人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第31講3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

第06講3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握拋物線的幾何性質(zhì)。②通過對(duì)拋物線幾何性質(zhì)來解決與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)、線、面積、周長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算問題。③會(huì)解決與拋物線有關(guān)的弦、定點(diǎn)、定值與取值范圍問題的處理。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握拋物線的性質(zhì)，并能解決與之相關(guān)的計(jì)算與證明問題知識(shí)點(diǎn)01：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對(duì)稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)02：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).(2)若,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】直線過定點(diǎn)，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．知識(shí)點(diǎn)03：直線和拋物線1、拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長(zhǎng)為.2、拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線（）的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)，，則①，；②；③.【即學(xué)即練2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，（1）求拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求.【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）8.【詳解】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組消去可得，則，所以.說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.題型01拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【典例1】（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是；（2）準(zhǔn)線方程是；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．【變式1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）對(duì)拋物線，下列描述正確的是A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【變式2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考期中）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值．題型02直線與拋物線的位置關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線恒有公共點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線可能是（

）．A． B．C． D．【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知M是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的最短距離為．【典例4】（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【變式2】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則的可能取值為（

）A．2 B． C． D．0【變式3】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為．【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線l同時(shí)與橢圓和拋物線各恰有一個(gè)公共交點(diǎn)，求直線l的方程．題型03拋物線的弦長(zhǎng)【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分.(1)求直線的方程；(2)求弦的長(zhǎng)度.【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．【變式1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線：相切，圓心的軌跡為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求．【變式2】（2023春·四川成都·高二成都外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.(1)求的值；(2)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).題型04拋物線的中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法【典例1】（2023秋·陜西咸陽·高二校考期末）已知拋物線，過點(diǎn)引拋物線的一條弦，使它恰在點(diǎn)處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考期中）已知拋物線是拋物線上的點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程.【變式1】（2023秋·甘肅慶陽·高二?？计谀┮阎c(diǎn)，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．題型05拋物線的焦點(diǎn)弦【典例1】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）過拋物線：焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．20【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求曲線C的軌跡方程；(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．(1)求拋物線的方程；(2)記拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．【變式1】（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┻^拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為.【變式2】（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過點(diǎn)（）．(1)求C的方程；(2)若斜率為的直線過C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．【變式3】（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為4直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求．題型06拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作拋物線在第一象限部分的切線，切點(diǎn)為A，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為1．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點(diǎn)，交于P，Q兩點(diǎn)，且M，N分別為線段CD和PQ的中點(diǎn)．直線MN是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．【典例2】（2023·河南信陽·信陽高中校考三模）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【典例3】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．

【變式1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交曲線E于點(diǎn)M、N，點(diǎn)為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)．問是否存在點(diǎn)使為正三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.(1)求拋物線的方程；(2)過作直線與拋物線交于，，求的值.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．題型07拋物線的向量問題【典例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，垂足為，且．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).(1)當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的一般方程;(2)設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.【變式2】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)H，點(diǎn)M是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程：(2)若A、B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，證明直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．題型08拋物線的三角形問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求的面積.【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.①求證：直線過定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線，其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為2且過焦點(diǎn)F的直線l交此拋物線于A、B兩點(diǎn)，求的面積.【變式2】（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，，交E于A，C兩點(diǎn)，交E于B，D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD的面積的最小值．

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線與拋物線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．三、填空題11．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則．12．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學(xué)校考期中）過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的值是．四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．14．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（位于對(duì)稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點(diǎn)．B能力提升1．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2．（2023·河北·校聯(lián)考三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在四面體中，，點(diǎn)E在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界位置），記平面與平面所成的角為，若，則的最大值為.4．（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考期中）在坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，則直線在軸上的截距為；若點(diǎn)到的距離為，則.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，直線：與拋物線C交于M，N兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)，都有（m，n為常數(shù)），求的值.2．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在上，且是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，其周長(zhǎng)為10.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)與A，不共線，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得直線，與直線交于點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第06講3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握拋物線的幾何性質(zhì)。②通過對(duì)拋物線幾何性質(zhì)來解決與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)、線、面積、周長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算問題。③會(huì)解決與拋物線有關(guān)的弦、定點(diǎn)、定值與取值范圍問題的處理。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握拋物線的性質(zhì)，并能解決與之相關(guān)的計(jì)算與證明問題知識(shí)點(diǎn)01：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對(duì)稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)02：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).(2)若,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】直線過定點(diǎn)，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．知識(shí)點(diǎn)03：直線和拋物線1、拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長(zhǎng)為.2、拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線（）的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)，，則①，；②；③.【即學(xué)即練2】（2023秋·四川成都·高二?？计谀┮阎獟佄锞€，其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，（1）求拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求.【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）8.【詳解】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組消去可得，則，所以.說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.題型01拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【典例1】（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵拋物線C與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，∴拋物線C的方程為，∴拋物線C的準(zhǔn)線方程是.故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是；（2）準(zhǔn)線方程是；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．【答案】（1）；（2）；（3）或.【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.【變式1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀?duì)拋物線，下列描述正確的是A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】B【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，可知化為標(biāo)準(zhǔn)式為拋物線，2p=1/4，故焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，選B【變式2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谥校┤魭佄锞€的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值．【答案】6【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此可知拋物線的焦點(diǎn),故答案為6題型02直線與拋物線的位置關(guān)系【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，符合題意；當(dāng)時(shí)，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線恒有公共點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線可能是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【詳解】由題意得，點(diǎn)在拋物線上或其內(nèi)部，則，解得，∴其準(zhǔn)線為.故選:BD．【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知M是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的最短距離為．【答案】/【詳解】設(shè)，則點(diǎn)M到直線的距離，當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：【典例4】（2023秋·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）準(zhǔn)線為，，拋物線的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，得，則，因?yàn)?，則，則，即，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，符合題意；綜上，m的值為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．4 B．2 C．0或4 D．8【答案】C【詳解】聯(lián)立得：，當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上可知：或，故選：C【變式2】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則的可能取值為（

）A．2 B． C． D．0【答案】BD【詳解】聯(lián)立，消去可得，∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，或.故選：BD.【變式3】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為．【答案】【詳解】由，消去得，由題意，解得，則拋物線方程為：，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，即．故答案為：．【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線l同時(shí)與橢圓和拋物線各恰有一個(gè)公共交點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】或【詳解】由題，直線的斜率存在，并設(shè)方程為，聯(lián)立整理得，由可得，整理得，聯(lián)立整理得，由可得，化簡(jiǎn)得，則有，由可得解得，所以或，所以直線的方程為或.題型03拋物線的弦長(zhǎng)【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分.(1)求直線的方程；(2)求弦的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)則，由，可得所以，得直線的方程為.（2）聯(lián)立方程，得，得，所以【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．【答案】．【詳解】解：拋物線，直線，將直線方程代入到拋物線方程中，得：，整理得：，設(shè)，，，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，所以弦長(zhǎng)．【變式1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線：相切，圓心的軌跡為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與直線：相切，，整理得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)，，直線的方程為，則由，整理得,．【變式2】（2023春·四川成都·高二成都外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.(1)求的值；(2)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).【答案】(1)2；(2).【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得，所以的值為2.（2）由（1）知，拋物線，設(shè)點(diǎn)，，由消去y得：，，則，，所以.題型04拋物線的中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法【典例1】（2023秋·陜西咸陽·高二校考期末）已知拋物線，過點(diǎn)引拋物線的一條弦，使它恰在點(diǎn)處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，因?yàn)镸N的中點(diǎn)為，則，所以，所以直線l的方程為即.故選：A【典例2】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€是拋物線上的點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，在拋物線中，，由幾何知識(shí)得，，解得：，故拋物線的方程為：.（2）由題意及（1）得，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則，兩式相減得，整理得，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，∴，∴直線的方程為：，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.【變式1】（2023秋·甘肅慶陽·高二校考期末）已知點(diǎn)，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是．【答案】【詳解】時(shí)，，在拋物線內(nèi)部（含焦點(diǎn)的部分），設(shè)，，由，相減得，∴，即，直線方程為，即，故答案為：．【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)其方程為，將點(diǎn)代入可得，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）拋物線中，時(shí)，，在拋物線內(nèi)部，可以為弦的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，直線斜率為點(diǎn)在拋物線上，所以所以，即，所以直線方程為．經(jīng)檢驗(yàn)，直線符合題意.題型05拋物線的焦點(diǎn)弦【典例1】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）過拋物線：焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則（

）A． B． C．18 D．20【答案】B【詳解】依題意拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)為，又，所以，解得，所以，所以，所以直線的方程為，由，消去整理得，解得、，即，所以.故選：B【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求曲線C的軌跡方程；(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或．【詳解】（1）由題意動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以，曲線C是以F為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線（去掉頂點(diǎn)），，所以曲線C的軌跡方程是；（2）若直線斜率不存在，則不合題意，因此直線斜率存在，設(shè)直線方程為，代入曲線C方程整理得，設(shè)，則，，所以直線方程為，即或．【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．(1)求拋物線的方程；(2)記拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，依題意可得，解得或，又、、，所以，所以拋物線方程為.（2）由（1）可得，，，因?yàn)橹本€直線，所以，所以直線的方程為，即，由，消去整理得，設(shè)，，所以，所以，所以.【變式1】（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┻^拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為.【答案】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線的傾斜角為，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則直線的方程為，代入得，則，，，，，則，故答案為：【變式2】（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過點(diǎn)（）．(1)求C的方程；(2)若斜率為的直線過C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)，∴．又∵，∴，上故的方程為．（2）設(shè)，，由（1）知，拋物線的焦點(diǎn)為，∵直線的斜率為，且過點(diǎn)，∴直線的方程為，

聯(lián)立得，則．

∴，故線段的長(zhǎng)度為．【變式3】（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為4直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殛P(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以有；（2）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，因此有，則有題型06拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作拋物線在第一象限部分的切線，切點(diǎn)為A，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為1．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點(diǎn)，交于P，Q兩點(diǎn)，且M，N分別為線段CD和PQ的中點(diǎn)．直線MN是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)直線MN恒過定點(diǎn)．【詳解】（1）由題，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，,的坐標(biāo)代入，得，解得，由于，所以，由的面積，解得，所以的方程為．（2）由題意可知，直線和斜率都存在且均不為0，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組消去并整理得，，則，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)闉镃D中點(diǎn)，所以，同理可得，所以，直線MN的方程為，整理得，所以，直線MN恒過定點(diǎn)．【典例2】（2023·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)，(2)定值為64【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準(zhǔn)線的距離為3，∴，∴；∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴；（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線方程設(shè)為，由得，，若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標(biāo)分別為，，，，∴，，∵到的距離，∴，∴，，∴，∴，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.【典例3】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見解析，定直線方程為.【詳解】（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線l1的方程為，由已知得圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€l1與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以.（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為所以切線l2的方程為．令，即l2交y軸于B點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，∴，∴．設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，所以點(diǎn)N在定直線上．

【變式1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交曲線E于點(diǎn)M、N，點(diǎn)為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)．問是否存在點(diǎn)使為正三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）設(shè)，則因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，即，化簡(jiǎn)得，所以曲線E的方程為．（2）假設(shè)存在點(diǎn)使為正三角形．當(dāng)MN垂直于y軸時(shí)，不符合題意；當(dāng)MN不垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線MN：，MN的中點(diǎn)為，聯(lián)立得：，∴，，，∴，∴，，∴，∵為正三角形，∴，即，∴，PK：，令，∴所以存在點(diǎn)使為正三角形．

【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.(1)求拋物線的方程；(2)過作直線與拋物線交于，，求的值.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由題知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，解得，∴拋物線的方程為.

（2）由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，∴，即，∴，，∴.

【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，得方程為，由,消元得，，，；由弦長(zhǎng)公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：因?yàn)閘1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，所以直線斜率存在設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，則.設(shè)直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．法二：設(shè)直線方程為，由消去得，設(shè)，則．設(shè)直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，．因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．題型07拋物線的向量問題【典例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，垂足為，且．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，可得，即，整理?（2）當(dāng)直線的斜率存在，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，因?yàn)橹本€與曲線交于兩點(diǎn)，則，且，因?yàn)?，可得，所以；?dāng)直線的斜率不存在，此時(shí)直線，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，此時(shí)，可得，綜上可得，為定值.

【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，所以點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線l：的距離，則點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設(shè)，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，易得，由韋達(dá)定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)滿足條件.

【變式1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).(1)當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的一般方程;(2)設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.【答案】(1)或(2)證明見解析【詳解】（1）由點(diǎn)在拋物線上，所以，所以拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為.由，得.依題意，解得且.且.因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，即，解得或，所以的一般方程為或.（2）直線的方程為，又，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，.所以.所以，即為定值.【變式2】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)H，點(diǎn)M是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程：(2)若A、B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，證明直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【詳解】（1）由題意，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以軌跡方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立，而①，∴，則，由，即滿足①式，∴直線：必過點(diǎn).題型08拋物線的三角形問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由拋物線的定義可得，因?yàn)?，所以，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由（1）知.由，得，,則，，所以,所以,因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離,所以的面積為.【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.①求證：直線過定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)①證明見解析；②.【詳解】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.（2）（i）設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，.設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，，則.同理可得.所以.因此直線，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以直線過定點(diǎn).（ii）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為2且過焦點(diǎn)F的直線l交此拋物線于A、B兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，即，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知：，則直線為，即，聯(lián)立拋物線可得：，則，，所以，又O到直線的距離，所以.【變式2】（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，，交E于A，C兩點(diǎn)，交E于B，D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD的面積的最小值．【答案】(1)(2)32【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．∵拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．根據(jù)拋物線的定義可知，，∴，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可知均有斜率且斜率不為零，且過焦點(diǎn)，

設(shè)，，，設(shè)，由，消可得，∴，，∴，∴，同理可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴四邊形ABCD面積的最小值為32．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在軸上，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線內(nèi)部，將選項(xiàng)中的點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系中畫出來，只有點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，故當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均相交，故均有公共點(diǎn)，故選：D2．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線與拋物線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【詳解】依題意，，則由解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】由對(duì)稱性易得A，B橫坐標(biāo)相等且大于0，聯(lián)立得，解得，則，將代入可得，則.故選：C.4．（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【詳解】依題意作下圖：

設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】B【詳解】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為,，則準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，所以，所以拋物線的方程是：，故選：B.6．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.所以.故選：C

7．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）過點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分為，，若，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，在拋物線上，所以直線斜率一定不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，與聯(lián)立方程可得：，即，所以，則，所以①，，所以②，由①②可得：，所以，故.故選：A.8．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于點(diǎn)，分別在點(diǎn)處作的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】顯然直線的斜率存在，因此設(shè)直線的方程為，，由得，因此，故.因?yàn)?，所以過與相切的直線方程分別為：、，因此由得，即，所以.因?yàn)?，所以，因此，所以的取值范圍?故選:C.二、多選題9．（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的最小值為2B．拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱C．過點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4【答案】AB【詳解】設(shè)，則，，又拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)A，由題可知，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是1，A錯(cuò)；對(duì)B，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)；對(duì)C，由題知點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部（含有焦點(diǎn)的部分），因此過與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，其他直線與拋物線都有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；對(duì)D，記拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線方程為，過作于，過作于，則，，所以當(dāng)三點(diǎn)共線，即與重合時(shí)，最小，最小值為．D正確．故選：AB．10．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【詳解】由題意得，，則的準(zhǔn)線為，故A正確；,設(shè)，整理得，，所以，，，所以，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則．【答案】2【詳解】設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為過的直線為，與拋物線聯(lián)立可得，，故．，故當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線有且僅有一條，即，故．故答案為：2.12．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學(xué)?？计谥校┻^拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的值是．【答案】【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，得，，，.所以.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示：由題意可知，因?yàn)?，，由，，可得，由拋物線的定義可知，，解得．則的方程為.（2）如圖所示：在拋物