平行于兩端點所在的弦.這一點拉格朗日中值定理也有其表現(xiàn)，但是柯西中值定理除了適用于表示的曲線外，還可以表示參數(shù)方程的曲線.由此也可以看出拉氏定理時柯西中值定理的一種特殊形式.2.3.2柯西中值定理的推廣推論3若函數(shù)，在有限或無窮區(qū)間中任意點處有有限的導(dǎo)數(shù)和，對，，，，，都存在，則至少存在一點使.證假設(shè)，即.由推論1知，至少存在一點，使得，這與，矛盾，故假設(shè)不成立，因此，.構(gòu)造輔助函數(shù)，則在可導(dǎo)，且，，即.由推論1可知，至少存在一點，使得，因為，所以.又因為對，，所以可將上式改寫為.例5設(shè).證明存在，使得.證令，，則，都在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).，，則、都不等于，且.由柯西中值定理知，存在，使得，即.例6證明不等式證令則上式轉(zhuǎn)化為由于上應(yīng)用柯西中值定理，得于是而當(dāng)所以即分析：由以上兩個例子可以看出，在利用柯西中值定理進行解題時，關(guān)鍵步驟是要對題目的結(jié)果進行整理變形，并在此變形完成基礎(chǔ)上找出滿足柯西中值定理條件的新的輔助函數(shù).將新的函數(shù)利用定理不斷進行細化，從而逐步得到所要證明的結(jié)論.3.微分中值定理的應(yīng)用3.1利用微分中值定理證明等式在解決證明等式的一些問題時，微分中值定理發(fā)揮著很大的作用.對于初學(xué)者來說，等式的證明思路以及如何構(gòu)造輔助函數(shù)是難點，下面就通過兩個例題具體分析應(yīng)用微分中值定理來證明等式.例7設(shè)函數(shù)QUOTE在QUOTE上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).證明存在使得,.證令QUOTE,,則在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo)，QUOTE,由柯西中值定理，存在QUOTE使得,QUOTE所以.QUOTE證畢.例8設(shè)函數(shù)QUOTE在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明：對，是一個常數(shù),都存在QUOTE,有.證構(gòu)造函數(shù),QUOTE因為在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo),所以QUOTE在QUOTE上連續(xù),在QUOTE內(nèi)可導(dǎo).又因為,所以.由羅爾定理可得，存在QUOTE使得,即QUOTE.分析：如例3,例8中都用羅爾定理來證明,則都需要構(gòu)造出原函數(shù),此類函數(shù)有固定的原型,可根據(jù)題意確定，然后再利用微分中值定理就能很容易得到想要證明的結(jié)論.3.2討論方程根的存在性對于方程的根類似問題的解決，有很多種方法，其中比較常見的一種方法是利用微分中值定理來求解這樣的問題，下面通過例題來具體分析.例9如果QUOTE在某一區(qū)間上是可導(dǎo)的,證明：的兩個零點間一定存在的零點.證假設(shè)是QUOTE的兩個零點，不妨設(shè).構(gòu)造輔助函數(shù)QUOTE,顯然，在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且QUOTE.由羅爾定理,，QUOTE使得QUOTE,即,QUOTE因為,所以QUOTE,即的兩個零點間一定存在QUOTE的零點.例10設(shè)在可導(dǎo)，且，都有，，證明：方程在上有唯一實根.證先證存在性.令，因為在可導(dǎo)，所以在連續(xù)，則在上也是連續(xù)的.，，因為，，所以，，即.由零點定理可得，在內(nèi)至少存在一點，使得.再證唯一性(反證法).假設(shè)方程有兩個實根，，，則可得，.不妨設(shè)，因為在可導(dǎo)，所以在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可得，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，方程在上只有一個根.綜上所述，方程在上有唯一實根.分析：從上述兩個例題可以看出，如果題目中沒有給出方程的根，一般情況下，可以將方程的根設(shè)出來，然后在兩個根構(gòu)成的區(qū)間上進行分析，最后，利用合適的微分中值定理即可證明.小結(jié)：通過上文中的例題，可以看出，在利用微分中值定理解決某一問題時，最關(guān)鍵的一點是構(gòu)造合適的輔助函數(shù).首先，要從題目中提取一些重要信息，判斷函數(shù)是否滿足微分中值定理的條件；然后，再根據(jù)要證的結(jié)論，找出需要構(gòu)造的輔助函數(shù)，這一過程一般是求導(dǎo)的逆運算，即通過求導(dǎo)后的函數(shù)找到原函數(shù)；最后，對構(gòu)造的輔助函數(shù)運用微分中值定理,再通過其它的一些已知條件進而解決問題.結(jié)束語通過上面的解析探討,可以看出對于微分中值定理的證明來說，利用羅爾定理構(gòu)造新的輔助函數(shù)是最常用的證明手段，另外還可以用區(qū)間套法證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的成立.由此可見微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系是層層深入的.在運用微分中值定理進行證明時最主要的方法是如何構(gòu)造正確的函數(shù)，可以通過結(jié)論恒定變換、原函數(shù)等方法去構(gòu)造輔助函數(shù),還要確保構(gòu)造的新函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間也要存在一定的聯(lián)系.在對微分中值定理的運用上，本文主要探究了如何應(yīng)用定理證明等式與不等式，討論方程根的存在性的問題.充分理解中值定理的條件及結(jié)論就能在一定程度上解決一些看似棘手的函數(shù)問題，將函數(shù)問題逐步拆分弱化為導(dǎo)函數(shù)問題等進行解析.

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