人教A版數(shù)學(選擇性必修三講義)第14講7.4.2超幾何分布(學生版+解析)

第07講7.4.2超幾何分布課程標準學習目標①理解超幾何分布概率模型的特點，理解超幾何分布與古典概型之間的關系。②根據(jù)超幾何分布概率模型的特點，會求超幾何概型的分布列、期望、方差。③在實際問題中能用超幾何概型解決實際問題。通過本節(jié)課的學習，能解決數(shù)學中的超幾何概率的相關問題，能建立超幾何概型解決實際問題知識點1：超幾何分布（1）超幾何分布一般地，假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中隨機抽取件(不放回)，用表示抽取的件產品中的次品數(shù)，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布．（2）對超幾何分布的理解①在超幾何分布的模型中，“任取件”應理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗，這時概率分布是二項分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.②若隨機變量滿足：試驗是不放回地抽取次；隨機變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機變量服從超幾何分布.③超幾何分布的特點：不放回抽樣；考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考察其中某類個體個數(shù)的概率分布列.（3）超幾何分布的均值若隨機變量服從超幾何分布，則(是件產品的次品率).【即學即練1】（2023·全國·高二課堂例題）一袋中裝有50個白球，45個黑球，5個紅球，現(xiàn)從中隨機抽取20個球，求取出的紅球個數(shù)的數(shù)學期望．【答案】1【詳解】袋中球的總數(shù)為，根據(jù)題意可知，隨機抽取的20個球中紅球的個數(shù)服從超幾何分布，即．因為，，，所以．知識點2：二項分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗得出二項分布.這兩個分布的關系是，假設一批產品共有件，其中有件次品.從件產品中隨機抽取件，用表示抽取的件產品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機變量服從二項分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計算是古典概型問題，二項分布的概率計算是相互獨立事件的概率問題.（2）聯(lián)系二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取件產品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗只有兩種可能的結果：成功或失敗.當總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時，不放回抽樣可以認為是有放回抽樣，即對于不放回抽樣，當遠遠小于時，每抽取一次后，對的影響很小，超幾何分布可以近似為二項分布.題型01對超幾何分布的理解【典例1】（2022上·高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③X表示取出的白球個數(shù)；④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.這四種變量中服從超幾何分布的是（）A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④【典例2】（多選）（2022上·高二課時練習）（多選題）下列隨機變量X不服從超幾何分布的是（）A．X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)B．X表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數(shù)之和C．有一批產品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件數(shù)為XD．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X（N－M＞n＞0）【典例3】（2023·高二課時練習）下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是的骰子的個數(shù)記為，求的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為，任取顆種子做發(fā)芽實驗，把實驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為，求的分布列；(3)盒子中有紅球只，黃球只，藍球只，任取只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為，求的分布列；(4)某班級有男生人，女生人．選派名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為，求的分布列；(5)現(xiàn)有臺平板電腦未經檢測，抽取臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板電腦的個數(shù)記為，求的分布列．【變式1】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學?？茧A段練習）下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為B．某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對目標射擊次，記命中的次數(shù)為C．從男女共名學生干部中選出名學生干部，記選出女生的人數(shù)為D．盒中有個白球和個黑球，每次從中摸出個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為【變式2】（2023下·高二課時練習）下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是（）A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為XC．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)【變式3】（2023下·遼寧·高二遼寧實驗中學?？茧A段練習）下列關于超幾何分布的敘述中，正確的是（

）A．X的可能取值為0，1，2，…，20 B．C．X的數(shù)學期望 D．當k＝8時，最大題型02超幾何分布的概率【典例1】（2024上·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯(lián)考期末）一袋中裝有大小?質地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學期望為（

）．A．2 B．4 C． D．【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）從一批含有6件正品，2件次品的產品中一次性抽取3件，設抽取出的3件產品中次品數(shù)為X，則（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·全國·高三專題練習）一個袋中共有個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是，則白球的個數(shù)為.【變式1】（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知在件產品中有件次品，現(xiàn)從這件產品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（

）A． B．C． D．1【變式3】（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某班要從3名男同學和5名女同學中隨機選出4人去參加某項比賽，設抽取的4人中女同學的人數(shù)為，則.【變式4】（2024下·全國·高二隨堂練習）為慶祝第19屆亞運會在我國杭州舉行，杭州某中學舉辦了一次“亞運知識知多少”的知識競賽.參賽選手從7道題（4道多選題，3道單選題）中隨機抽題進行作答，若某選手先隨機抽取2道題，再隨機抽取1道題，則最后抽取到的題為多選題的概率為.題型03超幾何分布均值與方差（選填）【典例1】（2024·全國·高三專題練習）一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每個球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為X，則X的數(shù)學期望是（

）．A． B． C． D．【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數(shù)為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（多選）（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯(lián)考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現(xiàn)從中任取4個球，設這4個球中黑球的個數(shù)為，則（

）A．服從二項分布 B．的值最小為1C． D．【典例4】（2024上·全國·高三專題練習）某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個數(shù)為.若記取出3個球中黑球的個數(shù)為，則.【變式1】（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【變式2】（多選）（2024上·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（2024·全國·高三專題練習）有一批產品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為．【變式4】（2024下·全國·高二隨堂練習）某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用表示4人中的團員人數(shù)，則＝；＝．題型04超幾何分布均值與方差（解答）【典例1】（2024上·湖南長沙·高二長沙一中?？计谀┠炒醒b有大小相同、質地均勻的6個球，其中4個黑球和2個白球．從袋中隨機取出2個球，記取出白球的個數(shù)為X．(1)寫出X的分布列，并求出和的值；(2)若取出一個白球得一分，取出一個黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．【典例2】（2024上·廣東廣州·高三?？计谀┠硨W校共有1000名學生參加知識競賽，其中男生400人，為了解該校學生在知識競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學生進行調查，分數(shù)分布在分之間，根據(jù)調查的結果繪制的學生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分數(shù)不低于750分的學生稱為“高分選手”．(1)求的值，并估計該校學生分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高分選手”的學生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；【典例3】（2024·全國·高三專題練習）2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品，假設每位同學的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數(shù)；(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）假設某市大約有800萬網絡購物者，某電子商務公司對該地區(qū)n名網絡購物者某年度上半年前6個月內的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個小矩形依次對應第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網絡購物愛好調查，①求在各組應該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，表示選取的人中來自該中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.(1)求一學生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學期望.題型05二項分布與超幾何分布【典例1】（2024上·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關系.【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）某中學進行校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機抽取4道來回答．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．【變式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共裝有2只黃色球與4只白色球，現(xiàn)從中隨機抽取3次，每次僅取1個球.(1)若每次抽取之后，記錄抽到乒乓球的顏色，再將其放回盒中，記抽到黃球的次數(shù)為隨機變量，求及；(2)若每次抽取之后，將抽到的乒乓球留在盒外，記最終盒外的黃球個數(shù)為隨機變量，求及；(3)在（1）（2）的條件之下，求.【變式2】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯(lián)考期末）某學校高一，高二，高三三個年級的學生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學生來了解學生的睡眠情況.(1)應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學生人數(shù)，求隨機變量X的分布列：②將這7名學生中“睡眠不足”的頻率視為該學校學生中“睡眠不足”的概率，若從該學校全體學生（人數(shù)較多）中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學生的人數(shù)，求Y的期望和方差：A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末）口袋中有2個黑球，2個紅球和1個白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）現(xiàn)從3名女生和2名男生中隨機選出2名志愿者，用表示所選2名志愿者中男生的人數(shù)，則為（

）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.23．（2023·全國·高二專題練習）設個產品中有個次品，任取產品個，取到的次品可能有個，則（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2023下·高二課時練習）有件產品，其中有件次品，從中不放回地抽件產品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學期望值是（

）A． B． C． D．5．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）設隨機變量，且．若8名黨員中有名男黨員，從這8人中選4名代表，記選出的代表中男黨員人數(shù)為，則（

）A． B． C． D．6．（2023下·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學校聯(lián)考期末）某學校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望（

）A． B． C． D．7．（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書，用隨機變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，則概率為的是（

）A． B． C． D．8．（2023下·山東青島·高二?？计谥校难b有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球.若每取出個紅球得分，每取出個白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個球，所得分數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設取的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結論正確的是（）A． B．C．隨機變量服從超幾何分布 D．隨機變量服從二項分布10．（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）下列說法正確的有（

）A．某學校有2023名學生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學生參加學校組織的活動，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布B．若隨機變量X的數(shù)學期望，則C．若隨機變量X的方差，則D．隨機變量則三、填空題11．（2023·全國·高三對口高考）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品．若廠家發(fā)給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收．則該商家拒收這批產品的概率是．12．（2023下·上海浦東新·高三上海市建平中學校考階段練習）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內容最豐富的佛教藝術勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游．已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟、莫高窟三層樓16號窟、藏經洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是．四、解答題13．（2023·全國·高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動．袋中裝有18個除顏色外其余均相同的小球，其中8個是紅球，10個是白球．抽獎者從中一次抽出3個小球，抽到3個紅球得一等獎，抽到2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到0個紅球不得獎．求得一等獎、二等獎和三等獎的概率．14．（2023下·高二課時練習）甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道試題，乙能答對其中的8道試題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，答對一題得5分，答錯一題得0分．求：(1)甲答對試題數(shù)的概率分布；(2)乙所得分數(shù)的概率分布．B能力提升1．（2023上·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習）ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用PLHF（人類反饋強化學習）技術.在測試ChatGPT時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為，當出現(xiàn)語法錯誤時，ChatGPT的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，ChatGPT的回答有5個被采納.現(xiàn)從這7個問題中抽取3個，以表示這抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率.2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）某貧困縣在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農科所為了對比兩種不同品種茶葉的產量，在試驗田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內，根據(jù)畝產數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：(1)從種茶葉畝產的20個數(shù)據(jù)中任取兩個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于56千克的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(2)在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過計算判斷種茶葉的畝產量屬于上述哪種類型.3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式決定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.(1)寫出小李同學抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；(2)求小李同學當天穿連衣裙的概率.4．（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯(lián)考階段練習）統(tǒng)計學是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的一門科學.面對一個統(tǒng)計問題，首先要根據(jù)實際需求，通過適當?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理和描述，在此基礎上用各種統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應的實際問題.概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個常用詞匯.同學們在學完高中統(tǒng)計和概率相關章節(jié)后，探討了以下兩個問題，請幫他們解決：(1)從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是男生的概率，結合計算結果分析三種抽樣；(2)一個袋子中有100個除顏色外完全相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用表示樣本中黃球的個數(shù)，分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和數(shù)學期望.結合計算結果分析兩種摸球方式的特點.第07講7.4.2超幾何分布課程標準學習目標①理解超幾何分布概率模型的特點，理解超幾何分布與古典概型之間的關系。②根據(jù)超幾何分布概率模型的特點，會求超幾何概型的分布列、期望、方差。③在實際問題中能用超幾何概型解決實際問題。通過本節(jié)課的學習，能解決數(shù)學中的超幾何概率的相關問題，能建立超幾何概型解決實際問題知識點1：超幾何分布（1）超幾何分布一般地，假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中隨機抽取件(不放回)，用表示抽取的件產品中的次品數(shù)，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布．（2）對超幾何分布的理解①在超幾何分布的模型中，“任取件”應理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗，這時概率分布是二項分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.②若隨機變量滿足：試驗是不放回地抽取次；隨機變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機變量服從超幾何分布.③超幾何分布的特點：不放回抽樣；考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考察其中某類個體個數(shù)的概率分布列.（3）超幾何分布的均值若隨機變量服從超幾何分布，則(是件產品的次品率).【即學即練1】（2023·全國·高二課堂例題）一袋中裝有50個白球，45個黑球，5個紅球，現(xiàn)從中隨機抽取20個球，求取出的紅球個數(shù)的數(shù)學期望．【答案】1【詳解】袋中球的總數(shù)為，根據(jù)題意可知，隨機抽取的20個球中紅球的個數(shù)服從超幾何分布，即．因為，，，所以．知識點2：二項分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗得出二項分布.這兩個分布的關系是，假設一批產品共有件，其中有件次品.從件產品中隨機抽取件，用表示抽取的件產品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機變量服從二項分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計算是古典概型問題，二項分布的概率計算是相互獨立事件的概率問題.（2）聯(lián)系二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取件產品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗只有兩種可能的結果：成功或失敗.當總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時，不放回抽樣可以認為是有放回抽樣，即對于不放回抽樣，當遠遠小于時，每抽取一次后，對的影響很小，超幾何分布可以近似為二項分布.題型01對超幾何分布的理解【典例1】（2022上·高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③X表示取出的白球個數(shù)；④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.這四種變量中服從超幾何分布的是（）A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④【答案】B【詳解】超幾何分布定義：設有總數(shù)為N件的甲乙兩類物品，其中甲類有M件，從所有物品中任取n件，則中所含甲類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值m時的概率為，我們稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布.①②中的變量不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故①②錯誤；③中的變量符合超幾何分布的定義選項，將白球視作甲類物品，黑球視作乙類物品，則可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故③正確；④中的變量可以對應取出的白球個數(shù)，符合超幾何分布的定義選項，可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故④正確.故選：B．【典例2】（多選）（2022上·高二課時練習）（多選題）下列隨機變量X不服從超幾何分布的是（）A．X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)B．X表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數(shù)之和C．有一批產品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件數(shù)為XD．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X（N－M＞n＞0）【答案】ABC【詳解】對于A，設事件為“拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)”，則，而在次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生了次的概率，符合二項分布的定義，不是超幾何分布，故A正確；對于B，的取值是，且，顯然不符合超幾何分布的定義，因此不服從超幾何分布，故B正確．C和D的區(qū)別：C是“有放回”抽取，而D是“無放回”抽取，顯然D中次試驗是不獨立的，因此D服從超幾何分布，對于C有服從二項分布，故C正確，D錯誤.故選：ABC【典例3】（2023·高二課時練習）下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是的骰子的個數(shù)記為，求的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為，任取顆種子做發(fā)芽實驗，把實驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為，求的分布列；(3)盒子中有紅球只，黃球只，藍球只，任取只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為，求的分布列；(4)某班級有男生人，女生人．選派名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為，求的分布列；(5)現(xiàn)有臺平板電腦未經檢測，抽取臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板電腦的個數(shù)記為，求的分布列．【答案】(1)不是，理由見解析(2)不是，理由見解析(3)是，理由見解析(4)是，理由見解析(5)不是，理由見解析【詳解】（1）解：樣本沒有分類，是重復試驗問題，不是超幾何分布問題.（2）解：樣本沒有分類，是重復試驗問題，不是超幾何分布問題.（3）解：樣本符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機變量表示抽取件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．（4）解：樣本符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機變量X表示抽取件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．（5）解：樣本沒有給出不合格產品數(shù)，無法計算的分布列，所以不屬于超幾何分布問題．【變式1】（2023下·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學?？茧A段練習）下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是（

）A．將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為B．某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對目標射擊次，記命中的次數(shù)為C．從男女共名學生干部中選出名學生干部，記選出女生的人數(shù)為D．盒中有個白球和個黑球，每次從中摸出個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為【答案】C【詳解】對于A選項，將一枚硬幣連拋次，記正面向上的次數(shù)為，則服從二項分布，A不滿足；對于B選項，某射手的射擊命中率為，現(xiàn)對目標射擊次，記命中的次數(shù)為，則服從兩點分布，B不滿足；對于C選項，從男女共名學生干部中選出名學生干部，記選出女生的人數(shù)為，則服從超幾何分布，C滿足；對于D選項，盒中有個白球和個黑球，每次從中摸出個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為，則不服從超幾何分布，D不滿足.故選：C.【變式2】（2023下·高二課時練習）下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是（）A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為XC．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)【答案】ACD【詳解】對于A中，將一枚硬幣連拋3次，每次正面向上的概率均為，所以正面向上的次數(shù)服從二項分布；對于B中，從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為服從超幾何分布；對于C中，某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，可得命中目標的次數(shù)服從二項分布；對于D中，盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，首次摸出黑球時的總次數(shù)的取值為，而超幾何分布定義為，即從N個物件（包含M個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出指定種類的物件的次數(shù)（不放回），故不服從超幾何分布.故選：ACD.【變式3】（2023下·遼寧·高二遼寧實驗中學?？茧A段練習）下列關于超幾何分布的敘述中，正確的是（

）A．X的可能取值為0，1，2，…，20 B．C．X的數(shù)學期望 D．當k＝8時，最大【答案】ACD【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義得到的可能取值為0，1，2，20，，，故AC正確，B錯；，解得，所以時最大，故D正確.故選：ACD.題型02超幾何分布的概率【典例1】（2024上·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯(lián)考期末）一袋中裝有大小?質地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是.故選：B.【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學期望為（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【詳解】隨機變量可取，，，，，，故選：C【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）從一批含有6件正品，2件次品的產品中一次性抽取3件，設抽取出的3件產品中次品數(shù)為X，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知X服從超幾何分布，則.故選：C【典例4】（2024·全國·高三專題練習）一個袋中共有個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是，則白球的個數(shù)為.【答案】【詳解】設有白球個，因為從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是，所以，解得或（舍去）.故答案為：5【變式1】（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知在件產品中有件次品，現(xiàn)從這件產品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，件產品中有件次品，件正品，從這件產品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，表示要從件次品中抽取件，從件正品中抽取件，故.故選：B.【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（

）A． B．C． D．1【答案】C【詳解】由題意知X服從超幾何分布，X的可能取值為0，1，2，故，，于是.故選：C.【變式3】（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某班要從3名男同學和5名女同學中隨機選出4人去參加某項比賽，設抽取的4人中女同學的人數(shù)為，則.【答案】/0.5【詳解】因.故答案為：.【變式4】（2024下·全國·高二隨堂練習）為慶祝第19屆亞運會在我國杭州舉行，杭州某中學舉辦了一次“亞運知識知多少”的知識競賽.參賽選手從7道題（4道多選題，3道單選題）中隨機抽題進行作答，若某選手先隨機抽取2道題，再隨機抽取1道題，則最后抽取到的題為多選題的概率為.【答案】【詳解】設先抽取2道題中多選題的題數(shù)為，則的可能取值為：0，1，2，可得：，所以最后抽取到的題為多選題的概率為.故答案為：.題型03超幾何分布均值與方差（選填）【典例1】（2024·全國·高三專題練習）一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每個球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為X，則X的數(shù)學期望是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，則，，．所以．故A正確.故選：A.【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數(shù)為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意可知，X可能取1，2，3，且服從超幾何分布，故所以，，故選：D．【典例3】（多選）（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯(lián)考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現(xiàn)從中任取4個球，設這4個球中黑球的個數(shù)為，則（

）A．服從二項分布 B．的值最小為1C． D．【答案】BCD【詳解】依題意知隨機變量服從參數(shù)為6，4，3的超幾何分布，故A錯誤；的所有可能取值為1，2，3，所以的值最小為1，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD【典例4】（2024上·全國·高三專題練習）某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個數(shù)為.若記取出3個球中黑球的個數(shù)為，則.【答案】3/0.36【詳解】設袋中黑球有n個，則從袋中隨機取出3個球，恰全為黑球的概率為，可得，該事件服從超幾何分布，由題可知，取出3個球中黑球的個數(shù)的可能取值為1，2，3，由超幾何分布事件分別計算對應概率，，，可得分布列如下：123則，.故答案為：;【變式1】（2024上·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】由題可知，，解得，X的可能取值為，，，，，∴.故選：A【變式2】（多選）（2024上·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，故；從而，故選項A正確；，，，故選項B錯誤，C正確；，故選項D正確；故選：ACD.【變式3】（2024·全國·高三專題練習）有一批產品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為．【答案】1.2【詳解】由題意知隨機變量X服從超幾何分布，其中，，，于是次品件數(shù)X的期望，故答案為：1.2【變式4】（2024下·全國·高二隨堂練習）某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用表示4人中的團員人數(shù)，則＝；＝．【答案】2【詳解】依題意服從參數(shù)為的超幾何分布，所以，.故答案為：，2題型04超幾何分布均值與方差（解答）【典例1】（2024上·湖南長沙·高二長沙一中校考期末）某袋中裝有大小相同、質地均勻的6個球，其中4個黑球和2個白球．從袋中隨機取出2個球，記取出白球的個數(shù)為X．(1)寫出X的分布列，并求出和的值；(2)若取出一個白球得一分，取出一個黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．【答案】(1)分布列見解析，，(2)，;【詳解】（1）依題意，得，，，，所以隨機變量的分布列為012；.（2）依題意，得，則，.【典例2】（2024上·廣東廣州·高三?？计谀┠硨W校共有1000名學生參加知識競賽，其中男生400人，為了解該校學生在知識競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學生進行調查，分數(shù)分布在分之間，根據(jù)調查的結果繪制的學生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分數(shù)不低于750分的學生稱為“高分選手”．(1)求的值，并估計該校學生分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內的兩組學生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“高分選手”的學生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；【答案】(1)，平均數(shù)670，中位數(shù)650，眾數(shù)600(2)分布列見解析，【詳解】（1）由題意知，解得，樣本平均數(shù)為，由于，故中位數(shù)650，眾數(shù)600．（2）由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，隨機變量的所有可能取值有0，1，2，3．，所以隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望．【典例3】（2024·全國·高三專題練習）2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品，假設每位同學的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數(shù)；(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列見解析，2.8【詳解】（1）各班報名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為，故班分別抽?。ㄈ耍?，（人），（人），（人）.（2）由題意，的可能取值為1,2,3,4，,,,,所以的分布列為：1234【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）假設某市大約有800萬網絡購物者，某電子商務公司對該地區(qū)n名網絡購物者某年度上半年前6個月內的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個小矩形依次對應第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網絡購物愛好調查，①求在各組應該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)，，，(2)①各組應該抽取的人數(shù)分別為3，4，5，6；②分布列見解析，數(shù)學期望為【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因為第五小組的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．因為第六小組的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．由頻率之和為1，得，所以．因為頻率分布直方圖中的滿足，所以．所以代入中，得，得，解得．所以．（2）①因為前4組的頻率之比為，且現(xiàn)從前4組中選出18人進行網絡購物愛好調查，所以在應該抽取的人數(shù)分別是．②由題意，隨機變量的所有可能取值是．則故隨機變量的分布列為0123故隨機變量的數(shù)學期望為．【變式2】（2024下·全國·高二隨堂練習）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，表示選取的人中來自該中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】分布列見解析，【詳解】由題意可知的可能取值有0、1、2、3，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：0123所以．【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.(1)求一學生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為【詳解】（1）記“一學生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，所以.（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：，，可得的分布列為0123所以.題型05二項分布與超幾何分布【典例1】（2024上·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關系.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【詳解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以，，故.【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）某中學進行校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機抽取4道來回答．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．【答案】(1)，(2)答案見解析【詳解】（1）設甲答對題目的數(shù)目為，則，可得，又因為，所以，.（2）設乙答對的題目數(shù)為，可知的可能取值為0，1，2，3，4，則，則有：，，，所以的分布列為：102540【變式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共裝有2只黃色球與4只白色球，現(xiàn)從中隨機抽取3次，每次僅取1個球.(1)若每次抽取之后，記錄抽到乒乓球的顏色，再將其放回盒中，記抽到黃球的次數(shù)為隨機變量，求及；(2)若每次抽取之后，將抽到的乒乓球留在盒外，記最終盒外的黃球個數(shù)為隨機變量，求及；(3)在（1）（2）的條件之下，求.【答案】(1)，(2)，；(3)【詳解】（1）由題意知，每次取到黃球的概率為，故，因為，代入得，同理可得，，，故；（或者根據(jù)二項分布的期望公式直接求得結果）（2）由題意可知服從超幾何分布，，代入得，同理可得，，故；（3）由（1）（2）知，.【變式2】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯(lián)考期末）某學校高一，高二，高三三個年級的學生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學生來了解學生的睡眠情況.(1)應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學生人數(shù)，求隨機變量X的分布列：②將這7名學生中“睡眠不足”的頻率視為該學校學生中“睡眠不足”的概率，若從該學校全體學生（人數(shù)較多）中隨機抽取3人做進一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學生的人數(shù)，求Y的期望和方差：【答案】(1)3人，2人，2人.(2)①答案見解析；②，【詳解】（1）由已知選取的三個年級的人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從高一?高二?高三三個年級的學生中分別抽取3人，2人，2人.（2）①隨機變量X符合超幾何分布，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3.則所以，隨機變量的分布列為0123②取一個學生就是一次試驗，有“睡眠不足”和“睡眠充足”兩個結果，抽3個學生相當于3次獨立重復抽一個學生的試驗，于是符合二項分布，所以A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末）口袋中有2個黑球，2個紅球和1個白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由超幾何分布的概率計算公式，代入計算即可得到結果.【詳解】由題意可得，.故選：B2．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）現(xiàn)從3名女生和2名男生中隨機選出2名志愿者，用表示所選2名志愿者中男生的人數(shù)，則為（

）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布概率公式求出各取值的概率，然后由期望公式可得；也可根據(jù)超幾何分布的期望公式直接可得.【詳解】的所有可能取值為，則.所以，所以.另解：因為X服從超幾何分布，所以.故選：B.3．（2023·全國·高二專題練習）設個產品中有個次品，任取產品個，取到的次品可能有個，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)超幾何分步的數(shù)學期望公式求解即可【詳解】由題意，個故選：A4．（2023下·高二課時練習）有件產品，其中有件次品，從中不放回地抽件產品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學期望值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，抽到正品數(shù)服從超幾何分布，結合超幾何分布的期望公式，即可求解.【詳解】由題意，有件產品，其中有件次品，從中不放回地抽件產品，則抽到正品數(shù)服從超幾何分布，所以抽到的正品數(shù)的數(shù)學期望值是.故選：B.5．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習）設隨機變量，且．若8名黨員中有名男黨員，從這8人中選4名代表，記選出的代表中男黨員人數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結合二項分布的期望和方差可得，再利用超幾何分布的概率公式運算求解.【詳解】因為，則，解得或，又因為，則，可得，則．所以，故選：．6．（2023下·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學校聯(lián)考期末）某學校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學期望（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可求得的值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，且，，，因此，.故選：B.7．（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書，用隨機變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，則概率為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設易知服從超幾何分布，根據(jù)目標式對應概率的含義即可得答案.【詳解】由題意，隨機變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，且服從超幾何分布，所以．故選：A8．（2023下·山東青島·高二?？计谥校难b有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球.若每取出個紅球得分，每取出個白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個球，所得分數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)取出小球的所有情況寫出得分的所有可能，根據(jù)超幾何公式求得各個取值對應的概率，進而得到其分布列，求出期望.【詳解】解：設得分為，根據(jù)題意可以取，，.則，，，則分布列為：432所以得分期望為.故選：.二、多選題9．（2023下·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設取的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結論正確的是（）A． B．C．隨機變量服從超幾何分布 D．隨機變量服從二項分布【答案】BC【分析】根據(jù)超幾何分布的定義以及概率公式，可得答案.【詳解】由題意知隨機變量服從超幾何分布；的取值分別為0，1，2，3，4，則，，，，，故選：BC．10．（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）下列說法正確的有（

）A．某學校有2023名學生，其中男生1012人，女生1011人，現(xiàn)選派10名學生參加學校組織的活動，記男生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布B．若隨機變量X的數(shù)學期望，則C．若隨機變量X的方差，則D．隨機變量則【答案】AC【分析】A選項由超幾何分布的定義可判斷；B選項，利用公式可得；C選項，利用公式可得；D選項，利用二項分布和組合數(shù)的對稱性可得.【詳解】A選項：根據(jù)超幾何分布的定義，可知A正確；B選項：，故B錯誤；C選項：，故C正確；D選項：因所以，根據(jù)組合數(shù)的對稱性可知，，故D錯誤.故選：AC三、填空題11．（2023·全國·高三對口高考）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品．若廠家發(fā)給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收．則該商家拒收這批產品的概率是．【答案】【分析】利用古典概型與對立事件的概率公式，結合超幾何分布即可得解.【詳解】依題意，這20件產品中有件合格品，所以該商家接收這批產品的概率為，故商家拒收這批產品的概率為.故答案為：.12．（2023下·上海浦東新·高三上海市建平中學?？茧A段練習）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內容最豐富的佛教藝術勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游．已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟、莫高窟三層樓16號窟、藏經洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是．【答案】/0.5【分析】隨機選擇4個進行參觀，至少包含2個最值得參觀洞窟包括2個或3個兩種情況,根據(jù)組合知識求得基本事件的個數(shù)后可得概率【詳解】已知8個開放洞窟中有3個最值得參觀，隨機選擇4個進行參觀，至少包含2個最值得參觀洞窟包括2個或3個兩種情況.所求概率為.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動．袋中裝有18個除顏色外其余均相同的小球，其中8個是紅球，10個是白球．抽獎者從中一次抽出3個小球，抽到3個紅球得一等獎，抽到2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到0個紅球不得獎．求得一等獎、二等獎和三等獎的概率．【答案】得一等獎的概率約為0.0686，得二等獎的概率約為0.3431，得三等獎的概率約為0.4412．【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.【詳解】解：從18個小球中抽取3個時，有種等可能的結果，用X表示抽到的紅球數(shù)，則，則P（得一等獎）．P（得二等獎）．P（得三等獎）．因此，得一等獎的概率約為0.0686，得二等獎的概率約為0.3431，得三等獎的概率約為0.4412．14．（2023下·高二課時練習）甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道試題，乙能答對其中的8道試題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，答對一題得5分，答錯一題得0分．求：(1)甲答對試題數(shù)的概率分布；(2)乙所得分數(shù)的概率分布．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）依題意可得可能取的值為，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列；（2）依題意可得可能取的值為，，，求出所對應的概率，即可得到分布列.【詳解】（1）由題意，甲能答對10道試題中的6題，且為甲答對隨機抽出的3題的試題數(shù)，則隨機變量可能取的值為，，，．所以，，，，隨機變量的分布列為0123（2）由題意隨機變量可能取的值為，，，所以，，，的分布列為：510