江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿(mǎn)分150分.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡上.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的是（）A.5，5，5，5，5，5，5，5 B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7 D.2，2，2，2，2，5，8，8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方差的定義和意義進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則方差為，方差反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立.對(duì)于A，這組數(shù)據(jù)都相等，沒(méi)有波動(dòng)，故方差為；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)分布比較均勻，波動(dòng)較小，故方差較小但大于；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)分布比較均勻，波動(dòng)較小，故方差較小但大于；對(duì)于D，這組數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，故方差較大；故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】,故選：D.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將一般式方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式方程求出斜率，即可求傾斜角.【詳解】直線化為點(diǎn)斜式得，，所以直線的斜率為，所以?xún)A斜角為，故選：B.4.兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸，設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則可表示出其漸近線的方程，根據(jù)兩條直線垂直，推斷出其斜率之積為，得到，再利用雙曲線的離心率為．【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線的方程為，由兩條漸近線互相垂直，即，即，又雙曲線的離心率為，故選：B5.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程的概念求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，故選:C.6.底面直徑與高相等的圓柱的體積為，則該圓柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題中的條件求出圓柱底面直徑與高，再利用圓柱軸截面矩形的對(duì)角線為圓柱的外接球的直徑，由此求出圓柱的外接球的半徑，即可求得表面積.【詳解】設(shè)圓柱的底面直徑與高為，則圓柱的體積為，解得，則外接球的直徑為，即圓柱的外接球的半徑為，則圓柱的外接球的表面積為，故選：B.7.已知點(diǎn)，若圓上任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用求出點(diǎn)的軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，則，整理得，，所以，故選:C.8.拋物線的準(zhǔn)線為l，M為上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到與到直線的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為,根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)到的距離等于,所以點(diǎn)到與到直線的距離之和即為與到直線的距離之和，由圖可知，與到直線的距離之和的最小值為焦點(diǎn)到直線的距離，所以即為所求，故選:D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分.9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“第一枚硬幣正面朝上”為事件，“第二枚硬幣反面朝上”為事件，則（）A. B.C.和是互斥事件 D.和是相互獨(dú)立事件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)古典概率模型求解選項(xiàng)A,B,利用互斥事件的定義求解選項(xiàng)C，利用相互獨(dú)立事件的定義求解選項(xiàng)D.【詳解】由題，樣本空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，{（正，正），（正，反）}，{（正，反），（反，反）}，所以，A正確；{（正，反）}，所以，則B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以和不是互斥事件，C錯(cuò)誤，因?yàn)?所以，所以和是相互獨(dú)立事件，D正確.故選:AD.10.在矩形ABCD中，.若，則（）A.B.C.以CE為直徑的圓與直線BF相切D.直線AE與BF的交點(diǎn)在矩形ABCD的外接圓上【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率與平行關(guān)系確定選項(xiàng)A，利用向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系確定選項(xiàng)B，利用直線與圓的位置關(guān)系確定選項(xiàng)C，利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求解方法與兩點(diǎn)間的距離公式確定選項(xiàng)D.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，則,對(duì)A，,所以不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)B，,,所以，B正確；對(duì)C，的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以的直線方程為，化為一般式，則點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?所以,所以以CE為直徑的圓與直線BF相切，C正確；對(duì)D，因?yàn)?所以的直線方程為，聯(lián)立，解得，所以直線AE與BF的交點(diǎn)為，矩形ABCD的外接圓是以2,1為圓心，為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)到2,1的距離為，所以直線AE與BF的交點(diǎn)在矩形ABCD的外接圓上，D正確；故選:BCD.11.已知橢圓，直線與交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.C.存在點(diǎn)，使得 D.【答案】ABCD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，則,從而，根據(jù)在橢圓上，則有，則，再結(jié)合，可判斷選項(xiàng)A；利用可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)可判斷選項(xiàng)C，利用平面三角形的坐標(biāo)面積公式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，則,所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則，時(shí)，，代入，解得，此時(shí)，A正確；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，B正確；因?yàn)椋?所以,所以，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)為上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，所以存在點(diǎn)或時(shí)，使得，C正確；以下證明，若，則，,所以,所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，D正確；故選：ABCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)B需使用極化恒等式：在中，是中點(diǎn)，則恒有；2.本題選項(xiàng)D需使用三角形面積的坐標(biāo)表示：若，則.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.12.若直線與垂直，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩條直線垂直的充要條件進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線與垂直，則，解得，故答案為：.13.已知，則______.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的余弦公式求解.【詳解】因?yàn)椋?，又因，所以，所以，故答案為?14.歷史上最早系統(tǒng)研究圓錐曲線的是古希臘學(xué)者梅納庫(kù)莫斯，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡地研究了圓錐曲線，他的研究涉及圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，其中一條是：如圖（1），從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．已知圖（2）中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，直線平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，且.則當(dāng)反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，______.【答案】9【解析】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)直線平分，則有，從而有，再根據(jù)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則由中位線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而利用雙曲線的定義求解.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€平分，所以，所以，所以，由角平分線可知，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則由中位線的性質(zhì)可得，，所以，所以.故答案為：9.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解；（2）利用余弦定理和面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，邊化角可得，，即，又因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由余弦定理，，所以，即，所以，所以的面積為.16.已知點(diǎn)在拋物線上，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距為.（1）求的值和直線的方程；（2）記與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線上的點(diǎn)即可求得，并根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程；（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程求解得到，再設(shè)圓的一般方程為，待定系數(shù)法求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以；因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以設(shè)，又因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去可得，，解得，，則，所以，設(shè)經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為，則有，解得，，所以圓方程為.17.在四面體PABC中，M，N分別為PC，BC的中點(diǎn).（1）證明:平面；（2）若平面，四面體PABC的體積為2，且，求MN與平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】在中，是的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，且四面體PABC的體積為2，所以，即，所以,所以,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，則有，因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)槠矫妫云矫?，所以MN與平面PAC所成角，因?yàn)槠矫?，所以，在中，由等面積法可知，，所以,則,,所以即為MN與平面PAC所成角的正弦值.18.已知圓，圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切線的長(zhǎng)為2．（1）求圓的方程；（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓交于A，B兩點(diǎn)，，①求的方程和的值；②若動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心到點(diǎn)距離的最小值.【答案】（1）（2）①或；②動(dòng)圓圓心到點(diǎn)距離的最小值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的切線長(zhǎng)公式求解即可；（2）①利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式可求的方程，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可求的值；②利用雙曲線的定義，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右半支，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為,連接，因?yàn)?所以,所以圓.【小問(wèn)2詳解】顯然,直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，所以，解得，又因?yàn)?，整理得，，解得或，所以的方程為或；在中?所以.設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則由題意可得，,所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右半支，則有，所以雙曲線方程為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則有，所以，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以，此時(shí).19.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求的方程；（2）直線平行于直線AB，且與交于M，N兩點(diǎn)，①P，Q是直線AB上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足四邊形MNPQ為矩形，且該矩形的面積等于，求的方程；②當(dāng)直線AM，BN斜率存在時(shí)，分別將其記為，證明：為定值.【答案】（1）（2）①或.②,證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓以及離心率之間的關(guān)系求解；（2）①