人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第21講2.4.2圓的一般方程(學(xué)生版+解析)

第08講2.4.2圓的一般方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握?qǐng)A的一般方程的形式與條件。②能準(zhǔn)確的判定圓的存在所滿足的條件。③會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。④會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能解決與圓有關(guān)的位置、距離的綜合問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷圓存在的條件，會(huì)將圓的標(biāo)準(zhǔn)形式與一般形式熟練轉(zhuǎn)化，會(huì)根椐圓存的條件求待定參數(shù)的值，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，會(huì)求簡(jiǎn)單問(wèn)題中的軌跡問(wèn)題，會(huì)解決與圓有關(guān)的位置與距離問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：圓的一般方程對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形說(shuō)明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒(méi)有項(xiàng)；③.【即學(xué)即練1】（多選）（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，對(duì)于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對(duì)于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于D中，方程中，存在項(xiàng)，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)02：圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程（）圓心半徑知識(shí)點(diǎn)03：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)【即學(xué)即練2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_____________．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）【答案】在圓內(nèi)【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2點(diǎn)到圓心的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)．故答案為：在圓內(nèi)題型01圓的一般方程的理解【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示圓的充要條件是______．【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【變式2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.題型02求圓的一般方程【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)三點(diǎn)的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)的圓；(2)過(guò)三點(diǎn)的圓.【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_(kāi)______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)外接圓的一般方程.題型03圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀┤酎c(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程.【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．題型04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是__________.【變式2】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.題型05圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為_(kāi)_____.【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校?duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_．【變式2】（2013·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，曲線恒過(guò)定點(diǎn)題型06求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為_(kāi)_________；的最小值為_(kāi)_________.題型07與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【典例1】（2023秋·北京·高二?？计谀┰O(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，且，則點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為（

）A．15 B．6 C．5 D．4【典例2】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_________．【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學(xué)?？计谀┮阎獮閳A上任意一點(diǎn)．則的最大值為_(kāi)_________【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┰谥校?，若的平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的最小值為_(kāi)_________.【變式2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為_(kāi)_____．題型08關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校?？计谀﹫A關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，則有（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是__________題型09圓的綜合問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓的方程；(3)請(qǐng)問(wèn)圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)圓上點(diǎn)的切線方程是.（1）類比上述性質(zhì)，直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程；（2）已知橢圓，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為?①求證：直線過(guò)定點(diǎn).②當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求三角形的外接圓方程.【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（Ⅰ）若，求圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)取所允許的不同的實(shí)數(shù)值時(shí)（，且），圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期末）已知圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無(wú)論取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過(guò)除外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．(2)已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓，且過(guò)點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)和，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，試求的最小值.題型10圓的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測(cè)得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問(wèn)車輛通過(guò)隧道的限制高度是多少？【變式1】（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在寬為14的路邊安裝路燈，燈5．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)．若，，，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．66．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B．C． D．7．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．18．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（

）A． B． C． D．14二、多選題9．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為（

）A． B．0 C． D．三、填空題10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是___________.四、解答題12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)在同一個(gè)圓E上．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若點(diǎn)在圓E上，求的取值范圍．13．（2023秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的外接圓方程．B能力提升1．（2023秋·高一單元測(cè)試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為_(kāi)_______時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓及點(diǎn)．（1）若在圓上，求線段的長(zhǎng)及直線的斜率；（2）若M為圓C上的任一點(diǎn)，求的最大值和最小值．C綜合素養(yǎng)1．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，.（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)的外接圓為圓，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)（異于原點(diǎn)）？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第08講2.4.2圓的一般方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握?qǐng)A的一般方程的形式與條件。②能準(zhǔn)確的判定圓的存在所滿足的條件。③會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。④會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能解決與圓有關(guān)的位置、距離的綜合問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷圓存在的條件，會(huì)將圓的標(biāo)準(zhǔn)形式與一般形式熟練轉(zhuǎn)化，會(huì)根椐圓存的條件求待定參數(shù)的值，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，會(huì)求簡(jiǎn)單問(wèn)題中的軌跡問(wèn)題，會(huì)解決與圓有關(guān)的位置與距離問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：圓的一般方程對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形說(shuō)明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒(méi)有項(xiàng)；③.【即學(xué)即練1】（多選）（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，對(duì)于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對(duì)于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于D中，方程中，存在項(xiàng)，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)02：圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程（）圓心半徑知識(shí)點(diǎn)03：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)【即學(xué)即練2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_____________．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）【答案】在圓內(nèi)【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2點(diǎn)到圓心的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)．故答案為：在圓內(nèi)題型01圓的一般方程的理解【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，得的取值范圍是.故選：C【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示圓的充要條件是______．【答案】或【詳解】由題意知：，即，解得或.故答案為：或.【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【詳解】由，可得，所以，解得或，選項(xiàng)中只有符合題意.故選：D.【變式2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得或，當(dāng)時(shí)方程，即，不表示任何圖形，故舍去；當(dāng)時(shí)方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；故答案為：題型02求圓的一般方程【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)三點(diǎn)的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)的圓；(2)過(guò)三點(diǎn)的圓.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知：，解得.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)圓的一般方程為：，，由題知：，所以圓的方程為：.【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_(kāi)______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．【答案】【詳解】設(shè)圓C的方程為，由條件，得，解得，因此圓的一般方程為，故圓心，因此圓心到直線l的距離，解得．故答案為：；.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)圓的方程為，由題意知,圓過(guò)點(diǎn)，和，所以，解得，所以所求圓的方程為.故選：A【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)外接圓的一般方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為，所以,解得：.所以直線的方程為，即.由解得：，即.（2）因?yàn)辄c(diǎn)C在直線上，所以可設(shè)，則中點(diǎn)為.把代入直線：，有，解得：，所以.經(jīng)過(guò)，，可設(shè)為：,所以，解得：,所以外接圓的方程為.題型03圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【答案】A【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為，半徑.因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，，即，所以，所以或.故選：A.【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀┤酎c(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心．因?yàn)辄c(diǎn)為弦MN的中點(diǎn)，所以，又AP的斜率，所以直線MN的斜率為2，弦MN所在直線的方程為，即.故選：D【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程.【答案】【詳解】由可得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，故，所以圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為：.【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為.故選:C.【變式2】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【詳解】圓,即圓

圓心為，半徑，得點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為.故選：B.題型04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因在圓外，則，得.又表示圓，則，得.綜上：.故選：D【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由題意可得，解得，故選：AC.【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是__________.【答案】【詳解】圓可整理為，所以圓心，，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的弦經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程為，整理得.故答案為：.【變式2】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.【答案】【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則點(diǎn)在圓外，所以，解得：.故答案為：.題型05圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】、【詳解】由由得，故，解得或.故填：、.【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.【答案】【詳解】由已知得，它表示過(guò)圓與直線交點(diǎn)的圓.由，解得即定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校?duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_．【答案】或【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.【變式2】（2013·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，曲線恒過(guò)定點(diǎn)【答案】【詳解】變形為，令得，所以定點(diǎn)為故答案為：題型06求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題知，兩邊平方化簡(jiǎn)得，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)（1）由，令，解得或；令，得，所以圓過(guò).設(shè)圓的方程為，，解得，所以圓的方程為.（2）設(shè)，則，將的坐標(biāo)代入圓的方程得，即.【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為，由題意，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，故，化簡(jiǎn)得.即線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為_(kāi)_________；的最小值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】設(shè)，由題意可得，整理得，故動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，如圖所示，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：；題型07與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【典例1】（2023秋·北京·高二?？计谀┰O(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，且，則點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為（

）A．15 B．6 C．5 D．4【答案】D【詳解】解：由圓的方程，易知圓心，半徑為，因?yàn)槭菆A的切線，且，所以，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，故選：D.【典例2】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】/【詳解】方程整理得，設(shè)點(diǎn)，即點(diǎn)是圓上一點(diǎn)又點(diǎn)在圓外，所以，則，所以的最大值為.故答案為：.【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學(xué)?？计谀┮阎獮閳A上任意一點(diǎn)．則的最大值為_(kāi)_________【答案】/【詳解】圓即，故圓心，半徑為，又表示圓C上的點(diǎn)M到點(diǎn)的距離，故其最大值為，故答案為：【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┰谥校?，若的平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由題意，由余弦定理得，，，即以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由已知，即點(diǎn)D是在以AC的中點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓周上，，即是求的最小值，其幾何意義為圓周上的一點(diǎn)D到AB的中點(diǎn)的距離的平方的最小值，顯然當(dāng)D，E，O共線時(shí)DE最?。ㄈ缟蠄D），即，的最小值為；故答案為：.【變式2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】/【詳解】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長(zhǎng)，所以直線過(guò)圓心，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.題型08關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.【答案】【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【答案】【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，因此所求圓的圓心，半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線上，故有，即.故選：B【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是__________【答案】【詳解】圓圓心為，半徑等于1，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，則有，且，解得，故點(diǎn)，由于對(duì)稱圓的半徑與圓的半徑相等，故圓的方程為，故答案為.題型09圓的綜合問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓的方程；(3)請(qǐng)問(wèn)圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)，且；(2)（，且）；(3)過(guò)定點(diǎn)和.【詳解】（1）令得拋物線與軸交點(diǎn)是；令，由題意，且，解得，且．即實(shí)數(shù)的取值范圍，且．（2）設(shè)所求圓的一般方程為，由題意得的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)即為圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，令得，，由題意可得，這與是同一個(gè)方程，故，．令得，，由題意可得，此方程有一個(gè)根為，代入此方程得出，∴圓的方程為（，且）．（3）把圓的方程改寫(xiě)為，令，解得或，故圓過(guò)定點(diǎn)和．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)圓上點(diǎn)的切線方程是.（1）類比上述性質(zhì)，直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程；（2）已知橢圓，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為?①求證：直線過(guò)定點(diǎn).②當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求三角形的外接圓方程.【答案】（1）.（2）①證明見(jiàn)解析；②，.【詳解】（1）類比上述性質(zhì)知：切線方程為.（2）①設(shè)切點(diǎn)為，點(diǎn)，

由（1）的結(jié)論的AP直線方程：，BP直線方程：，通過(guò)點(diǎn)，∴有，∴A，B滿足方程：，∴直線AB恒過(guò)點(diǎn)：，即直線AB恒過(guò)點(diǎn).②已知點(diǎn)到直線AB的距離為.∴，故，，∴.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，直線AB的方程為：，，解得或，故點(diǎn).設(shè)的外接圓方程為：，代入得，解得,所以的外接圓方程為，即的外接圓方程為：，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，三角形PAB的外接圓方程為：.【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（Ⅰ）若，求圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)取所允許的不同的實(shí)數(shù)值時(shí)（，且），圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【詳解】（Ⅰ）設(shè)圓的方程為，令得，與是同一方程，所以，令得，方程有一根為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)時(shí)，圓C的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓的方程為，轉(zhuǎn)化為：，令，解得或.故圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獔AC經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無(wú)論取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過(guò)除外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．(2)已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓，且過(guò)點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)和，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，試求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為(2)【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)锳B是圓C的直徑，所以，即，所以圓的方程為：，則，時(shí)等式恒成立，故定點(diǎn)為，所以無(wú)論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過(guò)除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）因點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，所以點(diǎn)C在直線上，又圓C的面積最小，所以圓C是以直徑的圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)A與直線垂直的直線方程為，由方程組得，則所以圓C的方程為，當(dāng)時(shí)，或，又，所以，即，由題意知直線l斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）則當(dāng)時(shí)，題型10圓的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測(cè)得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.【答案】（米）【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系根據(jù)題意可知，，所以，設(shè)圓心為，圓拱所在圓的方程為，則因?yàn)樵趫A拱所在圓的方程上，所以，解得.即圓拱所在的圓方程為，將代入圓方程，得，解得，.所以與OP相距30米的支柱MN的高度為（米）.【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問(wèn)車輛通過(guò)隧道的限制高度是多少？【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意，有，，.所求圓的圓心在軸上，設(shè)圓的方程為（，），，都在圓上，，解得.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）設(shè)限高為，作，交圓弧于點(diǎn)，則.將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程，得，得或（舍去）..故車輛通過(guò)隧道的限制高度為.【變式1】（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）【答案】(1)建系見(jiàn)解析，圓拱方程為，.(2)橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m【詳解】（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接設(shè)圓的半徑為，則，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圓拱方程為，.（2）由題意得，，令，得，所以，所以，所以.所以橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣?。窡舨捎缅F形燈罩，燈罩頂?shù)铰访娴木嚯x為10，到燈柱所在直線的距離為2．設(shè)為圓心與連線與路面的交點(diǎn)．（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)恰好在路面中線上？（2）記圓心在路面上的射影為，且H在線段上，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，以所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，∴直線的方程為．設(shè)，則，兩式相減得：，又，解得，∴．∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q恰好在路面中線上．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在方程為：，令可得，即，∵H在線段上，∴，解得．∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．∴的最大值為．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過(guò)圓的圓心即可，由，得，所以圓心坐標(biāo)為，對(duì)于A，因?yàn)?，所以直線不過(guò)圓心，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以直線不過(guò)圓心，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以直線過(guò)圓心，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以直線不過(guò)圓心，所以D錯(cuò)誤，故選：C2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形為圓，則直線l的方程為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為.由題意知，直線l是線段的垂直平分線.線段的中點(diǎn)為，斜率為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即.故選：B.3．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則圓心及半徑分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為.故選：A4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】D【詳解】關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是，即，且，.故選：D5．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)．若，，，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B6．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓即,半徑因?yàn)?所以又是的中點(diǎn),所以所以點(diǎn)的軌跡方程為故選：B7．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】解：圓：與圓：的圓心分別為：，由題意得的最小值為的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，如圖所示：

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為，故選：B8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（

）A． B． C． D．14【答案】C【詳解】解：設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則，解得，所以外接圓的一般方程為，其圓心為，半徑為5，因?yàn)橹本€，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與的外接圓相離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：.二、多選題9．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為（

）A． B．0 C． D．【答案】BC【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，化簡(jiǎn)得，解得.故選：BC.三、填空題10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【答案】（答案不唯一）【詳解】令，則，解得，不妨設(shè)；令0，得，則；拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)所求圓的方程為.當(dāng)圓過(guò)三點(diǎn)時(shí)，,