人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第12講第一章空間向量與立體幾何測評卷(基礎(chǔ)卷)(學(xué)生版+解析)

第一章空間向量與立體幾何章節(jié)驗(yàn)收測評卷(基礎(chǔ)卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，且，則x的值為（

）A． B． C．6 D．－62．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點(diǎn).設(shè)，，，則（

）

A． B．C． D．3．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·遼寧遼陽·高二校聯(lián)考期末）向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測）定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（

）A． B．. C． D．6．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線l的方向向量，平面α的法向量，平面β的法向量，若直線平面α，則直線l與平面β所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．（2023·湖北·模擬預(yù)測）如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．8．（2023春·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）重慶南濱路鐘樓地處長江與嘉陵江交匯處，建筑通過歐式風(fēng)格將巴渝文化和開埠文化結(jié)合，展示了重慶的悠久歷史。如圖所示，可以將南濱路鐘樓看作一個長方體，四個側(cè)面各有一個大鐘，則從到這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023春·高二課時練習(xí)）關(guān)于空間向量，以下說法不正確的是（

）A．向量，，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線10．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為11．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．12．（2023春·廣東廣州·高二廣東番禺中學(xué)校考期中）如圖，正方體的棱長為2，動點(diǎn)分別在線段上，則（

）A．異面直線和所成的角為B．點(diǎn)到平面的距離為C．若分別為線段的中點(diǎn)，則平面D．線段長度的最小值為三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_________.14．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且，，則______．15．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，．點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)（不含邊界），，則與平面所成角的正切值的取值范圍為__________．16．（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┰谌鐖D所示的三棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且.當(dāng)在上時，________；點(diǎn)的軌跡的長度為________.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF與所成角的大小．（2）證明：平面．18．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．19．（2023春·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.，．是棱上一點(diǎn)，平面．(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求四棱錐的體積．條件①：點(diǎn)到平面的距離為；條件②：直線與平面所成的角為．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．

第一章空間向量與立體幾何章節(jié)驗(yàn)收測評卷(基礎(chǔ)卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，且，則x的值為（

）A． B． C．6 D．－6【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，解?故選：D.2．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點(diǎn).設(shè)，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得.故選：A.3．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以過點(diǎn)O且垂直于平面的直線為x軸，直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A.4．（2023秋·遼寧遼陽·高二校聯(lián)考期末）向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C.5．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（

）A． B．. C． D．【答案】D【詳解】設(shè),則，過作平面，則為三角形的外心，所以，進(jìn)而,由于與共線，且方向相同，則，故選：D

6．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線l的方向向量，平面α的法向量，平面β的法向量，若直線平面α，則直線l與平面β所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，，得，故；而直線l與平面β所成角的正弦值，故所求余弦值.故選：A7．（2023·湖北·模擬預(yù)測）如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.8．（2023春·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）重慶南濱路鐘樓地處長江與嘉陵江交匯處，建筑通過歐式風(fēng)格將巴渝文化和開埠文化結(jié)合，展示了重慶的悠久歷史。如圖所示，可以將南濱路鐘樓看作一個長方體，四個側(cè)面各有一個大鐘，則從到這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】在長方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)分針長為，矩形的對角線的交點(diǎn)為，矩形的對角線的交點(diǎn)為，考察到這個時間段，設(shè)時刻，側(cè)面，內(nèi)的鐘的分針的針點(diǎn)的位置分別為，，設(shè)，其中，則，，由已知可得，則，因?yàn)?，故的取值為，，，，即在到這個時間段，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為4，因此，從到這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為8．故選：．

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023春·高二課時練習(xí)）關(guān)于空間向量，以下說法不正確的是（

）A．向量，，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線【答案】AC【詳解】對于A，向量，，若，若向量，均為非零向量，則由向量垂直的性質(zhì)可得；若向量，其中一個為零向量，則與不垂直，故A錯誤；對于B，若對空間中任意一點(diǎn)，有，因?yàn)?，所以，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對于C，設(shè)是空間中的一組基底，由向量的加法法則可知：，所以不能構(gòu)成空間的一組基底，故C錯誤；對于D，若空間四個點(diǎn)，，，，，由共線向量定理可知：，，三點(diǎn)共線，故D正確，故選：.10．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為【答案】BD【詳解】因?yàn)?，故A不正確，B正確．如圖所示，故D作DU垂直BC，過U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量在向量上的投影向量為,向量在向量上的投影向量為，由題意易得故，C不正確．，D正確．故選：BD11．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【詳解】，A項正確；設(shè)，即，解得，，即，所以，，共面，B項正確；，所以，C項正確；，D項錯誤.故選：ABC.12．（2023春·廣東廣州·高二廣東番禺中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，動點(diǎn)分別在線段上，則（

）A．異面直線和所成的角為B．點(diǎn)到平面的距離為C．若分別為線段的中點(diǎn)，則平面D．線段長度的最小值為【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以異面直線和所成的角即為和所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，即，故錯誤.連接如圖所示：點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確，當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時，則為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)，，所以，所以，設(shè)，，又所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，即，故D選項正確，故選：BCD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_________.【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，，解得，由題意得與不共線，則，解得，的取值范圍是.故答案為：14．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且，，則______．【答案】【詳解】設(shè)，，，則，底面是邊長為1的正方形，且，，則有，，，，，，則，所以.故答案為：15．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，．點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)（不含邊界），，則與平面所成角的正切值的取值范圍為__________．【答案】【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，得，，由題意得，故，得，故點(diǎn)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分，由題可知為的中點(diǎn)，如圖，當(dāng)共線時，取得最小值為，而，所以，因?yàn)槠矫?，所以與平面所成角即為，所以，故答案為：.16．（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期中）在如圖所示的三棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且.當(dāng)在上時，________；點(diǎn)的軌跡的長度為________.【答案】【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以，又平面，所以平面，過，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，則①當(dāng)在上時，設(shè)，因?yàn)?，所以，故，則所以；②為內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界）時，如圖，取中點(diǎn)，過作，垂足為由①可得，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以即在線段上運(yùn)動時，，點(diǎn)的軌跡為線段．則．故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF與所成角的大?。?）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴異面直線EF和所成的角為．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．18．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為；（2）連接，顯然，因?yàn)椋?，于是，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因此直線到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，，則有，，點(diǎn)到平面的距離為：.19．（2023春·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個法向量．因?yàn)?，所以．又平面，所以平面．?）因?yàn)?，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故：直線與平面所成角的正弦值為．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵是等腰直角三角形，∴，且，∵平面底面，平面底面平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∴，（符合勾股定理），∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，可以建立分別以為軸的空間直角坐標(biāo)系，則，又因?yàn)樾比庵校?，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，∴平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則，令，則，∴平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，