《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊 第2版》課件 9-6 多元函數(shù)的極值

第九章多元函數(shù)微分學(xué)第六節(jié)多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值二、多元函數(shù)的最值三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法四、小結(jié)

在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們中曾討論了極值問題。同樣，在很多管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和很多工程、科技等實(shí)際問題中，也常常需要對多元函數(shù)研究其極值問題。

我們采用與一元函數(shù)類似的方法，研究最簡單的多元函數(shù)—二元函數(shù)的極值問題，進(jìn)而解決實(shí)際問題中的最大值與最小值的問題。所得到的的結(jié)論，大部分可以推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中。一、多元函數(shù)的極值

設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上有定義，，并且存在x0的某一個(gè)小鄰域．如果f(x0)是f(x)在U(x0)內(nèi)的最大值（最小值），則稱x0是f(x)的一個(gè)極大值（極小值）；稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大（小）值點(diǎn)．復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的極值的定義1、多元函數(shù)極值的概念

定義1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).若存在P0的某一個(gè)鄰域，使得對于該鄰域

稱f(x0,y0)

為函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極大（?。┲?，而稱P0為

該函數(shù)的極大（?。┲迭c(diǎn)．

極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.1.極值點(diǎn)能在邊界上嗎？2.極值點(diǎn)唯一嗎？3.極大值一定比極小值大嗎？4.極值是整體概念還是局部概念？內(nèi)異于P0(x0,y0)的任意點(diǎn)都有例1函數(shù)在點(diǎn)(2,0)處取得極小值.因?yàn)閷c(diǎn)(2,0)的任一鄰域內(nèi)異于(2,0)的點(diǎn)，函數(shù)值恒為正；而在點(diǎn)(2,0)處，z=0,因此函數(shù)在點(diǎn)(2,0)取極小值.解：例2函數(shù)

在點(diǎn)(0,0)處取得極大值.

當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,y)

(0,0)時(shí),z

0.因此函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處極大值.解：例3函數(shù)

z

xy在點(diǎn)(0,0)處不取極值.

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處，

z=0，而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).解：2、極值存在的必要條件

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0

y0)

fy(x0

y0)都存在，且在點(diǎn)P0(x0,y0)處取得極值

則必有

fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

定理1(極值存在的必要條件)

證

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)P0(x0,y0)處取得極大值，z=f(x,y)在P0(x0,y0)點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，由定義，對P0(x0,y0)某鄰域內(nèi)的任何異于P0(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)，都有

特別地，在這個(gè)鄰域內(nèi)滿足x≠x0,y=y0的點(diǎn)(x,y0)處，也有這說明一元函數(shù)z=f(x,y0)在x=x0點(diǎn)處取得極大值.2、極值存在的必要條件

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0

y0)

fy(x0

y0)都存在，且在點(diǎn)P0(x0,y0)處取得極值

則必有

fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

定理1(極值存在的必要條件)

由z=f(x,y)在P0(x0,y0)點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，因此，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0點(diǎn)處可導(dǎo).證

由一元函數(shù)存在極值的必要條件，z=f(x,y0)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必為0，即類似地，可以證明駐點(diǎn)

滿足方程組的點(diǎn)(x0

y0)稱為函數(shù)z

f(x

y)

的駐點(diǎn)

極值點(diǎn)駐點(diǎn)定理1說明：偏導(dǎo)存在時(shí)比如，對函數(shù)z=xy，點(diǎn)(0,0)是駐點(diǎn),但函數(shù)在該點(diǎn)處不取極值.

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0

y0)

fy(x0

y0)都存在，且在點(diǎn)P0(x0,y0)處取得極值

則必有

fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

問題：怎樣判斷一個(gè)駐點(diǎn)是否是

極值點(diǎn)呢？定理2(極值存在的充分條件)

（1）在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；

（2）fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

令若函數(shù)z

f(x

y)滿足則函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處，當(dāng)

(1)AC

B2>0時(shí),取得極值

且當(dāng)A<0時(shí)有極大值

當(dāng)

A>0時(shí)有極小值

(2)AC

B2<0時(shí)，不取極值

(3)AC

B2

0時(shí)，可能有極值

也可能沒有極值，需

另作討論

根據(jù)以上定理，求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z

f(x

y)的極值時(shí)，有如下的步驟：（1）通過解方程組，求出函數(shù)的駐點(diǎn)；（2）計(jì)算在駐點(diǎn)處的三個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)的值，得

的值；（3）確定在每個(gè)駐點(diǎn)處的符號，依照定理2，判別在該點(diǎn)處是否取得極值，取極值時(shí)是極大值還是極小值.例4求函數(shù)的極值.解：顯然，該函數(shù)在全平面內(nèi)處處有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解方程組得駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處,有且函數(shù)在這點(diǎn)取極小值.在點(diǎn)處,有且函數(shù)在這點(diǎn)取極大值.在點(diǎn)處,有在點(diǎn)處,有函數(shù)在這點(diǎn)不取極值.函數(shù)在這點(diǎn)不取極值.

由前述可知，如果函數(shù)在所討論區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，極值只可能在駐點(diǎn)處取得.然而，如果函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點(diǎn)顯然不是駐點(diǎn)，函數(shù)在這些點(diǎn)處也可能取得極值.也就是說，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能為極值點(diǎn).如例2中的圓錐面在點(diǎn)(0,0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)

不存在，但是在點(diǎn)(0,0)處取得極大值.因此，在討論函數(shù)的極值問題時(shí)，駐點(diǎn)和使得一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)考慮.二、多元函數(shù)的最值

我們知道，如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在區(qū)域D上必定能取得最大值和最小值.使函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)既可能在區(qū)域D的內(nèi)部，也可能在區(qū)域D的邊界上.求函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

例5

求函數(shù)在圓域：上的最大值和最小值.解：令在區(qū)域D的邊界上，函數(shù)的值恒為1，比較區(qū)域內(nèi)部的駐點(diǎn)和邊界點(diǎn)上的函數(shù)值，可知，函數(shù)在區(qū)域D的內(nèi)部,得駐點(diǎn)(1,1),且在駐點(diǎn)(1,1)處取得最大值，在邊界上所有的點(diǎn)處取最小值1.例6

某工廠要用鐵板做一個(gè)容積為V的長方體有蓋水箱，

問如何設(shè)計(jì)最省材料？解：設(shè)水箱的長、寬和高分別為x,y,z,則水箱所用材料的表面

積為且由于，于是有顯然，S為x和y的二元函數(shù)，分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，令解方程得根據(jù)題意可知，水箱表面積的最小值一定存在，必在目標(biāo)函數(shù)的定義域內(nèi)取得。而函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一駐點(diǎn).因此，最小值一定在唯一駐點(diǎn)處取得。即當(dāng)長、寬何高均為時(shí)，水箱所用材料最省.例7某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場銷售，售價(jià)分別為需求函數(shù)為銷售量分別為總成本函數(shù)為問廠家如何確定兩個(gè)市場的售價(jià)，能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？解：由題意，總利潤函數(shù)為令解得又由于可知所以利潤函數(shù)在處取得極大值.又因駐點(diǎn)唯一，因而可以說明，當(dāng)兩個(gè)市場的售價(jià)分別為80和30時(shí)，總利潤最大,最大利潤為三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

我們把自變量滿足一定限制條件的求極值問題稱為條件極值問題。在條件極值問題中，把自變量所要滿足的附加條件稱為約束條件，把要求極值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)。如例2，實(shí)際上是求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值問題.例2中，由條件將z表示為代入表面積表達(dá)式中，即化為了無條件極值問題.

這種方法是通過顯化約束條件中的某一個(gè)自變量，再代入目標(biāo)函數(shù)中消去此自變量，從而把三元函數(shù)的條件極值問題化為求二元函數(shù)的無條件極值問題。條件極值無條件極值

在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不簡單.下面介紹拉格朗日乘數(shù)法.

尋求二元函數(shù)z

f(x,y)在滿足約束條件

下在(x0,y0)取得極值的必要條件.

假設(shè)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在定理，方程確定一個(gè)隱函數(shù)，則有將代入z

f(x,y)中，有二元函數(shù)條件極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)無條件極值問題，由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件，有將代入上式，得若設(shè)則上述必要條件就變?yōu)楹瘮?shù)z

f(x,y)在約束條件下在取得極值的必要條件！為了便于記憶，引入輔助函數(shù)：則上式可寫為：拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘子拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在約束條件下可能的極值點(diǎn).1.作拉格朗日函數(shù)2.求拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)，為此，解方程組：3.方程組解出駐點(diǎn)點(diǎn)(x,y)就是函數(shù)在約束下可能的極值點(diǎn).條件例8

某工廠要用鐵板做一個(gè)容積為V的長方體有蓋水箱，

問如何設(shè)計(jì)最省材料？(利用拉格朗日乘數(shù)法解答)解：設(shè)水箱的長、寬和高分別為x,y,z,則水箱所用材料的表面

積為且構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為令解方程得

根據(jù)題意可知，水箱表面積的最小值一定存在，則必在目標(biāo)函數(shù)唯一可能的極值點(diǎn)處取得.因此，當(dāng)長、寬何高均為時(shí)，水箱所用材料最省.

要求四元函數(shù)函數(shù)

在約束條件在約束條件不止一個(gè)時(shí)，拉格朗日乘數(shù)法也是適用的.下的極值.作拉格朗日函數(shù)令求解方程組，即可得到函數(shù)在約束條件下可能的極值點(diǎn).兩個(gè)約束條件，對應(yīng)兩個(gè)拉格朗日乘子.例9某商家通過電臺(tái)及網(wǎng)絡(luò)推廣兩種媒體做某商品廣告．根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R(百萬)與電臺(tái)廣告費(fèi)用x(百萬)和網(wǎng)絡(luò)推廣廣告費(fèi)用y(百萬)有如下關(guān)系（1）在不限定廣告費(fèi)用的情況下，求最優(yōu)廣告策略；（2）若限定廣告費(fèi)用為1.5（百萬）時(shí)，求最優(yōu)廣告策略．解：由題意，最優(yōu)廣告策略即為使利潤最大化。（1）利潤函數(shù)為令得駐點(diǎn)

由實(shí)際問題，利潤函數(shù)的最大值一定存在，必在唯一的駐點(diǎn)

處取得。所以在不限定廣告費(fèi)用時(shí)，當(dāng)電臺(tái)廣告費(fèi)用為0.75萬元，網(wǎng)絡(luò)推廣廣告費(fèi)用為1.25萬元時(shí)，廣告策略最優(yōu)．例9某商家通過電臺(tái)及網(wǎng)絡(luò)推廣兩種媒體做某商品廣告．根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R(百萬)與電臺(tái)廣告費(fèi)用x(百萬)和網(wǎng)絡(luò)推廣廣告費(fèi)用y(百萬)有如下關(guān)系（1）在不限定廣告費(fèi)用的情況下，求最優(yōu)廣告策略；（2）若限定廣告費(fèi)用為1.5（百萬）時(shí)，求最優(yōu)廣告策略．解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)得令

由實(shí)際問題，利潤函數(shù)的最大值一定存在，必在唯一可能的極值點(diǎn)

處取得