高二數(shù)學人教版選擇性必修第一冊《數(shù)列》綜合測試卷（A ）

《2022-2023學年高二數(shù)學人教A版2019選擇性必修第一冊同步單元測試AB卷（新高考）》

專題4.11《數(shù)列》綜合測試卷（A）

第I卷選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（2022?貴州?黔西南州義龍藍天學校高三階段練習（文））已知數(shù)列｛4｝的通項公式%=（-1）向+1,貝U

+〃3=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（2022?四川省成都市新都一中高三階段練習（理））若a,b,c為實數(shù),數(shù)列-1,冬瓦。,-25是等比數(shù)列,

則b的值為（）

A.5B.-5C.±5D.-13

3.（2021.江蘇省灌南高級中學高二期中）在等差數(shù)列｛助｝中，。2、是方程V-3*-4=0的兩根，則。3的

值為（）

3

A.2B.3C.±2D.-

2

4.（2022?福建省華安縣第一中學高二階段練習）設等比數(shù)列｛%｝中，4+%+/=2,4+%+4=4,則

aw+an+al2=（）

A.16B.32C.12D.18

5.（2022?浙江?高三階段練習）北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)隙積術，是研究某種物品按一定規(guī)律

堆積起來求其總數(shù)問題.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術的成果，

對高階等差數(shù)列求和問題提出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)

之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2,3,5,8,12,17,23…則該數(shù)列的第41項為（）

A.782B.822C.780D.820

6.（2022?陜西省洛南中學高二階段練習（理））S“為等差數(shù)列包｝的前"項和，如果%=120,那么為+%

的值為（）

A.12B.24C.36D.48

7.（2020?天津外國語大學附屬外國語學校高三階段練習）已知｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，S“是｛4｝的前

九項和，且9s3=8$6,則$5=

C.31或5D.—或5

16

8.（2022.全國?高三專題練習）已知等差數(shù)列｛4｝的前w項和為S,,若4=2,且§3=幾，則％=（）

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.

9.（2022?遼寧?沈陽市第八十三中學高二開學考試）在等比數(shù)列｛加｝中，已知勾=3,“3=27,則數(shù)列的通項

公式是（）

A.an=3n,wGN+B.an=3n^,〃GN+C.an=(—l)n^,3n,“GN+D.an=2n^1,wGN+

10.（2022?福建省同安第一中學高二階段練習）（多選）我國古代數(shù)學專著《九章算術》中有這樣一個問題；

今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之,

問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我

的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，他們

各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人應分別償還a升、b升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是

（）

A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列B.a,b,c依次成公比為的等比數(shù)列

c100c50

C.a=D.c=—

77

11.（2022.湖北武漢?高二階段練習）設等差數(shù)列｛%｝的前n項和是Sn，若.a,”<?1<-am+1（加eN*,且相22）,

則必定有（）

A.5?,>0B.SjOC.5m+1>0D.5m+1<0

12.（2022?江蘇?海安縣實驗中學高二期中）若｛4｝為等比數(shù)列，則下列數(shù)列中是等比數(shù)列的是（）

A.｛才｝B.｛k-an｝（其中左eR且左20）

C.1—[D.｛lna“｝

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?北京市廣渠門中學高三階段練習）在等比數(shù)列｛%｝中，的=4,%=16,則%=.

14.（2022?全國?高二課時練習）在等比數(shù)列｛%｝中，若4=2,公比q=3,前w項和為S,,則滿足5“>100

的最小值〃=.

15.（2023?全國?高三專題練習）設等差數(shù)列｛劭｝的前“項和為S”，若的=10，&=36,則公差d為一.

16.（2018?全國?高二課時練習）⑶｝是公差不為零的等差數(shù)列，且a7,aw，即5是等比數(shù)列出冒的連續(xù)三項,

若bi=3,則bn=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2022?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛%｝的前"項和是S“，且2S“=/+〃，求｛%｝的通項公式.

18.（2023?全國?高三專題練習）數(shù)列｛4,｝滿足：4=5,2%=。,+“+2.記用=%-力，求證：數(shù)列也｝為

等比數(shù)列；

19.（2022?全國?高二課時練習）一個無窮等比數(shù)列的公比q滿足@<1,它的各項和等于6,這個數(shù)列的各

項平方和等于18,求這個數(shù)列的首項的與公比

20.（2022.黑龍江.鶴崗一中高二期末）記等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“,%=5,8=9.

（1）求數(shù)列｛見｝的通項公式；

（2）記0=3%,求數(shù)列色｝的前n項和T?.

21.（2022?北京市第十一中學實驗學校高三階段練習）已知數(shù)列｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，且%是%與%T

的等差中項.

（1）求｛%｝的通項公式及前n項和Sn.

（2）設2=^----------.-----------,求數(shù)列也｝的前〃項和小

10§2?！?1，lO§2an+2

22.（2022?河南宋基信陽實驗中學高二階段練習（理））已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，也｝的前"

項和S”=3?2"—3,%=",%+〃i6=仇.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

（2）記g=與二，求數(shù)列｛g｝的前"項和T?.

《2022-2023學年高二數(shù)學人教A版2019選擇性必修第一冊同步單元測試AB卷（新高考）》

專題4.11《數(shù)列》綜合測試卷（A）

第I卷選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.（2022?貴州?黔西南州義龍藍天學校高三階段練習（文））已知數(shù)列｛4｝的通項公式

—

Cln=（1）+1,則。2+=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】通過賦值求得出,。3,即可求得結(jié)果.

【詳解】因為1）+1，故可得出=°，“3=2,貝!]。2+。3=2.

故選：D.

2.（2022?四川省成都市新都一中高三階段練習（理））若a,b,c為實數(shù)，數(shù)列-1,。力,。,-25

是等比數(shù)列，則6的值為（）

A.5B.-5C.±5D.-13

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得b的值.

【詳解】設等比數(shù)列的公比為4,

所以人=（一1）以2<0,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知廿=（-1）x（-25）=25,解得人=-5.

故選：B

3.（2021?江蘇省灌南高級中學高二期中）在等差數(shù)列｛即｝中，④、必是方程9一3》-4=0的

兩根，則田的值為（）

A.2B.3C.±2D.-

2

【答案】D

【分析】根據(jù)韋達定理可得出+%=3,再利用等差中項運算求解.

【詳解】由題意可得：出+%=3

V｛an｝為等差數(shù)列，貝!]%+&=2a3=3

.a4

故選：D.

4.(2022.福建省華安縣第一中學高二階段練習)設等比數(shù)列｛4｝中，％+%+%=2,

aA+a5+a6=4f貝|+%i+%2=(

A.16D.18

【答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，代入計算即可.

933

則al0+alt+al2=(q+a2+a3)q=2x(^)=16

故選：A.

5.(2022?浙江?高三階段練習)北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)隙積術，是研究某種

物品按一定規(guī)律堆積起來求其總數(shù)問題.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變

本末》中，發(fā)展了隙積術的成果，對高階等差數(shù)列求和問題提出了一些新的垛積公式.高階

等差數(shù)列的前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差

數(shù)列：2,3,5,8,12,17,23…則該數(shù)列的第41項為()

A.782B.822C.780D.820

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和累加法求通項可求解.

【詳解】設該數(shù)列為｛%｝,

由題可知，數(shù)列曾用-4｝是以外-4=1為首項,1為公差的等差數(shù)列，

所以4=l+(wT)xl="，

所以(%—?!)+(/—%)+…+(%+1一q)=a“+i=1+2+…+〃，

所以“a=~~~~+2=822,

故選:B.

6.(2022?陜西省洛南中學高二階段練習(理))S“為等差數(shù)列｛a,｝的前n項和，如果兀=120,

那么為+%的值為()

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差中項的性質(zhì)直接可得解.

(?1+a)-10(a+4?)-10

【詳解】由已知得兒=1047=5(%+%)=120，

解得2+%=24,

故選：B.

7.（2020?天津外國語大學附屬外國語學校高三階段練習）已知｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，

S“是｛凡｝的前"項和，且9s3=8S6,貝1]邑=（）

A.31B.—C.31或5D,衛(wèi)或5

1616

【答案】B

【分析】數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，通過等比數(shù)列的前"項和公式化簡9s3=8$6,從而得到公比

4的值，從而求出$5的值.

【詳解】因為｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，S“是｛%｝的前幾項和，且9S3=8$6

當"1時，9x智二理=8、駕二?,計算得4=1

\-q1-q2

2

當4=1時，S3=3,Ss=6,所以9S3W8s6

31

綜上：$5暇

16

故選：B

8.（2022?全國?高三專題練習）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若4=2,且$3=幾，

貝4邑1=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】方法,：：S3=S]9S"—S3=4+%+…+^19=8（4+09）=。

%+%9=0

5*2=%+/+/+（。4+。5+，）+“20+”21

=q+a?+/+%0+"21=q+2（4+=2,

方法二：由于S〃=A/+即是二次函數(shù)f（x）=A%2+取,當工=〃時的函數(shù)值根據(jù)

二次函數(shù)的對稱性，由邑=工9可知，S”的關于〃=11對稱，因此51=￡=%=2,

故選:B

二'多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得

0分.

9.（2022?遼寧?沈陽市第八十三中學高二開學考試）在等比數(shù)列｛即｝中，已知田=3,田=27,

則數(shù)列的通項公式是（）

A.an—in,"GN+B.an=3n^1,〃GN+C.an=（—1）H-73W,〃GN+D.an=2n^1,n

￡N+

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知條件求得數(shù)列｛%｝的公比4,進而求得?！保瑥亩_定正確選項.

【詳解】設等比數(shù)列｛"“｝的公比為q,則。3=。4=3'/=27,/=9,4=±3,

當4=3時，%=3><31=3".當4=一3時，%=3x（—3）^=（-1）^3.

故選：AC

10.（2022?福建省同安第一中學高二階段練習）（多選）我國古代數(shù)學專著《九章算術》中

有這樣一個問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主

曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人

的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人

說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、

馬、羊的主人應分別償還。升、6升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（）

A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列B.〃，c依次成公比為3的等比數(shù)列

c100-50

C.a=----D.c=—

77

【答案】BD

【分析】根據(jù)已知條件判斷反c的關系，結(jié)合等比數(shù)列的知識求得凡J從而確定正確選

項.

【詳解】依題意”=26,6=2c,所以瓦。依次成公比為1的等比數(shù)列，

Q+〃+C=50,即4。+2。+。=7。=50,。=笆,。=4。=生^.

77

所以BD選項正確.

故選：BD

11.（2022?湖北武漢?高二階段練習）設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和是S,，若-品<4<-am+1（機e

N*,且加22）,則必定有（）

A.鼠>0B.Sm<QC.S,n+l>0D.5?,+1<0

【答案】AD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可判斷.

aa

［詳角軍］-m<4<-m+l

4+〃故>0,ax+am+i<0,

（q+金）X利(q+q“+Jx(m+l)(0

???Stn>0,5團討

一22

故選：AD.

12.（2022?江蘇.海安縣實驗中學高二期中）若｛qj為等比數(shù)列，則下列數(shù)列中是等比數(shù)列的

是（）

A.｛說｝B.｛k-an｝（其中keR且左w0）

cl/D.｛In%｝

【答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義直接判斷作答.

【詳解】因｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，設其公比為4,則有

2

對于A，,=（-廿）2=/是常數(shù)，數(shù)列｛叫是等比數(shù)列，A是；

對于B,左eR且左片0,詈包=4=4是常數(shù)，數(shù)列％凡｝是等比數(shù)列，B是；

工?a〃an

1

對于C,與且=&=,是常數(shù)，［工［是等比數(shù)列，c是；

a?

對于D,顯然%=1,｛4｝為等比數(shù)列，而lna“=0,數(shù)歹￡ln%｝不是等比數(shù)列，D不是.

故選：ABC

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022.北京市廣渠門中學高三階段練習）在等比數(shù)列｛。"｝中，％=4,%=16,則/=

【答案】8

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題，貝且%=。3,02,所以為=8,

故答案為：8

14.（2022.全國?高二課時練習）在等比數(shù)列｛%｝中，若q=2,公比q=3,前”項和為S”,

則滿足S.>1。。的最小值〃=.

【答案】5

【分析】先求得S"，由S">100求得符合題意的W的最小值.

【詳解】s=-^----^=3"-1>100,3">102，

"1-3

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,所以"的最小值為5.

故答案為：5

15.（2023?全國?高三專題練習）設等差數(shù)列｛劭｝的前w項和為反，若田=10,$4=36,則

公差d為.

【答案】2

【分析】利用等差數(shù)列前w項和、通項公式列方程求基本量.

[CL=CL+2d=10[a,=6

【詳解】由題設;;C…解得]

電=44+6〃=36[d=2

故答案為：2

16.（2018?全國?高二課時練習）｛a/是公差不為零的等差數(shù)列，且a7,aio,ai5是等比數(shù)列

｛%｝的連續(xù)三項，若也=3,則bn=.

【答案】3xg）"T

【分析】由題意可得。7=6+64,%。=1+9"，q=4+14d,又因為它們是等比數(shù)列｛2｝

的連續(xù)三項，進而得至=即可得到等比數(shù)列的公比進而得到答案.

【詳解】解：因為數(shù)列｛%｝是公差d不為零的等差數(shù)列，

所以。7=%+6d,qo=%+9d,ai5=ax+14tZ,

又因為％,%。，陽是等比數(shù)列｛%｝的連續(xù)三項，

所以（《+6d）（q+14d）=（q+9d了,

解得：d=O（舍去）或1=普,

%+9d5

所以4=

ax+6d3

因為等比數(shù)列｛a｝的首項為伉=3,

所以a=6?^1.

故答案為6?gi.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.（2022?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛4｝的前"項和是S,,且2S“="+〃，求｛q｝的

通項公式.

【答案】a“=n.

｛S],n=l

【分析】利用、.，求解通項公式，通過驗證得到?！?〃

[SN-Sc“T，心2

【詳解】當〃=1時，q=5=1；

當此2時，=S-S顯然q=S1=l滿足上式，

annn—l"—"("I2)

3

18.(2023?全國?高三專題練習)數(shù)列｛q｝滿足：4=5,2a?+1=a?+?+2.記用=?！?力，求

證：數(shù)列也,｝為等比數(shù)列；

【答案】證明見解析

【分析】由遞推公式可得2&+1-(〃+1)]=%-“，即可得證；

【詳解】證明：2%=。,+〃+2,2&+]-(〃+1)]=67"-〃,

011

...寸=5，.??數(shù)列｛2｝是以弓，公比為1的等比數(shù)列.

19.(2022?全國?高二課時練習)一個無窮等比數(shù)列的公比q滿足回＜1,它的各項和等于6,

這個數(shù)列的各項平方和等于18,求這個數(shù)列的首項可與公比q.

【答案1q=4,^=—

【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列前"項的極限和即可求解.

【詳解】由題意可知：這個數(shù)列的各項平方后，依然構(gòu)成一個等比數(shù)列，且公比為首項

-^-=6

20.(2022?黑龍江?鶴崗一中高二期末)記等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為5”,生=5,邑=9.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵記bn=3%,求數(shù)列｛%｝的前〃項和Tn.

【答案】(1)?！?2〃-1；

⑵71=19"一1).

【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關于首項和公差的方程組即可求解；

(2)根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求解.

(1)

[CL+2d=5,

由題可知%,,c，解得q=l，d=2,

[3%+3d=9,

?，.%=2〃—1；

(2)

ih32n+1

?.?2=3劭=32〃T=±X9〃，.?.d=^^=9,

T

〃3bn32〃

，｛。｝是首項為3,公比為9的等比數(shù)列，

21.（2022?北京市第十一中學實驗學校高三階段練習）已知數(shù)列｛4｝是公比為2的等比數(shù)列,

且〃3是。1與。4T的等差中項.

（1）求｛4｝的通項公式及前〃項和S”；

、

⑵設7勿-------1:-------,求數(shù)列出,｝的前〃項和

log?cin+l,iog2an+2

【答案】⑴。"=2"T,S“=2"-1

ri

⑵f

【分析】（1）利用等差中項的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和前九項和的定義可求解;（2）利用

裂項相消法