人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第20講2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(學(xué)生版+解析)

第07講2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。②理解與掌握平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.。③會(huì)根據(jù)相關(guān)條件寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的圓心，半徑。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據(jù)相關(guān)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能解決與圓有關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心的坐標(biāo)為,半徑為,為圓上任意一點(diǎn)，可用集合表示為：知識(shí)點(diǎn)02：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱(chēng)為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【即學(xué)即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.知識(shí)點(diǎn)03：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)（2）代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫(xiě)出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上．若該點(diǎn)不在圓上,說(shuō)明該點(diǎn)在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程,所以點(diǎn)在這個(gè)圓上．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．又因?yàn)辄c(diǎn)到圓心A的距離．故點(diǎn)在圓內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)04：圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)；記;①若點(diǎn)在外，則;②若點(diǎn)在上，則;③若點(diǎn)在內(nèi)，則;【即學(xué)即練3】（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)____.【答案】6【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑,又圓心到點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，故答案為：6題型01求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C：，O為原點(diǎn)，則以為直徑的圓方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知兩點(diǎn)、，則以PQ為直徑的圓的方程是______.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓心在軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______．【變式2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)三點(diǎn)、、的圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________.題型02由圓的方程求圓心或半徑【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．圓的圓心為，半徑為5B．圓的圓心為，半徑為C．圓的圓心為，半徑為D．圓的圓心為，半徑為【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)校考三模）已知直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2題型03點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）（多選）點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值不可能是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________.題型04與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【典例1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過(guò)點(diǎn)，當(dāng)圓到原點(diǎn)的距離在軸和軸上滑動(dòng)．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是__________．【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┮阎粋€(gè)圓的方程滿足：圓心在點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)，則它的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·北京海淀·?？既＃┤糁本€是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（

）A． B．1 C． D．3．（2023春·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）圓的圓心、半徑是（）A．，4 B．，2 C．，4 D．，24．（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}5．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（

）A． B．C． D．6．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；丙：該圓的圓心為；?。涸搱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．8．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)點(diǎn)與且半徑為2的圓的方程可以為（

）A． B．C． D．三、填空題10．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知直線平分圓且與互相平行，則的距離是__________.四、解答題11．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)求：(1)過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)A，B且圓心在直線上的圓的方程.12．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.B能力提升1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）動(dòng)直線平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值（

）A． B． C． D．2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．C綜合素養(yǎng)4．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校校考期末）已知中，點(diǎn)，邊上中線所在直線的方程為，邊上的高線所在直線的方程為.(1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)以為圓心作一個(gè)圓，使得、、三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，求這個(gè)圓的方程.

第07講2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解圓的定義及確定圓的幾何要素。②理解與掌握平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.。③會(huì)根據(jù)相關(guān)條件寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的圓心，半徑。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據(jù)相關(guān)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能解決與圓有關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心的坐標(biāo)為,半徑為,為圓上任意一點(diǎn)，可用集合表示為：知識(shí)點(diǎn)02：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱(chēng)為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【即學(xué)即練1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.知識(shí)點(diǎn)03：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)（2）代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫(xiě)出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上．若該點(diǎn)不在圓上,說(shuō)明該點(diǎn)在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程,所以點(diǎn)在這個(gè)圓上．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．又因?yàn)辄c(diǎn)到圓心A的距離．故點(diǎn)在圓內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)04：圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)；記;①若點(diǎn)在外，則;②若點(diǎn)在上，則;③若點(diǎn)在內(nèi)，則;【即學(xué)即練3】（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)____.【答案】6【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑,又圓心到點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，故答案為：6題型01求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C：，O為原點(diǎn)，則以為直徑的圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由圓C：可知圓心，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故所求圓的方程為：.故選：D【典例2】（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知兩點(diǎn)、，則以PQ為直徑的圓的方程是______.【答案】【詳解】、,的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為圓心坐標(biāo)，又圓的半徑為則所求圓的方程為.故答案為：.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓心在軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______．【答案】或.【詳解】由題意，設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，可得，解得b＝0或b＝－8，所以所求圓的方程為或.故答案為：或.【變式2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)三點(diǎn)、、的圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【詳解】設(shè)圓的方程為：，代入點(diǎn)的坐標(biāo)有：，所以，所以圓的方程為：.故答案為：.題型02由圓的方程求圓心或半徑【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．圓的圓心為，半徑為5B．圓的圓心為，半徑為C．圓的圓心為，半徑為D．圓的圓心為，半徑為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于C：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由圓可得：圓心為，半徑為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABD.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【詳解】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.故選：B.【變式1】（2023·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎本€經(jīng)過(guò)圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓的圓心，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】由題意得圓心為（1,1），因?yàn)橹本€過(guò)圓心，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：A題型03點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑為，由得，則兩直線與的交點(diǎn)為，依題意得，解得.故選：B【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑，，故點(diǎn)在圓內(nèi).故選：B【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）（多選）點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值不可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由已知條件可得，即，解得.故選：AD.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________.【答案】【詳解】解：由題意得點(diǎn)在圓內(nèi)，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：題型04與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【典例1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【詳解】過(guò)圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，互相垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為1，故選：B.【典例2】（2023秋·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）已知圓C過(guò)點(diǎn)，當(dāng)圓到原點(diǎn)的距離最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】由可得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以垂直平分線的方程為，所以圓心C在線段垂直平分線上，當(dāng)圓C到原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，則,所以直線方程為，聯(lián)立，所以圓心,又半徑,故圓的方程為：故答案為：【變式1】（2023春·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C．7 D．【答案】C【詳解】復(fù)數(shù)滿足，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與的距離，所以的最大值為．故選：C.【變式2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】圓的圓心，半徑為，由于在圓外，．故選：D.題型05與圓有關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【典例1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓和直線.若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：B【典例2】（2023春·四川涼山·高二?？茧A段練習(xí)）若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的方程是___________【答案】【詳解】解：圓的圓心為，圓的圓心為，則線段的中點(diǎn)為，因?yàn)閳A和圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，所以直線的方程是，即，故答案為：【變式1】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知圓和直線.若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓心與圓關(guān)于對(duì)稱(chēng)可得，化簡(jiǎn)得，解得又兩圓半徑相等，故圓的方程為故選：B【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓與圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閳A與圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以的坐標(biāo)為，又圓的半徑為2，所以圓半徑為2，所以圓的方程為，故選：C.題型06軌跡方程【典例1】（2023秋·高一單元測(cè)試）已知定點(diǎn)，是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是_______________.【答案】【詳解】如圖所示，

設(shè)，，則，①因?yàn)镼為AP的中點(diǎn)，所以，②所以由①②得：，即：，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：.故答案為：.【典例2】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】【詳解】

如圖所示，取OA中點(diǎn)D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長(zhǎng)為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，線段，且兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，，，即，得.所以點(diǎn)的軌跡方程是．【變式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是__________．【答案】【詳解】設(shè)，，則由已知可得.又是線段的中點(diǎn)，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的軌跡方程是.故答案為：.【變式2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，∵圓心C在直線上，∴，∵圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴，即，化簡(jiǎn)得：，又，所以，∴圓心C的坐標(biāo)為，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)，，∵M(jìn)為OP的中點(diǎn)，∴，∴，∵P在圓C上，∴，即，∴OP的中點(diǎn)M的軌跡方程為.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┮阎粋€(gè)圓的方程滿足：圓心在點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A心是，且過(guò)點(diǎn)，所以，所以半圓的方程為，故選：D.2．（2023·北京海淀·?？既＃┤糁本€是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】圓的圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以圓心在直線上，所以，解得.故選：A3．（2023春·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）圓的圓心、半徑是（）A．，4 B．，2 C．，4 D．，2【答案】D【詳解】圓的圓心為半徑故選：D4．（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}【答案】A【詳解】由于（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4的內(nèi)部，所以點(diǎn)（1，1）到圓心（a，﹣a）的距離d＜2，即：，整理得：﹣1＜a＜1.故選：A.5．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則有整理得解得，因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圓半徑相等，所以所求圓的半徑為2，所以所求圓方程為，故選:C.6．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；丙：該圓的圓心為；?。涸搱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【詳解】設(shè).假設(shè)甲錯(cuò)誤，乙丙丁正確，，，矛盾，所以甲正確.假設(shè)乙錯(cuò)誤，甲丙丁正確，由甲、丙正確可知圓的方程為，不滿足上式，矛盾，所以乙正確.假設(shè)丙錯(cuò)誤，甲乙丁正確.由乙丁得，與半徑為矛盾，所以丙正確.假設(shè)丁錯(cuò)誤，甲乙丙正確，則由甲丙可知圓的方程為，滿足上式，符合題意.綜上所述，結(jié)論錯(cuò)誤的同學(xué)是丁.故選：D7．（2023春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑，圓心，當(dāng)直線l與直線CP垂直時(shí)，所截得弦長(zhǎng)AB最短．此時(shí)，所以．故選：C．8．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以相?dāng)于圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，所以的最大值為圓心到點(diǎn)距離與圓的半徑的和，即.故選：C.

二、多選題