人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第13講7.4.1二項(xiàng)分布(學(xué)生版+解析)

第06講7.4.1二項(xiàng)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解相互獨(dú)立事件的概念，理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，理解二項(xiàng)分布的概率模型。②理解相互獨(dú)立事件的概率模型.伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)。③掌握二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，會(huì)求二項(xiàng)分布列，期望與方差。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求二項(xiàng)分布列及應(yīng)用分布列公式的特點(diǎn)求解相關(guān)量及參數(shù)，會(huì)求二項(xiàng)分布列的期望與方差知識點(diǎn)1：重伯努利試驗(yàn)(次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))（1）重伯努利試驗(yàn)的定義①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).（2）重伯努利試驗(yàn)的特征①每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，結(jié)果互不影響；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，這兩種結(jié)果是對立的（3）重伯努利試驗(yàn)的概率公式一般地，如果在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是,事件在次試驗(yàn)中發(fā)生次，共有種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知，每種情形下，在次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為().知識點(diǎn)2：二項(xiàng)分布（1）二項(xiàng)分布一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是．；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是．，，，．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為（2）明確二項(xiàng)分布中的各量表示的意義：伯努利試驗(yàn)的次數(shù)：事件發(fā)生的次數(shù)：每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率分布列：，結(jié)論：隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布記法：記作,并稱為成功概率（3）二項(xiàng)分布的均值與方差若隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布，即,則,.【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，求的值.【答案】【詳解】由二項(xiàng)分布的期望、方差公式可得：.題型01重伯努利試驗(yàn)的判斷【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的打?qū)戝e(cuò)誤）（1）有放回地抽樣試驗(yàn)是重伯努利試驗(yàn)．()（2）在重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響．()（3）在重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同．()（4）如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率.()【典例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【典例3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）以下真命題共有個(gè)．①在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響；②在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率可以不同；③如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率．【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（1）在伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．()（2）n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．()（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于．()【變式2】（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列試驗(yàn)不是重伯努利試驗(yàn)的是（

）．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了次C．口袋中裝有個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)黑球，依次從中抽取個(gè)球D．小明做道難度不同的數(shù)學(xué)單選題【變式3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)：(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球．題型02重伯努利試驗(yàn)的概率問題【典例1】（2023下·福建南平·高二統(tǒng)考期末）在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)次成功時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，用隨機(jī)變量表示試驗(yàn)次數(shù)，則稱服從以，為參數(shù)的帕斯卡分布，記為.已知，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022上·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┠硁重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則．【典例3】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）將3個(gè)不同的小球隨機(jī)投入編號分別為1，2，3，4的4個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)不限），則1號盒子中有2個(gè)小球的概率為，2號盒子中小球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【變式1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若某一試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則在重伯努利試驗(yàn)中，發(fā)生次的概率為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為．【變式3】（2023下·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在3重伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少出現(xiàn)1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為．題型03二項(xiàng)分布及其應(yīng)用【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀榱隧憫?yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，某校實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取3個(gè)人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列.【典例2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某電商車間生產(chǎn)了一批電子元件，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了電子元件，，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件的合格率都為，元件的合格率都為.

(1)質(zhì)檢員在某次檢測中，發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了，他認(rèn)為這三個(gè)電子元件都是合格的，求該質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的概率；(2)經(jīng)反復(fù)測驗(yàn)，質(zhì)檢員把一些電子元件，接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個(gè)數(shù)為，求的分布列.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備）．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備）的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費(fèi)用為0.8萬元；方案2：花費(fèi)0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”．請從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．【變式1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則A． B． C． D．【變式2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學(xué)生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15(1)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；(2)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.【變式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.(1)在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；(2)若獨(dú)立進(jìn)行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.題型04二項(xiàng)分布的均值與方差【典例1】（2024上·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請通過頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)以樣本頻率估計(jì)概率，若競賽成績不低于分，則被認(rèn)定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期末）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動(dòng)，競賽結(jié)束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．成績區(qū)間頻數(shù)假設(shè)用樣本頻率估計(jì)總體概率，且每個(gè)學(xué)生的競賽成績相互獨(dú)立．(1)為了激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對競賽成績優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)該市決定從全市成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式1】（2024上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某大型企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為10個(gè)等級，為了解這批產(chǎn)品的等級分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了1000件進(jìn)行檢測、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對產(chǎn)品進(jìn)行評分：檢測到1級到3級的評為優(yōu)秀，檢測到4級到6級的評為良好，檢測到7級到9級的評為合格，檢測到10級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計(jì)表：等級12345678910頻數(shù)10901001501502001001005050(1)從這1000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，請估計(jì)這件產(chǎn)品評分為良好或優(yōu)秀的概率；(2)從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品，設(shè)這一件產(chǎn)品中評分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，求的分布列、期望.【變式2】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）某自行車廠為了解決復(fù)合材料制成的自行車車架應(yīng)力不斷變化問題，在不同條件下研究結(jié)構(gòu)纖維按不同方向及角度黏合強(qiáng)度，在兩條生產(chǎn)線上同時(shí)進(jìn)行工藝比較實(shí)驗(yàn)，為了比較某項(xiàng)指標(biāo)的對比情況，隨機(jī)地抽取了部分甲生產(chǎn)線上產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的值，并計(jì)算得到其平均數(shù)，中位數(shù)，隨機(jī)地抽得乙生產(chǎn)線上100件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的值，并繪制成如下的頻率分布直方圖．(1)求乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值的平均數(shù)與中位數(shù)（每組值用中間值代替，結(jié)果精確到0.01），并判斷乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值是否更好（如果，則認(rèn)為乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值更好，否則不認(rèn)為更好）．(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從乙生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，抽出指標(biāo)值不小于70的產(chǎn)品個(gè)數(shù)用表示，求的數(shù)學(xué)期望與方差．【變式3】6（2024·全國·高二假期作業(yè)）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，再從這件中隨機(jī)抽取件，求至少有一件的指標(biāo)值在的概率；(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.題型05服從二項(xiàng)分布的概率最值問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若對，都有，則的取值范圍是．【典例2】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機(jī)抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯(cuò)或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章一枚；④結(jié)束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應(yīng)的禮品．據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會(huì)做的，有3道題是大家都不會(huì)做的．(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨(dú)立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大？【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨(dú)立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大？【變式1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%.(1)求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.【變式2】（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量（）；③記隨機(jī)變量，利用的期望和方差進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．(1)已知，，證明：，；(2)該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為（），并計(jì)算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．（?。┱堄煤头謩e代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在、、三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用表示這8名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，請直接寫出的值.（不需要說明理由）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A．2 B．3 C．6 D．74．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．5．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）一個(gè)不透明的袋子有10個(gè)除顏色不同外，大小?質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.現(xiàn)進(jìn)行如下兩個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)一：逐個(gè)不放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為；試驗(yàn)二：逐個(gè)有放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·全國·高二假期作業(yè)）兩組各有3人獨(dú)立的破譯某密碼，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為，若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．7．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知，且，，則下列說法不正確的有（

）A．， B．C． D．中是最大值8．（2024·全國·高二假期作業(yè)）經(jīng)檢測一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．C．的概率最大 D．服從超幾何分布二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列說法正確的是（

）A．從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是；B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則；C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.三、填空題11．（2023下·廣東肇慶·高二?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量，，若，則，.12．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入號格子的概率最大.圖片僅供參考四、解答題13．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中隨機(jī)選取了40個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，下圖是這40個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于610萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)，并估計(jì)產(chǎn)值的中位數(shù)；(2)視頻率為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取5個(gè)城市，求恰有2個(gè)城市的產(chǎn)值超過600萬元的概率.14．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬元．項(xiàng)目沒有成功，則沒有獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì)，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)．(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大?。?2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大？B能力提升一、單選題1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A．2 B．3 C．6 D．74．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．5．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）一個(gè)不透明的袋子有10個(gè)除顏色不同外，大小?質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.現(xiàn)進(jìn)行如下兩個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)一：逐個(gè)不放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為；試驗(yàn)二：逐個(gè)有放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·全國·高二假期作業(yè)）兩組各有3人獨(dú)立的破譯某密碼，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為，若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．7．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知，且，，則下列說法不正確的有（

）A．， B．C． D．中是最大值8．（2024·全國·高二假期作業(yè)）經(jīng)檢測一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．C．的概率最大 D．服從超幾何分布二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列說法正確的是（

）A．從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是；B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則；C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.三、填空題11．（2023下·廣東肇慶·高二校考期末）設(shè)隨機(jī)變量，，若，則，.12．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入號格子的概率最大.圖片僅供參考四、解答題13．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中隨機(jī)選取了40個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，下圖是這40個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于610萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)，并估計(jì)產(chǎn)值的中位數(shù)；(2)視頻率為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取5個(gè)城市，求恰有2個(gè)城市的產(chǎn)值超過600萬元的概率.14．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬元．項(xiàng)目沒有成功，則沒有獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì)，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)．(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大?。?2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大？第06講7.4.1二項(xiàng)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解相互獨(dú)立事件的概念，理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，理解二項(xiàng)分布的概率模型。②理解相互獨(dú)立事件的概率模型.伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)。③掌握二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，會(huì)求二項(xiàng)分布列，期望與方差。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求二項(xiàng)分布列及應(yīng)用分布列公式的特點(diǎn)求解相關(guān)量及參數(shù)，會(huì)求二項(xiàng)分布列的期望與方差知識點(diǎn)1：重伯努利試驗(yàn)(次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))（1）重伯努利試驗(yàn)的定義①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).（2）重伯努利試驗(yàn)的特征①每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，結(jié)果互不影響；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，這兩種結(jié)果是對立的（3）重伯努利試驗(yàn)的概率公式一般地，如果在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是,事件在次試驗(yàn)中發(fā)生次，共有種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知，每種情形下，在次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為().知識點(diǎn)2：二項(xiàng)分布（1）二項(xiàng)分布一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是．；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是．，，，．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為（2）明確二項(xiàng)分布中的各量表示的意義：伯努利試驗(yàn)的次數(shù)：事件發(fā)生的次數(shù)：每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率分布列：，結(jié)論：隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布記法：記作,并稱為成功概率（3）二項(xiàng)分布的均值與方差若隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布，即,則,.【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，求的值.【答案】【詳解】由二項(xiàng)分布的期望、方差公式可得：.題型01重伯努利試驗(yàn)的判斷【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的打?qū)戝e(cuò)誤）（1）有放回地抽樣試驗(yàn)是重伯努利試驗(yàn)．()（2）在重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響．()（3）在重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同．()（4）如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率.()【答案】正確正確錯(cuò)誤正確【詳解】（1）中，在有放回地抽樣試驗(yàn)中，其中每次抽取之間是相互獨(dú)立的，所以是重伯努利試驗(yàn)，所以（1）正確；（2）中，在重伯努利試驗(yàn)中，每次的試驗(yàn)結(jié)果之間世相互獨(dú)立的，所以各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響，所以（2）正確；（3）中，在重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是相同的，所以（3）錯(cuò)誤；（4）如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，可得在重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率，所以（4）正確.故答案為：（1）正確；（2）正確；（3）錯(cuò)誤；（4）正確.【典例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【詳解】解：只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn)，故重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；故選：C【典例3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）以下真命題共有個(gè)．①在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響；②在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率可以不同；③如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率．【答案】2【詳解】①，n重伯努利試驗(yàn)是相互獨(dú)立試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響，①是真命題.②，n重伯努利試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相同，②是假命題.③，結(jié)合二項(xiàng)分布的知識可知，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率為，所以③是真命題.綜上所述，真命題共有個(gè).故答案為：【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（1）在伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．()（2）n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．()（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于．()【答案】正確正確錯(cuò)誤【詳解】（1）在伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．故正確；（2）n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．故正確；（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于．故錯(cuò)誤.【變式2】（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列試驗(yàn)不是重伯努利試驗(yàn)的是（

）．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了次C．口袋中裝有個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)黑球，依次從中抽取個(gè)球D．小明做道難度不同的數(shù)學(xué)單選題【答案】ACD【詳解】A．由于試驗(yàn)的條件不同（硬幣質(zhì)地不同），因此不是重伯努利試驗(yàn)．B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，因此是重伯努利試驗(yàn)．C．每次抽取，每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是重伯努利試驗(yàn)．D．道題難度不同，每道題做對的概率也不同，因此不是重伯努利試驗(yàn)．故選：ACD．【變式3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)：(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球．【答案】(1)不是n重伯努利試驗(yàn)(2)是n重伯努利試驗(yàn)(3)不是n重伯努利試驗(yàn)【詳解】（1）由題意，∵試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，∴不是n重伯努利試驗(yàn)（2）由題意，∵某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，∴是n重伯努利試驗(yàn)．（3）由題意，∵每次抽取，試驗(yàn)的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，∴不是n重伯努利試驗(yàn)．題型02重伯努利試驗(yàn)的概率問題【典例1】（2023下·福建南平·高二統(tǒng)考期末）在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)次成功時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，用隨機(jī)變量表示試驗(yàn)次數(shù)，則稱服從以，為參數(shù)的帕斯卡分布，記為.已知，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，解得，即的最大值?故選：C【典例2】（2022上·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┠硁重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則．【答案】/0.2【詳解】依題意得X服從二項(xiàng)分布，則，解得，故答案為：．【典例3】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）將3個(gè)不同的小球隨機(jī)投入編號分別為1，2，3，4的4個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)不限），則1號盒子中有2個(gè)小球的概率為，2號盒子中小球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【答案】/【詳解】由于每個(gè)小球投入每個(gè)盒子是可能的，故每個(gè)小球放入1號盒子的概率為，不放入1號盒子的概率為，故1號盒子中有2個(gè)小球個(gè)概率，同理，每個(gè)小球放入2號盒子的概率為，不放入2號盒子的概率為，將3個(gè)小球投放到4個(gè)盒子中，則2號盒子中小球的個(gè)數(shù)，故.故答案為：；.【變式1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若某一試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則在重伯努利試驗(yàn)中，發(fā)生次的概率為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由于，則，所以在重伯努利試驗(yàn)中，事件發(fā)生次的概率為．故選：D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為．【答案】【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)成功試驗(yàn)的概率，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，所以重復(fù)做這樣的試驗(yàn)4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為，故答案為：．【變式3】（2023下·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在3重伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少出現(xiàn)1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為．【答案】【詳解】記“A至少發(fā)生1次”為事件，則表示其對立事件“A發(fā)生0次”，事件A的發(fā)生符合二項(xiàng)分布，設(shè)事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，，所以，所以，解得，

故答案為：．題型03二項(xiàng)分布及其應(yīng)用【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中校考期末）為了響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，某校實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取3個(gè)人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列.【答案】(1)頻率為；中位數(shù)為(2)分布列見解析【詳解】（1）由直方圖可知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為,所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，因?yàn)閿?shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為.（2）由（1）知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，由題意可知，，的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123【典例2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某電商車間生產(chǎn)了一批電子元件，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了電子元件，，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件的合格率都為，元件的合格率都為.

(1)質(zhì)檢員在某次檢測中，發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了，他認(rèn)為這三個(gè)電子元件都是合格的，求該質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的概率；(2)經(jīng)反復(fù)測驗(yàn)，質(zhì)檢員把一些電子元件，接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個(gè)數(shù)為，求的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【詳解】（1）當(dāng)小燈泡亮的時(shí)候，后一個(gè)元件是合格的，前面的AB至少有一個(gè)是合格的，概率，小燈泡亮了，并且質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的情況，對于前面的元件，分為兩大類：第一類：元件合格，元件不合格，故，第二類：元件合格，元件不合格，故，所以在發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了的前提下，該質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的概率為：.（2）在圖甲中，記小燈泡亮的概率為，則，所以服從二項(xiàng)分布：，則，，，.∴的分布列為：0123【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備）．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備）的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費(fèi)用為0.8萬元；方案2：花費(fèi)0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”．請從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．【答案】(1)0.8(2)答案見解析(3)決策部門應(yīng)選擇方案2，理由見解析【詳解】（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為，則，解得，故的最小值為0.8．（2）設(shè)為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，，，，，，從而的分布列為：01230.0270.1890.4410.343（3）設(shè)方案1?方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：，故萬元．采用方案2，花費(fèi)0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：，故萬元．因此，從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2．【變式1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【變式2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學(xué)生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15(1)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；(2)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，24.【詳解】（1）記事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡乒乓球，則，，所以所求的概率.（2）由（1）知從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率，因此，所以的分布列為，期望為.【變式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.(1)在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；(2)若獨(dú)立進(jìn)行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.2(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6【詳解】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則.（2）由題可知的所有可能取值為，由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，則，所以，，故的分布列為01230.5120.3840.0960.008所以.題型04二項(xiàng)分布的均值與方差【典例1】（2024上·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請通過頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)以樣本頻率估計(jì)概率，若競賽成績不低于分，則被認(rèn)定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.（2）解：競賽成績不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以的分布列為期望.【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期末）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，優(yōu)質(zhì)率為25%(2)分布列見解析，1【詳解】（1）因?yàn)?，所以，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為；（2）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為，所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)，則，，所以，，，，，所以的分布列為01234P.【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動(dòng)，競賽結(jié)束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．成績區(qū)間頻數(shù)假設(shè)用樣本頻率估計(jì)總體概率，且每個(gè)學(xué)生的競賽成績相互獨(dú)立．(1)為了激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對競賽成績優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)該市決定從全市成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）解：由表格知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，成績在的頻率為，設(shè)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線為，則，所以，，解得．（2）解：從全市成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人參加省級黨史知識競賽，成績在的概率為，由題意知，，則的可能取值有、、、、，則，，，，，所以的分布列為故．【變式1】（2024上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某大型企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為10個(gè)等級，為了解這批產(chǎn)品的等級分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了1000件進(jìn)行檢測、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對產(chǎn)品進(jìn)行評分：檢測到1級到3級的評為優(yōu)秀，檢測到4級到6級的評為良好，檢測到7級到9級的評為合格，檢測到10級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計(jì)表：等級12345678910頻數(shù)10901001501502001001005050(1)從這1000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，請估計(jì)這件產(chǎn)品評分為良好或優(yōu)秀的概率；(2)從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品，設(shè)這一件產(chǎn)品中評分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，求的分布列、期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望.【詳解】（1）記事件A：產(chǎn)品的評分為優(yōu)秀，事件B：產(chǎn)品的評分為良好根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以用樣本來估計(jì)總體，由統(tǒng)計(jì)表得，，因?yàn)锳，B互斥，所以可以估計(jì)這件產(chǎn)品評分為良好或優(yōu)秀的概率為.（2）由（1）知，評分為優(yōu)秀的概率為，由題意得，的可能值為，則，，，，，.所以的分布列為X01234P.【變式2】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）某自行車廠為了解決復(fù)合材料制成的自行車車架應(yīng)力不斷變化問題，在不同條件下研究結(jié)構(gòu)纖維按不同方向及角度黏合強(qiáng)度，在兩條生產(chǎn)線上同時(shí)進(jìn)行工藝比較實(shí)驗(yàn)，為了比較某項(xiàng)指標(biāo)的對比情況，隨機(jī)地抽取了部分甲生產(chǎn)線上產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的值，并計(jì)算得到其平均數(shù)，中位數(shù)，隨機(jī)地抽得乙生產(chǎn)線上100件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的值，并繪制成如下的頻率分布直方圖．(1)求乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值的平均數(shù)與中位數(shù)（每組值用中間值代替，結(jié)果精確到0.01），并判斷乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值是否更好（如果，則認(rèn)為乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值更好，否則不認(rèn)為更好）．(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從乙生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，抽出指標(biāo)值不小于70的產(chǎn)品個(gè)數(shù)用表示，求的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】(1)，，乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值更好(2)【詳解】（1），因?yàn)?，所以中位?shù)在區(qū)間上，則，解得，即中位數(shù)，因?yàn)?，所以乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)值更好；（2）指標(biāo)值不小于70的概率為，由題意可得，所以.【變式3】6（2024·全國·高二假期作業(yè)）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，再從這件中隨機(jī)抽取件，求至少有一件的指標(biāo)值在的概率；(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，優(yōu)質(zhì)率為25%(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1）因?yàn)?，所以，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%.（2）因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)在和的頻率分別為0.4和0.3.所以質(zhì)量指標(biāo)在產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在有件，質(zhì)量指標(biāo)在有件.所以從這7件中任取2件，至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在的概率為.（3）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為.所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù).則，，所以，，，，，所以的分布列為01234P.題型05服從二項(xiàng)分布的概率最值問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若對，都有，則的取值范圍是．【答案】【詳解】由，得，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，而，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，則，所以的取值范圍是．故答案為：【典例2】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機(jī)抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯(cuò)或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章一枚；④結(jié)束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應(yīng)的禮品．據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會(huì)做的，有3道題是大家都不會(huì)做的．(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨(dú)立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大？【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大.【詳解】（1）由題知：可取2，4，6，8，則，，，，故的分布列為：2468則的期望.（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率為，則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，記獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的枚數(shù)為，則，故（），假設(shè)當(dāng)時(shí)，概率最大，則，解得，而.故某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大．解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率為，則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的枚數(shù)為，則，故（），所以Y的分布列為：012345從分布列中可以看出，概率最大為，所以參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大．【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨(dú)立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大？【答案】(1)分布列見解析，(2)3次或4次【詳解】（1）由題知：可取0，1，2，3，則:，，，，故的分布列為：0123則的期望為：.（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為，則.故所以的分布列為：012345故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為，則故∴假設(shè)當(dāng)時(shí)，對應(yīng)概率取值最大，則解得，而故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大.【變式1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%.(1)求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.【答案】(1)0.75(2)6【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件，“一次應(yīng)答被采納”為事件，由題意，，，則，.（2）依題意，，，當(dāng)最大時(shí)，有即解得：，，故當(dāng)最大時(shí)，.【變式2】（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量（）；③記隨機(jī)變量，利用的期望和方差進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．(1)已知，，證明：，；(2)該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為（），并計(jì)算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．（?。┱堄煤头謩e代替和，估算和；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．【答案】(1)證明見解析(2)（?。?，；（ⅱ）15【詳解】（1）由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項(xiàng)分布，則，，，，所以，.（2）（ⅰ）由（1）可知，則的均值，的方差，所以，解得或，由題意可知：，則，所以，；（ⅱ）由（ⅰ）可知：，則，則，由題意可知：，解得，且，則，所以的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值為15.【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在、、三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用表示這8名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，請直接寫出的值.（不需要說明理由）【答案】(1)(2)分布列見解析(3)【詳解】（1）由概率和為1得：，解得；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在、、三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則應(yīng)從閱讀時(shí)間在中抽取5人，從閱讀時(shí)間在中抽取4人，從閱讀時(shí)間在中抽取1人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望．（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在,內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在,內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.故選：C2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式來解.【詳解】設(shè)為射手在30次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則，故在30次射擊中，恰有18次擊中目標(biāo)的概率為.故選：B.3．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，故.故選：C.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式即可求解，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以．故選：C．5．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）一個(gè)不透明的袋子有10個(gè)除顏色不同外，大小?質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.現(xiàn)進(jìn)行如下兩個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)一：逐個(gè)不放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為；試驗(yàn)二：逐個(gè)有放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別計(jì)算從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個(gè)球、從中隨機(jī)地有放回摸出3個(gè)球的期望、方差，再做比較可得答案.【詳解】①從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為的可能取值是，則，故隨機(jī)變量的概率分布列為0123則數(shù)學(xué)期望為，方差為.②從中隨機(jī)地有放回摸出3個(gè)球，則每次摸到白球的概率為，則，故，，故.故選：D.6．（2024·全國·高二假期作業(yè)）兩組各有3人獨(dú)立的破譯某密碼，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為，若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意分析，均服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的均值和方差公式直接求得.【詳解】由題意可知：服從二項(xiàng)分布，所以.同理：服從二項(xiàng)分布，所以.因?yàn)?，所以，所?對于二次函數(shù)，對稱軸，所以在上函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，即.故選：C7．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知，且，，則下列說法不正確的有（

）A．， B．C． D．中是最大值【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式建立方程求解即可判斷AB；利用根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式即可計(jì)算判斷CD．【詳解】因?yàn)?，，所以，，由，所以，，所以，，故A正確；，B正確；又，故C正確；，令，故當(dāng)時(shí)，所以，而當(dāng)時(shí)，所以，因此是最大值，D錯(cuò)誤．故選：D．8．（2024·全國·高二假期作業(yè)）經(jīng)檢測一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．C．的概率最大 D．服從超幾何分布【答案】C【分析】的可能取值包括0可判斷A；可判斷B；隨機(jī)變量，，若取得最大值時(shí),則有，，求出的值可判斷C；服從二項(xiàng)分布可判斷D.【詳解】對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于D，由題意，隨機(jī)變量，故D不正確；對于C，隨機(jī)變量，，若取得最大值時(shí)，則:，則，解得，則．故的概率最大，所以C正確；故選：C.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行逐一求解判斷即可.【詳解】A，，故A正確；B，，故B錯(cuò)誤；C，，故C正確；D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列說法正確的是（

）A．從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是；B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則；C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.【答案】AD【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可判斷A，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可判斷C，根據(jù)條件概率的計(jì)算可判斷C，根據(jù)對立重復(fù)事件的概率可求D.【詳解】對于A，從中任取3球，恰有2個(gè)白球的概率是,故A正確，對于B,從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X服從二項(xiàng)分布，即，故B錯(cuò)誤，對于C,第一次取到紅球后，第二次取球時(shí)，袋子中還有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，再次取到紅球的概率為，故C錯(cuò)誤，對于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒有取到白球的概率為，所以取球3次沒有取到白球的概率為，.所以至少有一次取到白球的概率為，故D正確，故選：AD三、填空題11．（2023下·廣東肇慶·高二?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量，，若，則，.【答案】/【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式求解即可.【詳解】隨機(jī)變量，且，則，解得，所以，又，則，，所以.故答案為：；.12．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入號格子的概率最大.圖片僅供參考【答案】7【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，歸納出小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，然后由小球落入號格子的概率最大，列不等式組求解．【詳解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，小球掉入號格子，需要向左次，概率為，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，設(shè)小球落入號格子的概率最大，顯然，，則解得，又為整數(shù)，所以，所以小球落入號格子的概率最大．故答案為：．四、解答題13．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中隨機(jī)選取了40個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，下圖是這40個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于610萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)，并估計(jì)產(chǎn)值的中位數(shù)；(2)視頻率為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取5個(gè)城市，求恰有2個(gè)城市的產(chǎn)值超過600萬元的概率.【答案】(1)12個(gè)；615.(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖小矩形面積求產(chǎn)值小于610萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)，并估計(jì)產(chǎn)值的中位數(shù)；（2）由已知可得該分布滿足，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式直接計(jì)算概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知產(chǎn)值于610萬元的頻率為，所以產(chǎn)值小于610萬元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)為（個(gè)）；設(shè)產(chǎn)值的中位數(shù)為，，，，，所以產(chǎn)值的中位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知城市的產(chǎn)值超600萬元的概率為，設(shè)任取5個(gè)城市中城市的產(chǎn)值超過600萬元的城市的個(gè)數(shù)為，可知隨機(jī)變量滿足，所以.14．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某地政府為鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知?jiǎng)?chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金20萬元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎(jiǎng)金30萬元．項(xiàng)目沒有成功，則沒有獎(jiǎng)勵(lì)，每個(gè)項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會(huì)，兩個(gè)項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)．(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)為X(單位：萬元)，若的概率為.求的大?。?2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大？【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）間接求，因?yàn)椤啊钡膶α⑹录恰啊?，由已知條件的概率建立等式即可求得；（2）設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為，都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為，則這兩人選擇項(xiàng)目甲累計(jì)獲獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為，選擇項(xiàng)目乙累計(jì)獲獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為.又，服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布期望的計(jì)算公式以及期望的運(yùn)算性質(zhì)比較二者的大小即可.【詳解】（1）由已知可知，張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為，李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為，且兩人是否創(chuàng)業(yè)成功互不影響，記“這2人累計(jì)獲得的獎(jiǎng)金”的事件為A，則事件A的對立事件為“”，∵，∴，解得.（2）設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為，都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為，則這兩人選擇項(xiàng)目甲累計(jì)獲得的獎(jiǎng)金的均值為，選擇項(xiàng)目乙累計(jì)獲得的獎(jiǎng)金的均值為，由已知可得，,，∴∴若，即，解得；若，即，解得；若，即，解得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，他們都選擇項(xiàng)目甲進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值更大；當(dāng)時(shí)，他們選擇兩項(xiàng)目進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，累計(jì)得到的獎(jiǎng)金的均值相等．B能力提升一、單選題1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.故選：C2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式來解.【詳解】設(shè)為射手在30次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則，故在30次射擊中，恰有18次擊中目標(biāo)的概率為.故選：B.3．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，故.故選：C.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式即可求解，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?/p>