截長補(bǔ)短模型-2023年中考數(shù)學(xué)應(yīng)對(duì)方法與策略（解析版）

第03講截長補(bǔ)短模型

【應(yīng)對(duì)方法與策略】

截長補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用，它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一

直貫穿著整個(gè)幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補(bǔ)短法呢?所謂截長補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思，即截長和補(bǔ)短.

截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段，證剩下的那一段等于另外一段較

短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+公c時(shí)，用截長補(bǔ)短.

1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證

中那一條線段相等；

2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與

線段中的另一段相等。

3、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使

之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是

常用.

*D

~E~F圖1

999

EGF圖2

9A9B9H圖3

如圖1,若證明線段AB,CD,廝之間存在EQAB+CD,可以考慮截長補(bǔ)短法.

截長法：如圖2在廝上截取在證明踹切即可；

補(bǔ)短法：如圖3,延長四至〃點(diǎn)，使的勿再證明4年0即可.

【多題一解】

1.（2021.內(nèi)蒙古?呼和浩特市敬業(yè)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在正方形ABC。中，AB=2,點(diǎn)〃為正方形

A8CD的邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C,￡（重合）連接作兒與正方形A8CO的外角/AOE的平

分線交點(diǎn)R設(shè)CM=x,△DRW的面積為》求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】y=~x2+x

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到NMD方=90。+45。=135。，在上截取CH=CM,連

接證明=廠即可得解；

【詳解】,??四邊形A8CO是正方形，

：.CD=BC,ZC=ZCDA=90°=ZADE,

???。/平分NADE,

.??ZADF=-ZADE=45。，

2

???NME4=90。+45。=135。，

在上截取CH=CN,連接MH,

則△MCH是等腰直角三角形，BH=MD,

：.ZCHM=ZCMH=45°,

：./BHM=135。,

工4+ZHMB=45。,ZBHM=ZMDF,

*：MF±BM,

：.ZFMB=90°,

：.N2+NBMH=45。,

：.N1=N2,

在ABHM和LMDF中，

'Z1=Z2

<BH=MD,

NBHM=ZMDF

:.ABHM=AMDF,

???BH=MD=2-x,

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=；%（2-%）=-；/+工.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022.江蘇徐州.模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、2分別是

邊BC、CD上的點(diǎn)，S.ZEAF=^ZBAD,線段ERBE、尸。之間的關(guān)系是_；（不需要證明）

（2）如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且NE4尸

^^ZBAD,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

（3）如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且

ZEAF=^ZBAD,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

圖1圖2圖3

【答案】（1）EF=BE+FD；⑵（1）中的結(jié)論仍然成立，見解析；（3）結(jié)論不成立，EF^BE-FD,見解

析

【分析】（1）延長CB至G,BG=DF,連接AG,證明AABGg△AOF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG

=AF,ZBAG=ZDAF,再證明AGAE附△陰E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=EG,結(jié)合圖形計(jì)算，證

明結(jié)論；

（2）延長CB至使BM=DF,連接AM,仿照（1）的證明方法解答；

（3）在硬上截取尸，連接AH,仿照（1）的證明方法解答.

【詳解】解：（1）EF=BE+FD,

理由如下：如圖1,延長C8至G,使BG=DF,連接AG,

D

圖1

在aABG和△AD尸中，

AB=AD

<ZA5G="=90°,

BG=DF

：.AABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

???ZEAF=1/BAD,

NDAF+NBAE=NEAF,

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBAE=NEAF,

在ZkGAE和△E4E中，

AG=AF

<ZGAE=ZFAE,

AE=AE

：.AGAE^AFAE(SAS),

：?EF=EG,

EG=BG+BE=BE+DF,

：?EF=BE+FD,

故答案為：EF=BE+FD；

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長Q5至“，使5M=。尸，連接AM,

VZABC+ZD=180°,ZABC+Zl=180°,

.*.Z1=ZZ),

在△ABM和△AZ)方中，

AB=AD

<Z1=ZD,

BM=DF

：.△ABM之AADF(SAS),

AAM=AF,N3=N2,

???ZEAF=1/BAD,

???N2+N4=NEAR

JZEAM=N3+N4=N2+N4=NEAR

在和△剛E中，

AM=AF

<ZMAE=ZFAE,

AE=AE

：.AMAE^AME(SAS),

:?EF=EM,

EM=BM+BE=BE+DF,

：?EF=BE+FD；

(3)(1)中的結(jié)論不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如圖3,在砂上截取連接A”,

圖3

同（2）中證法可得，△ABH0AADF,

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：.ZHAE^ZFAE,

在和△E4E中，

AH=AF

<ZHAE=ZFAE,

AE=AE

：.（SAS）,

EF=EH

?：EH=BE-BH=BE-DF,

：.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?貴州遵義?一模）已知：如圖所示△ABC.

備用圖

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作NBAC的平分線和8C的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為D（不

寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若42=15,AC=9,過點(diǎn)。畫DE_L4B,則BE的長為—.

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】（1）根據(jù)角平分線、垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可;

(2)在A3上取AF=AC,構(gòu)造△皿*△4)C,可得OF=OC,由垂直平分線性質(zhì)可得3。=CD,由此得

出是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可知=/，即可得出結(jié)論.

(1)

解：如圖,

①作NA4C的平分線AD,

②作BC的垂直平分線印)，交于點(diǎn)。，

(2)

解：如圖，在AB上取一點(diǎn)尸，時(shí)、使AF=A(7,連接。8、DF、DC,

一\HA

在△">尸和△AOC中，

AF=AC

<ZFAD=ZCAD,

AD=AD

：.^ADF^ADC(SAS),

JDF=DC,

又,/直線HD是線段BC的垂直平分線,

Z.DB=DC,

：.DB=DF,

'：DE±AB,

：.BE==BF,

2

又因?yàn)镹=AB-AF=AB—AC,AB=15,AC=9,

BE=1(AS-AC)=3.

故答案為3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)，熟練利用垂

直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出ABDB是等腰三角是解題關(guān)鍵.

4.(2020?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，A、P、B、C是。。上四點(diǎn)，ZAPC=ZCPB^60°.

(1)判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí)，四邊形尸8。4是菱形？并說明理由.

(3)求證：PA+PB=PC.

B\-----------yc

【答案】(1)AABC是等邊三角形，證明見解析；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于A8中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形，理

由見解析；(3)證明見解析.

【分析】(1)利用圓周角定理可得/BAC=/CPB,ZABC=ZAPC,而NAPC=/CPB=60。，則可得/

BAC=ZABC=60°,從而可判斷AABC的形狀；

(2)當(dāng)點(diǎn)P位于中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形，通過證明AOAP和AOBP均為等邊三角形，得到

OA=AP=OB=BP即可得證；

(3)在PC上截取PD=AP,則AAPD是等邊三角形，然后證明△APB04ADC,證明BP=CD即可得證結(jié)

論.

【詳解】(1)AABC是等邊三角形.

證明如下：在。。中，

ZBAC與NCM是BC所對(duì)的圓周角，ZABC與ZAPC是AC所對(duì)的圓周角，

ZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又,/ZAPC=ZCPB=6Q°,

：.ZABC=ZBAC=6Q°,

，AABC為等邊三角形；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸位于AS中點(diǎn)時(shí)，四邊形P20A是菱形,

如圖1,連接。尸.

,/ZAOB=2ZACB=120°,尸是4臺(tái)的中點(diǎn)，

ZAOP=ZBOP=60°

又,：OA=OP=OB,

：.△OAP和△OBP均為等邊三角形，

OA=AP=OB=PB,

...四邊形尸2。4是菱形；

圖1

(3)如圖2,在PC上截取尸。=4尸，

又,:ZAPC=60°,

是等邊三角形，

：.AD=AP=PD,ZADP=6Q°,即NAOC=120°.

又：ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°,

ZADC=ZAPB.

在AAPB和AAOC中，

ZAPB=ZADC

<ZABP=ZACD

AP^AD

：./\APB^AADC(AAS),

：.BP=CD,

y.'：PD=AP,

：.CP=BP+AP.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理

和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

5.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的.下面

是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

【解決問題】

如圖，點(diǎn)、E、尸分別在正方形ABC。的邊BC、8上，ZEAF=45°,連接EP,則跖=3￡+。b，試說明

理由.

證明：延長CD到G,使DG=BE,

在AIBE與“1OG中，

AB=AD

<ZB=ZADG=90°

BE=DG

AABE包AZX7理由：(SAS)

進(jìn)而證出：△AFE4__________,理由：（）

進(jìn)而得=

【變式探究】

如圖，四邊形A8CZ）中，AB=AD,/A4D=90。點(diǎn)E、尸分別在邊BC、。上，ZE4F=45°.若BB、

都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系.時(shí)，仍有跖=BE+￡＞尸.請(qǐng)證明你的猜

想.

【拓展延伸】

如圖，若AB=AD,ZBAD^90°,ZEAF45°,fHZE4F=1zBA￡),ZB=ZD=90。，連接ER請(qǐng)直接寫出

EF、BE、。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)AAFE^AAFG,理由：SAS；(2)Zfi+ZD=180°,證明見解析；（3）BE+DF=EF.

【分析】（1）在前面已證的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論AE=AG,進(jìn)而證明△AFE/^AFG,從而得出結(jié)論;

（2）利用“解決問題''中的思路，同樣去構(gòu)造四即可；

（3）利用前面兩步的思路，證明全等得出結(jié)論即可.

【詳解】（1）,.△ABE^AADG,AE=AG,Z.BAE=Z.DAG,BE—DG,

貝UZBAE+ZFAD=NFAD+ZADG=ZFAG,

vZEAF=45°,ZFAG=45°,

在尸G與△AFE中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

/.△AFE^AAFG,理由：(S4S)

：.EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(2)滿足NB+ND=180。即可，證明如下：

如圖，延長F0至G,使BE=DG,

-ZB+ZADF=1800fZADF+ZADG=180°9

:.ZB=ZADG,

在八鉆石與ziADG中，

AB=AD

<NB=/ADG

BE=DG

「.△AB石絲△ADG(SAS),

AE=AG,NBAE=NDAG,BE=DG,

則ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

vZEAF=45°,...ZE4G=45。，

在△A_FG與△A7?E中,

AE=AG

<ZEAF=ZGAF

AF=AF

/.△AFE^AAFG,理由：(SAS)

EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(3)BE+DF=EF.證明如下：

如圖，延長FD至G,使BE=DG,

在△ABE與△ADG中，

AB^AD

<ZB=ZADG=90°

BE=DG

:.^ABE^AADG（SAS）,

AE=AG,ZBAE=Z.DAG,

貝ljNBAE+NFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

ZEAF=-ABAD,:.NFAG=工NEAD=NFAE,

22

在AAFG與△AFE中，

AE=AG

■ZEAF=ZGAF

AF=AF

.-.AAFE^AAFG,理由：（SAS）

【點(diǎn)睛】本題考查了截長補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形，能夠理解前面介紹的方法并繼續(xù)探究是解決問題的

關(guān)鍵.

6.(2021?北京?九年級(jí)專題練習(xí))在四邊形中，C是3。邊的中點(diǎn).

(1)如圖(1),若AC平分Z8AE,ZACE=90°,則線段AE、A3、OE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為

;(直接寫出答案)

(2)如圖(2),AC平分ZBAE,EC平分/AED,若/ACE=120。，則線段AB、BD、DE、AE的長度

滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

【答案】(1)AE=AB+DE；(2)AE=AB+DE+；BD,證明見解析.

【分析】(1)在AE上取一點(diǎn)F,使AF=AB,由三角形全等的判定可證得△ACB^^ACF,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得BC=FC,NACB=NACF,根據(jù)三角形全等的判定證得△CEFgACED,得至EF=ED,

再由線段的和差可以得出結(jié)論；

(2)在AE上取點(diǎn)F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連結(jié)CG,根據(jù)全等三角形

的判定證得4ACB之4ACF和AECDg/XECG,由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG,進(jìn)而證得4CFG是等

邊三角形，就有FG=CG=^BD,從而可證得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖(1),在AE上取一點(diǎn)E使AF=AB.

圖⑴

：AC平分/BAE,

NBAC=/FAC.

在4ACB和4ACF中，

AB=AF

<NBAC=NFAC

AC=AC

：.AACB^AACF(SAS).

；.BC=FC,/ACB=NACF.

是BD邊的中點(diǎn)，

；.BC=CD.

.*.CF=CD.

/ACE=90。，

.\ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°.

NECF=NECD.

itACEF^ACED中,

CF=CD

ZECF=ZECD

CE=CE

：.ACEF^ACED(SAS).

；.EF=ED.

VAE=AF+EF,

.*.AE=AB+DE.

故答案為：AE=AB+DE；

(2)AE=AB+DE+|BD.

證明：如圖(2),在AE上取點(diǎn)F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連結(jié)CG.

是BD邊的中點(diǎn)，

.\CB=CD=1BD.

2

〈AC平分NBAE,

NBAC=NFAC.

在AACB和AACF中，

AB=AF

<ZBAC=ZFAC

AC=AC

：.AACB^AACF(SAS).

???CF=CB,ZBCA=ZFCA.

同理可證：ZXECDgZiECG

???CD=CG,NDCE=NGCE.

VCB=CD,

???CG=CF.

NACE=120。，

ZBCA+ZDCE=180°-120°=60°.

ZFCA+ZGCE=60°.

.,.ZFCG=60°.

AFGC是等邊三角形.

.?.FG=FC=GBD.

VAE=AF+EG+FG,

;.AE=AB+DE+]BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

7.（2020?北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)三模）在AA3c中，AC^BC,ZACB=90°,點(diǎn)E在直線BC上

（B,C除外），分別經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)8作AE和A8的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)尸，研究AE和所的數(shù)量關(guān)系.

（1）某數(shù)學(xué)興趣小組在探究的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E是

的中點(diǎn)時(shí)，只需要取AC邊的中點(diǎn)G（如圖1）,通過推理證明就可以得到AE和斯的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照

這種思路直接寫出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；

圖I

（2）那么當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B,C除外）（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請(qǐng)你從“點(diǎn)E

在線段2C上”，“點(diǎn)E在線段2C的延長線”，“點(diǎn)E在線段2C的反向延長線上”三種情況中，任選一種情

況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論；

圖2備用圖

(3)當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上時(shí)，若BE=nBC(O<n<l),請(qǐng)直接寫出S^c：的值.

2

【答案】(1)AE=EF-,(2)仍然成立.證明見解析；⑶SAABC:SAAEF=l:(n+2n+2).

【分析】(1)連接GE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCGE=NCEG=45。，ZCBA=ZCAB=45°,然

后利用ASA即可證出AAGEdEBF,從而得出結(jié)論；

(2)在AC上截取CG=CE,連接GE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCGE=NCEG=45。，

ZCBA=ZCAB=45°,然后利用ASA即可證出△AGE四△￡?尸，從而得出結(jié)論；

(3)在AC的延長線上截取CG=CE,連接GE,AF,利用ASA證出△AGE絲△￡?下,可得△用'為等

腰直角三角形，設(shè)CA=CB=a,則砥=:立C=w,利用勾股定理求出AE,根據(jù)三角形的面積公式即可求

出結(jié)論.

【詳解】解：⑴AE=EF,

連接GE

圖I

?.?AC=BC,點(diǎn)E是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)

；.AG=CG=CE=EB,

因?yàn)閆ACB=90。，

所以NCGEnNCEGudS。，ZCBA=ZCAB=45°.

所以AAGE=2EBF=135°.

因?yàn)锳EJ_￡F,ABLBF,

所以NAEF=NABF=NACB=90。，

所以NFEB+ZAEF=ZAEB=NEAC+ZACB.

所以NFEB=NEAC.

在△AGE與△￡?尸中，

ZAGE=ZEBF,

<AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以△AGEdEBF(ASA).

所以AE=￡F

(2)仍然成立.

在4c上截取CG=CE,連接GE.

因?yàn)閆ACB=90。，

所以ZCGE=NCEG=45°.

因?yàn)锳EJ_￡F,AB±BF,

所以NAEF=NASA=NACB=90。，

所以ZFEB+ZAEF=ZAEB=Z.EAC+AACB.

所以ZFEB=NEAC.

因?yàn)镃4=CB,

所以AG=BE,ZCBA=ZCAB=45°.

所以NAGE=NEB尸=135°.

在AAGE與△EB尸中，

ZAGE=NEBF,

<AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以ZkAGE1空△￡?/(ASA).

所以AE=￡F.

(3)如下圖所示，在AC的延長線上截取CG=CE,連接GE,AF

因?yàn)閆ACB=90。，

所以ZCGE=ZCEG=45°.

因?yàn)锳EJ_EF,ABLBF,

所以NAEF=NABF1=NACB=90°,

所以NFEB—ZAEF=ZAEB=AEAC-AACB.

所以NFEB=NEAG.

因?yàn)镃4=CB,

所以AG=3E,ZCBA=ZCAB=45°

：.ZEBF=180°-ZABF-ZABC=45°.

所以ZAGE=NEBF=45°.

在AAGE與△￡?尸中，

AAGE=NEBF,

<AG=BE,

ZGAE=ZFEB,

所以AAGE卷AEBF(ASA).

所以AE=￡F.

△A砂為等腰直角三角形

設(shè)CA=CB=a,則==也

CE=a+na

由勾股定理可得AE=7C42+CE2=yl2a2+2na2+n2a2

SAABC=3a2,S^AEF=5(+Zzi6z?+/a2)=a?+〃/+—

?,-^AAEF=1：+2〃+2).

【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握構(gòu)造全

等三角形的方法是解決此題的關(guān)鍵.

8.(2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí))例：截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何

題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方

式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)￡>是邊BC下方一點(diǎn)，ZBDC=120°,探索線段￡M、DB、OC之間

的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：將△48。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,Z

DAE=60°,tg?ZBAC+ZBDC=180°,可知/A8O+/ACZ)=：180。，貝?。軿ACE+ZACD^ISQ0,易知△AQE是

等邊三角形，所以從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、OC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,RtAABC+,ZBAC=9Q°,AB=AC.點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，/BDC=90°,探索三條線段

DA.DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

K)1圖2

【答案】(1)DA=DB+DC;(2)&DA=DB+DC,證明見解析.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)60?？傻肅E=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=6Q°,根據(jù)/BAC+NBZ)C=180。，

可知/4BO+/ACO=180。，貝！JNACE+NACZ)=180。，易知△AOE是等邊三角形，所以AZ)=DE,從而解決

問題.

⑵延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE,由已知可得ZAB￡>+NACD=18O°,根據(jù)ZACE+ZACD=18O°,可得

ZABD=ZACE,可證AARD三AACE,進(jìn)而可得AD=AE,4仞=/。1￡,可得/八4￡=/54。=90°,由勾股定

理可得：D^+AE2=DE?,進(jìn)行等量代換可得結(jié)論.

【詳解】(1)結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：：△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,

；.AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.\ZABD+ZACD=180°,

/.ZACE+ZACD=180°,

；.D,C,E三點(diǎn)共線，

VAE=AD,ZDAE=60°,

AADE是等邊三角形，

；.AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

(2)結(jié)論：后DA=DB+DC,

證明如下:

如圖所示，延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE,

,/ABAC=90°,ZBDC=90°,

/.ZA5D+ZACD=180",

NACE+NACO=180°,

NABD=ZACE,

：AB=AC,CE=BD,

AABD三AACE(SAS),

；.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZDAE=ZBAC=9(f,

D^+AE2^DE2,

2n42=(r)B+r)c)2,

V2DA=DB+DC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了截長補(bǔ)短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作出輔助線找到

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9.(2020?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，四邊形A3CD為矩形，歹為對(duì)角線BO上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

FELBD交AD于點(diǎn)H,交2A的延長線于點(diǎn)E,連接AF,當(dāng)陽=FE時(shí)，求證：AH+AB=6AF.

【答案】見解析

【分析】過點(diǎn)尸作尸交AB的延長線于點(diǎn)N,先證明△E7W烏△DE4(A&4),可得NN=ZDAb,

FN=AF,從而可以證明△〃/月也可證得AH=3N,即可得證AH+AB="1F.

【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)尸作FNLAF交AB的延長線于點(diǎn)N,

\EF.LDF,EAYAD,

ZE+ZABD=90°,ZADF+ZABD=90°,

;.ZE=ZADF,

\?ZAFN=/EFD=90。,

:.ZAFD=ZEFN,

在△MN和△OE4中，

/EFN=/DFA,

<EF=DF,

/E=ZADF,

:.AEFN2△/)/%(ASA),

.\ZN=ZDAF,FN=AF,

又?.?NA7W=90。，

:.AN=4iAF，

?.?ZAFN=/EFB=9。。,

:.ZAFH=/BFN,

在ZV1Hb和ANBF中,

ZAFH=/NFB,

<AF=NF,

4HAF=4N,

:.AAHF^ANBF(ASA),

:.AH=BN,

:.AH+AB=BN+AB=AN=42AF-

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵.

10.(2020?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在正方形A5co中，點(diǎn)E、尸均為中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)、

P,連接PC,證明：PE+PF=yf2PC-

【答案】見解析

【分析】延長。E至N,使得EN=PF,連接CN,先證明△AQF四ADCE(SAS),可得

ZAFD=ZDEC,即NCFP=NCEN,再通過證明zZ\C7?P(SAS),可得CN=CP,

ZECN=NPCF,即可證明ANCP是等腰直角三角形，即PN=PE+NE=柩PC，從而得證

PE+PF=s/2PC.

【詳解】證明：如圖，延長DE至N,使得EN=PF,連接CN,

在正方形ABCD中，

-E,尸分別是BC、8的中點(diǎn)，

:.CE=DF,

在AADb和ADCE中，

AD=CD,

<ZADF^ZDCE=90°,

DF=CE,

:.AADF^ADCE(SAS),

:.ZAFD=ZDEC,

:.ZCFP=ZCEN,

在ACEN和ACEP中，

CE=CF,

"ZCEN=ZCFP,

EN=PF,

:MEN^ACFP(SAS),

:.CN=CP,NECN=NPCF,

NPCF+ZBCP=90。,

ZECN+NBCP=ANCP=90°,

.?.△NCP是等腰直角三角形，

:.PN=PE+NE=41PC-

即尸E+PR=0PC-

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題

的關(guān)鍵.

11.（2021.北京?清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）已知NMON=a（Oo<&<180。），A為射線ON上一定點(diǎn)，B為

射線OM上動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合）連接A3,取A3的中點(diǎn)C,連接OC.在射線8M上取一點(diǎn)。，使得

BD=OA.

(1)若tz=60°,

①如圖1,當(dāng)NR4O=60。時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形，并寫出大的值；

AD

②如圖2,當(dāng)/84。＜60。時(shí)，猜想片OC的值是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由；

AD

OC

（2）如圖3,若戊=90。,。。，也，直接寫出廠的值.

AD

【答案】（1）①9,②葛=（；（2）生=左.

2AD2AD2

【分析】（1）①由已知可判定AAOB是等邊三角形，△OAD是含30。的直角三角形，由此利用解直角三角

形用OA表示出OC、即可求解；

②延長OB到G,使0G=02,構(gòu)造等邊三角形AOP,延長02到G,使0G=。8,構(gòu)造中位線OC和

^APG^AOD,全等三角形性質(zhì)和中位線性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形中線和已知垂直條件證明由邊長關(guān)系求出相似比即可解答.

【詳解】解：⑴①補(bǔ)圖如下，=OC==,1

圖1

求解過程：VZBAO=60°,ZMON=a=60°,

???△AQB是等邊三角形,

OA=OB=AB,ZOBA=60°,

BD=OA,

：.BD=AB,

：.ABDA=/BAD=-ZABO=30°,

2

：.ZOAD=90°,

**?tanZODA=tan30°=,

AD3

???AD=6OA,

VBC=AC,AAOB是等邊三角形,

ZAOC=30°,ZACO=90°,

OC=OA.COSZAOC=@OA,

2

???OCJ^OA_1；

AD~MOA~2

②如圖，在OM上取一點(diǎn)尸，使。尸二04

???△AOP是等邊三角形，

AOA=OP=AP,ZOPA=60°,

延長03至IJG,使OG=OB,

?:PG=OG+OP,OA=BD=OP,

：.PG=OB+BD=OD,

在和30。中，

AP=OA

<ZAPG=ZAOD,

PG=OD

：.AAPG=^AOD(SAS),

：.AG=ADf

VOG=OB,CA=CB,

：.OC=-AG,

2

AG

：.OC_^=1；

~AD~AG~2

“、OC_A/5-1

AD2

過程如下：如圖,

,：ZMON=a=9Q0.OC±AD,

：.ZAOC-^-ZHOD=90°,ZODA-^-ZHOD=90o,

：.ZODA=ZAOC,

9：ZMON=a=90°,BC=CA,

：.BC=CA=OC^-AB

29

ZOAC=ZAOC,

???ZOAC=ZODA,

??AOBA~AOZ^A,

.OBOAAB

??正一而一罰'

OAABX八、f

設(shè)——===—(/m>0),OB=a,

OAODADm

OA=BD=ma,OD=n^a,

???

?a+ma=ma，

解得:（不合題意舍去），〃「叱后，

22

.PCAB_1A/5-1

AD2AD2m2

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)

和判定、解直角三角形、三角形的中線和中位線性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造全等三角形解決問

題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.（2022?安徽合肥?一模）已知：如圖1,△ABC中，/CAB=120。，AC=AB,點(diǎn)。是8C上一點(diǎn)，其中/

ADC=a（30°<ct<90°）,將△A3。沿所在的直線折疊得到△&￡1?AE交CB于F,連接CE

圖1圖2備用圖

(1)求/COE與NAEC的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,當(dāng)a=45。時(shí)，解決以下問題：

①已知A￡>=2,求CE的值；

②證明：DC-DE=?AD；

【答案】(1)/8片=180。一2。，ZAEC=a

(2)①4；②見解析

【分析】(1)由折疊對(duì)應(yīng)角相等與“雙蝴蝶型”相似可得;

(2)由a=4由求出NCA歹=90。,再由“蝴蝶型”相似求得;

(3)“截長補(bǔ)短”法：在上取一點(diǎn)〃，使得CH=DE.

(1)

,JAABD沿AD所在的直線折疊得到4AED,

：.ZADE=ZADB=18O°-ot,

/.ZCDE=180°-2a；

VZCAB=120°,AC=AB,

：.ZACB=ZB=ZAED=2>0°,

'：ZDFE=ZAFC,

：.LDEFsAAFC,

：.DF：AF=EF：CF,

'：NEFC=/AFD,

：.AAFD^ACFE,

：.ZAEC=ZADC=a,

故答案：18O°-2ot；a

(2)

①Vcc=45°,

ZDAF^ZDAB=15°,

，ZCAF=90°,

：.AF：CF=1：2,

"：^AFD^ACFE,

：.AD：CE=AF：CF=1：2,

：.CE=4,故答案:4；

②在BC上取一點(diǎn)H,使得CH=DE,

'：AC=AE,ZACH=ZAED,

：.AACH^AADE,

：.AD=AH,ZDAE=ZCAH,

：.ZDAH=90°,

：.DH=y[lAD,

：.DC-ED=DC-CH=DH=72AD

【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定

理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換和相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?四川成都?九年級(jí)期末）如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,將點(diǎn)C繞點(diǎn)8順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)105。得到點(diǎn)。，連接B。，過點(diǎn)。作。ELBC交延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為線段。E上的一點(diǎn)，且/

DBF=45°,作N2FD的角平分線FG交A8于點(diǎn)G.

（1）求NBFD的度數(shù)；

（2）求BEDF,GF三條線段之間的等量關(guān)系式；

（3）如圖2,設(shè)X是直線OE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HG,HC,若AB=也,求線段HG+8C的最小值（結(jié)

果保留根號(hào)）.

【答案】(1)120°；(2)BF+DF=GF,理由見解析；(3)g娓

【分析】(1)由平角的性質(zhì)可求NP3E=30。，再由直角三角形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可求解；

(2)由“A&4”可證△BMG之△BfD,可得GM=￡)R即可求解；

(3)作點(diǎn)G關(guān)于。E的對(duì)稱點(diǎn)G',連接HG,CG,FG',作G'/LCB交CB的延長線于/,由軸對(duì)稱的

性質(zhì)可得GF=G'F,HG=HG,NDFG=NDFG'=60。,則HG+HC=HC+”G'NCG',由等邊三角形的

性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求8G'的長，由勾股定理可求解.

【詳解】解：(1)VZCBD=105°,NFBD=45°,

:./FBE=30。,

?:DELBC,

：.NDEB=90。,

：.ZBFE=60°,

：.ZBFD=120°；

(2)BF+DF=GF,

理由如下：如圖1,在線段尸G上截取連接

VZBFD=12O°,FG平分/DFB,

：.ZGFD=ZGFB=60°,

△EBM是等邊三角形,

:?BF=BM,ZBMF=60°,

：.ZGMB=ZBFD=\20°,

VZACB=90°,AC=BC,

???NC3A=45。，

?；NCBD=105。,

：.ZABD=60°=ZMBF,

:?NGBM=NDBF,

：.在ABMG與dBFD中，

ZGMB=ZBFD

<BF=BM

ZGBM=ZDBF

：.ABMG^ABFD(ASA),

GM=DF,GB=DB,

9

：MF+GM=GF9

：?BF+DF=GF；

（3）如圖3,設(shè)3。與Gb交于點(diǎn)。，作點(diǎn)G關(guān)于。石的對(duì)稱點(diǎn)G',連接〃G',CG,FG,作

交CB的延長線于I,

圖2

丁點(diǎn)G與點(diǎn)G'關(guān)于對(duì)稱，

:?GF=G'F,HG=HG,NDFG=NDFG'=60。,

:?HG+HC=HC+HG“G',

即HG+HC的最小值為CG,

/BFD+NDFG'=180。,

?,?點(diǎn)以點(diǎn)尸，點(diǎn)G'三點(diǎn)共線，

*：GB=DB,ZGBD=60°,

...△GOB是等邊三角形，

：.GD=DB=GB,

:.DB=DG',

■:NDBE=15。,/DEB=90°,

：.ZBDE=15°,

：./GDF=75。,

：.ZG'DF=ZGDF=15°,

：.ZBDG'=9Q0,

又,：DB=DG,

:.BG=?BD=亞BC=AB=也,

,：ZEBF=30°,G'I±CB,

：.1G=^BG'=顯,BI=y[3G'I=—,

222

：.CI=BC+BI=\+J^-,

2

**-CG'=VC/2+G72=J(1+半＞+g=，3+#，

/.HG+HC的最小值為+底■

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊

三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

14.(2021?四川成都?二模)如圖，點(diǎn)C在以4B為直徑的。。上，8。平分/ABC交。。于點(diǎn)。，過。作

BC的垂線，垂足為E.

(1)求證：DE與。。相切；

(2)若AB=6,tanA=7^,求BE的長；

(3)線段AB,BE,CE之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明.

B

【答案】(1)見解析；(2)4；(3)CE=AB-BE,見解析

【分析】(1)連接OO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到N0Q8=NC5。，根據(jù)平行線的性

質(zhì)得到于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)圓周角定理得到乙4。8=90。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)過。作于“，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到?！?。石，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：⑴證明：連接。0,

?：OD=OB,

：.ZODB=ZOBDf

?「BO平分NABC,

：./OBD=/CBD,

：?/ODB=/CBD,

：.OD//BE,

9：BELDE,

：.ODLDE,

???OE與。。相切.

(2)解：TAB是。。的直徑，

???ZADB=90°,

\9AB=6,tcmA=6,

:?BD=亞AD,

設(shè)AZ)=機(jī)，則50=應(yīng)機(jī)，

.*.m2+2m2=36,

???根=26或-2石(舍棄)，

:,AD=2,BD—2,

9：BELDE,

：.ZADB=ZBED=90°,

???5。平分NABC,

：.ZOBD=ZCBD,

：.△ABDsdDBE,

,ABBD

??茄一拓’

?6276

,?2-76-BE，

：.BE=4.

(3)解：結(jié)論CE=AB-BE,

理由：過。作于X,

平分/ABC,DE±BE,

：.DH=DE,

在Rt^BED與RtABHD中，

[DE=DH

[BD^BD'

:.RmBED^RMHD(HL),

：.BH=BE,

VZDCE^ZA,/DHA=/DEC=9。。,

：.AADH^/\CDE(.AAS),

:.AH=CE,

"：AB=AH+BH,

：.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合問題，考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判

定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題.

15.（2020?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)期中）如圖，AABC中，點(diǎn)。在AC邊上，MZBZ5C=90+1ZABZ）.

AA

(1)求證：DB=AB；

(2)點(diǎn)E在2c邊上，連接AE交3。于點(diǎn)孔且NARD=NABC,BE=CD,求ZACB的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，若BC=16,AABR的周長等于30,求AF的長.

【答案】(1)見解析；(2)ZACB=60°；(3)AF=U

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運(yùn)用等量代換得出NA=ZBD4,證得

DB=AB；

(2)作CH=BE,連接DH,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得N￡AC=NC,再由三角形全等判定得△BDH^A

ABE,最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出ZACB=60。；

(3)借助輔助線AOLCE,構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造△BFEs^BDH,建立相應(yīng)的等量關(guān)系

式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值.

【詳解】(1)證明：VZBDC=90°+1ZABD,ZBDC=ZABD+ZA,

ZA=9O°-1ZABD.

VZBDC+ZBDA=180°,

ZBDA=180°-ZBDC=90°-1ZABD.

/.ZA=ZBDA=90°-1ZABD.

.*.DB=AB.

解：(2)如圖1,作CH=BE,連接DH,

VZAFD=ZABC,ZAFD=ZABD+ZBAE,ZABC=ZABD+ZDBC,

???NBAE=NDBC.

???由(1)知，ZBAD=ZBDA,

又NEAC=NBAD—ZBAE,NC=ZADB-ZDBC,

???NCAE=NC.

???AE=CE.

???BE=CH,

???BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

VAB=BD,

ABDH^AABE.

???BE=DH.

?;BE=CD,

???CH=DH=CD.

/.△DCH為等邊三角形.

???ZACB=60°.

(3)如圖2,過點(diǎn)A作AOLCE,垂足為O.

VDH/7AE,

.\ZCAE=ZCDH=60o,NAEC=NDHC=60。.

**?AACE是等邊三角形.

設(shè)AC=CE=AE=x,貝！JBE=16—X,

???DH〃AE,

???△BFEs/XBDH.

.BFBEEF16-x

—訪一而一而一％?

ZkABF的周長等于30,

即AB+BF+AF=AB+^^A8+x—(I"")=30,

x

解得AB=16——.

o

在Rt^ACO中，AC=-,AO=^

22

.*.BO=16--.

2

在RdABO中，AO2+BO2=AB2,

即5三+116-￡|2=[16-

解得玉=0(舍去)無2=等.

.".AF=11.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)

用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力，.

16.(2020?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖①，直線/與。O相交于A,8兩點(diǎn)，AC是。O的直徑，。是圓上

一點(diǎn)，于點(diǎn)E,連接A。，且AD平分NC4E.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)若DE=3,AE=W),求。。的半徑；

(3)如圖②，在(2)的條件下，點(diǎn)尸是劣弧上一點(diǎn)，連接PC,PD,PB,問：線段PC、PD、PB

之間存在什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

cc

【答案】（1）見解析；⑵26;⑶PC=PD+PB,見解析

【分析】（1）連接。。，如圖①，要證OE是。。的切線，即證DELOD,利用角平分線的定義和等腰三

角形的性質(zhì)可證。0443,進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（2）如圖①，連接8,要求。。的半徑，只要求直徑AC的長即可，己知￡>E、AE的長，利用勾股定理

即可求出AD的長，再結(jié)合AC是直徑可得△ACD-AWE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）要求「C、PD、PB之間的數(shù)量關(guān)系，可利用截長補(bǔ)短法，在PC上截取尸3=P尸，再證明CV與DP

的關(guān)系即可；由銳角三角函數(shù)的知識(shí)可得ND4￡=60。，進(jìn)而可得NCP3=NGR=60。，于是得△PBR為

等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理的推論可利用AAS證明△PBD名△FBC,進(jìn)一步

即可證得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖①，連接。。，

,/OA-OD,

???ZOAD=ZODA,

???AD平分NC4E,

:.ZOAD=ZDAEf

ZODA=ZDAEf

DOIIA