2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形四心及奔馳定理（學(xué)生版+教師版）

第37講三角形四心及奔馳定理

知識梳理

技巧一.四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相

等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理一解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知AABC的頂點(diǎn)A(xt,%),2(%，%)，C(W，%)，則△48C的重心坐標(biāo)為

cxl+x2+x3%+y?+%)

'3'3

注意：(1)在人鉆。中，若。為重心，貝?。莺?礪+反=6.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,則"08、Z\A0C>△BOC的面積

之比等于4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令人況=兩，％無=兩，4k=西，即滿足

技巧三.三角形四心與推論:

(1)。是ZXABC的重心：S&BOC:^ACOA:SAAOB=l：l：loOA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的內(nèi)心：:S^=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

WZ-iC-Lz/iZ-iA/iCnzRo

1

（3）。是的外心:

S/A\Rr>nUr:/\SiAff?y:/S\MIMfrCiR-sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.

（4）。是△ABC的垂心：

Sgoc:5ACOA:S-OB=tanA:tan8:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

技巧四.常見結(jié)論

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量普+若所在的直線上.

網(wǎng)M

|AB|-PC+|BC|-PC+|CA|-PB=6=P為AABC的內(nèi)心.

（2）外心：|可卜|而卜|罔oP為△ABC的外心.

（3）垂心：麗?麗=麗?定=玄.玄o?為△ABC的垂心.

（4）重心：西+而+前=6o尸為的重心.

必考題型全歸納

題型一：奔馳定理

例1.（2024?全國?高一專題練習(xí)）已知。是AABC內(nèi)部的一點(diǎn)，/A,NB,/C所對的邊

分別為。=3,6=2,c=4,若sinA.西+sinB-礪+sinC?元=0，則從103與AABC的面

積之比為（）

例2.（2024?安徽六安?高一六安一中?？计谀┮阎?。是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

OA+2OB+OC^0>則AAOB的面積與AABC的面積之比為（）

例3.（2024?全國?高一專題練習(xí)）若點(diǎn)M是"18C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊AC靠近

A的三等分點(diǎn)，且滿足5麗=通+而，則AABM與△ABD的面積比為（）

2

變式1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）平面上有AABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形,

若將AOAB,AOBC,AOO的面積分別記作臬，Sa,Sb,則有關(guān)系式

SaOA+SbOB+Sc-OC=6.因圖形和奔馳車的/og。很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定

理已知AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為“，b,c,若滿足

a-OA+bOB+cOC=6>則。為AABC的（）

C.重心D.垂心

變式2.（2024?上海奉賢?高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一

個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,△/OB的面

積分別為?、SB、SC,則有梟市+與礪+Sc南=0,設(shè)。是銳角△NBC內(nèi)的一點(diǎn)，Z

BAC,ZABC,分別是△4BC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（）

A.^OA+OB+OC=0>則。為△48C的重心

B.若方+2漏+3元=6，則%:SB：SC=1：2:3

C.則。為△/2C（不為直角三角形）的垂心，則

tanZBAC-OA+tanZABCOB+tanZACBOC=6

D.若|詞=|刎=2,ZAOB=^-,20A+30B+40C=0，則可.4

變式3.（多選題）（2024?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面

3

向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes6e〃z）的logo

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABOC,

△AOC,AAOB的面積分別為叢,SB，5一貝USA?況+Ss?礪+Sc?夫=。，。是AA3C內(nèi)的

一點(diǎn)，ABAC,ZABC,NAC8分別是AABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題氐卿的有（）

A.若2方+3礪+4交=6，則%鳥￡=4:3:2

B.若網(wǎng)=|詞=2,ZAOB=y,且2礪+3麗+4狂"貝應(yīng)樹=竽

C.若西?瓦=萬?阮=元.西，則。為AABC的垂心

__JI

D.若。為AABC的內(nèi)心，S.5OA+12OB+13OC^0,則ZACB=-

變式4.（多選題）（2024?全國?高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳"轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其

為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABOC、AAOC、AAQ5的面積分別為

SA、SB、S-貝I]SA?麗+Sp?麗+S0?反=6.設(shè)。是銳角AABC內(nèi)的一點(diǎn)，NBAC、

ZABC.NACB分別是44BC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A

A.若麗+2礪+3元=6,則SA：SB：SC=1:2:3

B.網(wǎng)=煙=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,則榮詆=：

______兀

C.若。為AABC的內(nèi)心，3OA+4OB+5OC=6<貝IJ/C=,

D.若。為AA5C的重心，則OA+OB+OC=Q

4

題型二：重心定理

例4.（2024?福建泉州?高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、

重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線

被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知的外心為。，重心為G,

垂心為，，M為中點(diǎn)，且AB=5,AC=4,則下列各式正確的有.

@AG-BC=-3?AOBC=-6

@OH^OA+OB+OC?AB+AC=4OM+2HM

例5.（2024?全國?高一專題練習(xí)）點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上AA3c的三

個(gè)頂點(diǎn)，NB、/C分別是邊AC、AB的對角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正

確的序號全部寫上）.

①動點(diǎn)P滿足赤=次+而+無，貝UAABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；

②動點(diǎn)P滿足加=礪+〃濡+前）（久>0）,則AABC的內(nèi)心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合

中；

③動點(diǎn)P^S,OP=OA++--）（2>0）,則AABC的重心一定在滿足條件的P

|AB|sinp3|AC\sinC

點(diǎn)集合中；

4/?AC

④動點(diǎn)P滿足無=次+〃姬-g+r;「）（2>0）,則AABC的垂心一定在滿足條件的P

|AB\cosB|AC|cosC

點(diǎn)集合中；

⑤動點(diǎn)P滿足麗=08：—+qS+點(diǎn),）（」>o）,則aABC的外心一定在滿足條

2|AB|cosB|AC\cosC

件的p點(diǎn)集合中.

例6.（2024?河南?高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若。為AABC的重心（重心為三條中線

交點(diǎn)），且函+礪+X詼="貝1）4=—.

變式5.（2024?全國?高一專題練習(xí)）（1）已知△/BC的外心為O,且N5=5,AC=3,則

AOBC^.

（2）已知△NBC的重心為O,且48=5,AC=3,則33.前=.

5

（3）已知△NBC的重心為O,且48=5,AC=3,A=。為8C中點(diǎn)，則而?麗=

變式6.（2024?江蘇無錫?高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在AA3C中，AB=2,

ZABC=60°,AC-AB=-1，若。是AABC的重心，則前.衣=.

變式7.（2024?江西南昌?高三校聯(lián)考期中）銳角AABC中，a,b,c為角A,B,C所對

的邊，點(diǎn)G為AABC的重心，若AGLBG,則cosC的取值范圍為.

變式8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）過△4BC重心。的直線尸。交NC于點(diǎn)P,交8c于點(diǎn)

__.3__,

Q,PC=-AC,QC=nBC,則〃的值為.

變式9.（2024?上海虹口?高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┰贏ABC中，過重心G的直

線交邊43于點(diǎn)尸，交邊/C于點(diǎn)0,設(shè)“尸。的面積為，，AABC的面積為邑，且

s

AP=AAB,AQ=pAC,則，的取值范圍為.

題型三：內(nèi)心定理

例7.（2024?湖北?模擬預(yù)測）在AABC中，ABAC=16,^&ABC=6>BC=3,且

AB>AC,若。為N43C的內(nèi)心，則無。配=.

例8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知RSABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是AABC

的內(nèi)心，尸是A/BC內(nèi)部（不含邊界）的動點(diǎn).若晶>=/16（幾，〃eR），則彳+〃

的取值范圍是.

例9.（2024?黑龍江黑河?高三嫩江市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)/為AABC的內(nèi)心，

AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nBC，貝1+w為.

變式10.（2024?福建福州?高三福建省福州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。是AA3C的內(nèi)

6

—.3—■1—■

心，若4。=—AB+—AC,貝hos/BAC=

77---------

變式11.（2024?甘肅蘭州?高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┰诿嫔嫌蠥ABC及內(nèi)一點(diǎn)。滿足

關(guān)系式：SA.BC?函+S/AC?麗+SA°AB=0即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若AA3c的三邊

為a,b,c,現(xiàn)有分方+6歷+c.反=6，則。為AA3C的—心.

變式12.（2024?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知。是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，/、8、C是平面上

不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足赤=e+2（4eR）,則點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過

AABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

22

變式13.（2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓二+二=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,p

1612

為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，G,/分別為△尸百工的重心和內(nèi)心，則月.衍=（）

416

A.-B.6C.2D.—

33

變式14.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知△ABC,/是其內(nèi)心，內(nèi)角A,民C所對的邊分別

a,b,c,則()

—1.y-jcA.BbA.C

A.AI=-(AB+AC)B.AI=------+-------

aa

「fbABcAC「—cABbAC

C.AI=----------+-----------D.AI=------+-------

a+b+ca+b+ca+ba+c

3

變式15.⑵24?全國?高三專題練習(xí)）在△放中，8SA="。為△*的內(nèi)心，若

~AO=xAB+yAC(x.y,則x+y的最大值為()

2c1-布口8-2夜

A.

35?6?~7-

變式16.（2024?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)。在AABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式:

7

(i)OA+OB+OC=6；

(2)OAOB=OBOC=OCOA;

ACAB=加BCBA

(3)OA-網(wǎng)一網(wǎng)=0;

(4)(OA+OB)AB=(OB+OC)BC^Q.

則點(diǎn)。依次為AABC的（）

A.內(nèi)心、外心、重心、垂心;B.重心、外心、內(nèi)心、垂心;

C.重心、垂心、內(nèi)心、外心;D.外心、內(nèi)心、垂心、重心

變式17.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為b、

c,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個(gè)條件：

@aOA+bOB+cOC^G-,

②tanAOA+tanB-O8+tan。OC=0;

③sin2A-DX+sin23?麗+sin2c?宓=0;

?OA+OB+OC=0;

則點(diǎn)。分別為AABC的（）

A.外心、內(nèi)心、垂心、重心B.內(nèi)心、外心、垂心、重心

C.垂心、內(nèi)心、重心、外心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

題型四：外心定理

例10.（2024?山西呂梁?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)。為"RC的外心，且滿足

2函+3礪+4無=0，|次|=1,下列結(jié)論中正確的序號為.

@OBOC=-^■②展卜2；③ZA=2NC.

例11.（2024?河北?模擬預(yù)測）已知。為AABC的外心，AC=3,BC=4,^OC.AB=

例12.（2024?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知。是AA5C的外

8

2且則實(shí)數(shù)加的最大值為

心,AC-AO^2mAd,sinB+sinC=6,

變式18.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)。為AA3c的外心，若AB=4,BC=2^,則

BOAC=.

變式19.（2024?湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)。是△/8C的外心，

a,6,c分別為內(nèi)角4B,。的對邊，A=f,且弊.互+您二.京=24礪，則2的值為

3sinCsmB

變式20.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，AB=6,AC=3出.點(diǎn)M滿足

AM=^AB+^-AC.過點(diǎn)M的直線/分別與邊A3,AC交于點(diǎn)RE且而=之而，

AE=^AC.已知點(diǎn)G為“WC的外心，AG=2AB+^AC,貝”而|為.

變式21.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知△NBC中，AB=AC=1,BC=g，點(diǎn)、。是乙

ABC的外心，則函.麗=.

變式22.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P是AABC的內(nèi)心、外

心、重心、垂心之一，且滿足2衣?阮二女,-福2,則點(diǎn)P一定是AABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

題型五：垂心定理

例13.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)。為AABC的外心，若函+。5+玩=兩，則M是

AABC的（）

A.重心（三條中線交點(diǎn)）B.內(nèi)心（三條角平分線交點(diǎn)）

C.垂心（三條高線交點(diǎn)）D.外心（三邊中垂線交點(diǎn)）

9

例14.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知H為AA3C的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)）,

__.1―.?—■

^AH=-AB+-AC,貝lJsin/R4C=.

例15.（2024?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知〃是AABC的垂心，2麗+3麗+4沅=0，貝U

AABC的最大內(nèi)角的正弦值是.

變式23.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)〃是“BC的垂心，S.4HA+5HB+6HC=0＞則

cosZAHB=.

變式24.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在“BC中，點(diǎn)。、點(diǎn)〃分別為AABC的外心和垂

心，|AB|=5,|AC|=3,則超前=.

4

tanC=—

變式25.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在“3C中，AB=AC,3,H為AABC的垂

心，且滿足病=加麗+〃前，貝卜w+〃=

10

第37講三角形四心及奔馳定理

知識梳理

技巧一.四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相

等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理一解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知AABC的頂點(diǎn)A(xt,%),2(%，%)，C(W，%)，則△48C的重心坐標(biāo)為

cxl+x2+x3%+y?+%)

'3'3

注意：(1)在人鉆。中，若。為重心，貝?。莺?礪+反=6.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,則"08、Z\A0C>△BOC的面積

之比等于4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令人況=兩，％無=兩，4k=西，即滿足

技巧三.三角形四心與推論:

(1)。是ZXABC的重心：S&BOC:^ACOA:SAAOB=l：l：loOA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的內(nèi)心：:S^=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

WZ-iC-Lz/iZ-iA/iCnzRo

1

(3)。是的外心：

S=

SA/\Rr>Unr:/S\lAff?y:/\rAA\/A1>nRsin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.

(4)。是△ABC的垂心：

5:

S&BOC:ACOAS^AOB=tanA:tan8:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

技巧四.常見結(jié)論

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量售+禺所在的直線上.

網(wǎng)M

|AB|-PC+|BC|-PC+|CA|-PB=O=尸為八48。的內(nèi)心.

(2)外心：|聲曰=|而卜］正|o尸為△ABC的外心.

(3)垂心：麗?麗=麗?定=玄.玄oP為/XABC的垂心.

（4）重心：西+而+前=6o尸為的重心.

必考題型全歸納

題型一：奔馳定理

例1.（2024?全國?高一專題練習(xí)）已知。是AABC內(nèi)部的一點(diǎn)，/A,ZB,/C所對的邊

分別為。=3,6=2,c=4,若sinA.西+sinB-礪+sinC?元=0，則從103與AABC的面

積之比為（）

【答案】A

b

【解析】由正弦定理二------=K又a=3b=2,c=4,所以得

sinAsin5sinC

\（3?函+2?歷+4?比）=0,因?yàn)樗?.礪+2.礪+4?無=C.

設(shè)西=3OA,西=20B,西=40C,可得西+西+西=6,則。是△AgC；的重心,

Sgq=Sgq=S?a41G=S,利用S=gOR?。瓦?sinZAiOBl,sinZAOB=sinZAiOBl，所以

-OAOBsinZAOB

q2黑粽=|，所以工3:S，同理可得或血="s,

sg兩.西sin404

2

S2=1s.所以AAOB與AABC的面積之比為:s：Rs+：S+3S)=4:9即為工

12616yl2/9

故選：A.

例2.（2024?安徽六安?高一六安一中?？计谀┮阎Ｊ侨切蜛BC內(nèi)部一點(diǎn)，且

OA+2OB+OC=0.則AAOB的面積與AABC的面積之比為（）

A.gB.—C.—D.—

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)西+反=歷，：函+2礪+元=0，，也=一2無，設(shè)AC與。。交

于點(diǎn)則M平分AC,BD,_礪，。是中點(diǎn)，

?,^AAOB=萬SMMB=7SAABC-比值為；.

故選：c.

A

D

例3.（2024?全國?高一專題練習(xí)）若點(diǎn)〃是"LBC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊AC靠近

A的三等分點(diǎn)，且滿足5麗=荏+而，則AABM與△AB。的面積比為（）

A.-B.-C.-D.—

55525

【答案】C

【解析】加是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AM,BM,延長AM至E使AE=5AM,

V5AM=AB+AC=AE>-^AB=AE-AC=CE>

連接BE,則四邊形ABEO是平行四邊形，向量通和向量屈平行且模相等，

3

由于AC—3AD，所以S&ABD=1,^AABC，又AE=5AM，所以SAABM=5^AABE,

7,^AABE3

在平行四邊形中，S^BD=SAABE,則AABM與△ABD的面積比為^-----=-

,^AABD

故選：C.

變式1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）平面上有AABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，

若將AOAB,△05C,的面積分別記作臬，Sa,Sb,則有關(guān)系式

Sa-OA+ShOB+ScOC=6.因圖形和奔馳車的bg。很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定

理已知AA3C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足

a-OA+bOB+cOC=6^則。為AABC的（）

【答案】B

__s______ks__

【解析】由*.況+%無+&,方=6得況=-/礪-方前,

由小麗+6?礪+c?反=。得市=-2歷一￡詼，

aa

SbSc

根據(jù)平面向量基本定理可得一h學(xué)=-一，一r百二一一，

S,aS〃a

延長co交AB于E,延長30交AC于尸，

4

A

S二|AK|Sbb\AE\b|AC|

貝U丁=7^/7，又不=一，所以=-=

Sa\BE\Saa|BE|a\BC\

所以CE為/AC8的平分線，

同理可得BF是ZABC的平分線，

所以。為44BC的內(nèi)心.

故選：B

變式2.（2024?上海奉賢?高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一

個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,的面

積分別為％、SB、SC,則有％麗+SB9+SC麗=G,設(shè)。是銳角△/8C內(nèi)的一點(diǎn)，Z

BAC,ZABC,分別是△A8C的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（）

A.^OA+OB+OC=Q，則。為△NBC的重心

B.若西+2礪+3反則SA：SB：SC=1：2：3

C.則。為△NBC（不為直角三角形）的垂心，則

tanABAC-OA+tanZABC-OB+tanZACB-OC=0

D.若|碉=|國=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC^6,則S“BC=|

【答案】D

【解析】對于A：如下圖所示，

5

A

假設(shè)。為4B的中點(diǎn)，連接0D,則麗+麗=2/=由，故C,0,0共線，即。在中線CD

上，

同理可得。在另外兩邊8cAe的中線上，故。為AABC的重心，即A正確；

對于B：由奔馳定理。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，△3。。,四。041。2的面積分別為54,57）,5-

則有梟?礪+SB?礪+Sc?無=0可知，

若西+2赤+3反=0,可得3：SB：S0=1:2:3,即B正確;

對于C：由四邊形內(nèi)角和可知，ZBOC+ZBAC=71,貝lj

OB.OC=|OB||OC|COSZBOC=-|OB||OC|COSABAC,

同理，OB^A=|OB||OA|COSZBOA=-|OB||OA|COSZBCA,

因?yàn)?。為AA5C的垂心，則礪?而=麗.（歷-函）=礪?詼-礪?礪=0,

所l^|oc|cosABAC=網(wǎng)cosZBCA,同理得國即NABC=同cosZBCA,

|OA|COSZABC-|OB|COSABAC,

則網(wǎng)：|礪，困=cosABAC:cosZABC:cosNBCA,

令|。4卜mcosZBAC,|OB|=zncosZABC,|oc|=mcosZBCA,

由臬=T而，詼卜in/BOC,則

SA=||o5||oc|sinNBAC=geosZABCcosZBCAsinZ.BAC,

同理：SB=J網(wǎng)?sinNA8C=拳cos/BACcosNBCAsinNABC,

Sc=；網(wǎng)網(wǎng)sinN8G4=春cosABACcosNABCsinZBCA,

sinZBACsinZ4BCsinZBCA

綜上，S:S:S==tanZBAC:tanZABC:tanZBCA

ABCcosZBACcosZABCcosZBCA

6

根據(jù)奔馳定理得tan/BAC?西+tan/ABC-3§+tanZACB?/=0，即C正確

對于D：由|市|=|而|=2,/4。8=型可知，Sr=-x2x2xsin—=1,

626

X20A+30B+40C=0.所以梟：：S0=2:3:4

13

由Sc=1可得，SA=-,SB=-；

139

所以S皿=SA+SB+SC=5+Z+1="即D錯(cuò)誤;

故選：D.

變式3.（多選題）（2024?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面

向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedes6e〃z）的logo

很相似，故形象地稱其為“奔馳定理奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABOC,

△AOC,9。3的面積分別為21,57）,5一貝1|梟?礪+,?礪+$c?前=。，。是AA3C內(nèi)的

一點(diǎn)，ZBAC,ZABC,NACB分別是AABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題思碑的有（）

A.若2礪+3礪+4元=0,則SA：S&：SC=4:3:2

B.若網(wǎng)=|詞=2,ZAOB=y,且2函+3礪+4元=0,貝應(yīng),=竽

C.若西.怎=礪.配=詼.函，則。為AABC的垂心

__?_________兀

D.若。為AABC的內(nèi)心，且5次+12礪+13玄=0，則ZACB=-

【答案】BCD

【解析】對選項(xiàng)A：20A+30B+40C=0,則梟：S8:S0=2:3:4,錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B：SAA0B=1x2x2xsinl20°=V3,2OA+3OB+4OC=0

故5小品：k=2：3:4,S-=\XSA=苧，正確；

對選項(xiàng)C：m-OB=OBOC，^{OA-OCyOB=CA-OB=D,故而，

同理可得四_1_函，AB1OC＞故。為AABC的垂心，正確；

7

對選項(xiàng)D：50A+120B+130C=0，故'：S§:k=5:12:13,設(shè)內(nèi)接圓半徑為小

SA=-^r-BC,SB=^r-AC,Sc=r-AB,BPBC:AC:AB=5:12:13,

TT

即ABJAC'+BCZ,ZACB=-,正確.

故選：BCD

變式4.（多選題）（2024?全國?高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其

為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABOC、AAOC、AAOB的面積分別為

梟、SB、S「則梟?次+SR?麗+Sc?方=6.設(shè)。是銳角AABC內(nèi)的一點(diǎn)，/BAC、

ZABC./ACB分別是A43C的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若麗+2礪+3反=6，則SA：SB：SC=L2:3

B.網(wǎng)=囪=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,則LBC=|

jr

C.右。為443C的內(nèi)心，30A+40B+50C=0.則/。=耳

D.若。為AABC的重心，貝1]OA+OB+OC=Q

【答案】ACD

【解析】對于A選項(xiàng)，^^JOA+2OB+3OC=0＞由“奔馳定理”可知SA：SB：SC=1:2:3,A

對；

對于B選項(xiàng)，由|。d=|0@=2,AOB=,可知S?=；x2x2xsin■^=1,

X2QA+3OB+4OC=0,所以必：SB:兒=2:3:4,

13

由7=1可得，SA=-,SB=-,

139

所以ZABC=SA+SB+SC=5+7+1="B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，若。為AABC的內(nèi)心，3OA+4OB+5OC=6,則3:S8:Sc=3:4:5,

8

又SA：SB：SC=-^ar:^br:^cr=a:b:C（尸為3c內(nèi)切圓半徑）,

所以，a2+b2=c2,故NC=1,C對;

對于D選項(xiàng)，如下圖所示,

因?yàn)椤锳ABC的重心，延長CO交AB于點(diǎn)。，則。為AB的中點(diǎn),

所以，

OC=2ODS"oz>=SWOD=]Sc,且S'。。=—SB,S^BOD=],

所以，J=SB=SC，由“奔馳定理”可得方+方+玩=G，D對.

故選：ACD.

題型二：重心定理

例4.(2024?福建泉州?高一?？计谥?著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、

重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線

被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知93c的外心為。，重心為G,

垂心為〃，〃為2c中點(diǎn)，且AB=5,AC=4,則下列各式正確的有.

?AGBC=-3?AOBC^-6

?OH=OA+OB+OC?AB+AC=4OM+2HM

【答案】①③④

__.2___.1__.___

【解析】對于①，AABC重心為G,^AG=-AM=-(AB+AC),

AG-BC=1(AB+AC)(AC-AB)=|(AC2-AB2)=1(16-25)=-3,故①正確；

對于②，AABC外心為O,過三角形NBC的外心O分別作48、NC的垂線，垂足為。、

E,易知。、E分別是43、/C的中點(diǎn)，有=,AO-AC=—AC=8

AAOBC=AO(AC-AB)=8--^=-^f故②錯(cuò)誤；

9

A

對于③，由歐拉線定理得2詬=而，即兩=3而，X<G4+GB+GC=0，

故函+函+宓=（M+GX）+（因+而）+（因+配）=3OG+GA+GB+GC=3OG,即

OH=OA+OB+OC^故③正確；

___k2___.]___.

對于④，由兩=3礪得詼一祈5=3（礪-M，i^MG=^MO+-MH,

所以荏+*=2麗=-6礪=4麗'+2麗，故④正確.

故答案為：①③④.

例5.（2024?全國?高一專題練習(xí)）點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上AABC的三

個(gè)頂點(diǎn)，NB、/C分別是邊AC、AB的對角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正

確的序號全部寫上）.

①動點(diǎn)P滿足加=詼+而+元，則AABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；

AC

②動點(diǎn)P滿足/=礪++』）（4>0）,則AABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合

\AB\\AC\

中；

③動點(diǎn)p滿足存=函+〃,，8->0）,則^ABC的重心一定在滿足條件的P

點(diǎn)集合中；

AfiAC

④動點(diǎn)p滿足加=次+“行*--+=―-）（^>0）,則AABC的垂心一定在滿足條件的P

|AB\cosB|AC|cosC

點(diǎn)集合中；

⑤動點(diǎn)P滿足而=O8：OC+〃r+JJ）（」>o）,則AABC的外心一定在滿足條

2|AB|cosB|AC|cosC

件的p點(diǎn)集合中.

【答案】①②③④⑤

【解析】對于①，因?yàn)閯狱c(diǎn)P滿足力5=01+方+汽，

AP=PB+PC,

10

則點(diǎn)P是AABC的重心，故①正確；

對于②，因?yàn)閯狱c(diǎn)P滿足哈函+〃黑+焉Q。),

.??/="篇+篇)(">°)'

4RAC

朋C的平分線上,

\AB\|AC|

Q與NBAC的平分線所在向量共線,

所以AABC的內(nèi)心在滿足條件的P點(diǎn)集合中，②正確;

ABAC

對于③，動點(diǎn)P滿足罰5=函+〃;H-)a>-o---)--,--

|AB|sinB|AC|sinC

ABAC

/.AP=2(-,-------1-------),(A>0),

|AB|sinB|AC|sinC

過點(diǎn)A作AD1BC,垂足為則|通|sin8=|正|sinC=A￡>,

AP=(AB+AC),向量通+正與BC邊的中線共線,

因此AABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，③正確；

對于④，動點(diǎn)尸滿足方=西+陽二8+)(2>0),

|AB|cosB|AC|cosC

：.AP=4(一.—+—)(4>0),

IAB|cosB|AC|cosC

——?——.ABAC——?—.——.

/.APBC=2(---------+一)BC=A(|BC\-\BC|)=0,

|AB|cosB|AC|cosC

???APLBC，

所以445C的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，④正確；

對于⑤,動點(diǎn)戶滿足