2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市某中學(xué)大聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南師大附中大聯(lián)考高三(上)月考

數(shù)學(xué)試卷(一)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知4={x\x2+x—6<0},B={x|lg(x-1)<0},則4C8=()

A.{x|-3<x<2}B.{x|-3<x<2]C,{x|l<%<2}D.{x\l<x<2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=—3+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|等于()

3.已知平面向量Z=(5,0),石=(2,-1),則向量五+9在向量刃上的投影向量為()

A.(6,-3)B.(4,-2)C.(2,-1)D.(5,0)

4.記方為等差數(shù)列{斯}的前ri項(xiàng)和，若a3+a9=14,a6a7=63,則S7=()

A.21B.19C.12D.42

5.某校高二年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷滿分為150分，90分以上為及格.閱卷結(jié)果顯示，全年級(jí)1200名學(xué)

生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷的難度系數(shù)(難度系數(shù)=平均分/滿分)為0.49,標(biāo)準(zhǔn)差為22,則該

次數(shù)學(xué)考試及格的人數(shù)約為()附：若X?NW，/),記p?=P^-ka<X<fi+ka),則

p(0.75)?0.547,p(l)-0.683.

A.136人B.272人C.328人D.820人

6.6知G(0;y),cos(a—0)=-,tana-tanp=4,則a+0=()

乙o

717T7T271

A.6ByC，3D-

7.已知%,尸2是雙曲線:一\=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)，以尸2為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸

近線交于48兩點(diǎn)，若3MBi>尸1&|，則雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,爭(zhēng)B.(1,嗜C.(1,A/2)D.(l,4)

8.已知函數(shù)f。)={歌'葭/’0,若關(guān)于％的方程八/⑼=0有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(一8,0)u(0,1)C,[1,+8)D.(0,1)U(1,+oo)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

第1頁，共10頁

9.如圖，在正方體4BCD-4止1射。中，E,F,M,N分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面近(：的中心，則

下列結(jié)論正確的是()

A.E,F,M,P四點(diǎn)共面

B.平面PE尸被正方體截得的截面是等腰梯形

C.EF〃平面PMN

D.平面MEF1平面PMN

10.已知函數(shù)/'(久)=、"cos(2x+苧)，則()

A"(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為仁兀,0)

B"(x)的圖象向右平移節(jié)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是奇函數(shù)的圖象

C.f(x)在區(qū)間售圖上單調(diào)遞增

D,若y=f(x)在區(qū)間(0即)上與y=1有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則me俘，字］

11.己知定義在R上的偶函數(shù)/'(久)和奇函數(shù)g(x)滿足/'(2+x)+g(-久)=1,貝(1()

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱B.f(x)是以8為周期的周期函數(shù)

C.g(2024)=0D.近學(xué)/(軌―2)=2025

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(x+3y—1)6的展開式中/丫的系數(shù)為.

13.已知函數(shù)/(%)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，>2/(%),且f(l)=0,則不等式f(久)>0的

解集為.

14.已知點(diǎn)C為扇形40B的弧4B上任意一點(diǎn)，且乙4。8=60°,若無=4耐+〃礪(尢〃GR),則2+〃的取

值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

△4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知2a+6=2ccosB.

(1)求角C;

(2)若角C的平分線CD交AB于點(diǎn)D,AD=3聲，DB=聲，求CD的長(zhǎng).

16.(本小題12分)

1

已知X="為函數(shù)/(久)=久。)刀的極值點(diǎn).

(1)求a的值;

第2頁，共10頁

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=》，若對(duì)VX1e(0,+8),3X2eR,使得/'(>>1)-9(犯)20,求k的取值范圍.

17.(本小題12分)

已知四棱錐P-ABCD中，平面P4B1底面4BCD,AD//BC,AB1BC,PA=PB=與AB,

AB=BC=2AD,E為4B的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上異于P,C的點(diǎn).

P

(1)證明：BD1EF；

(2)試確定點(diǎn)尸的位置，使EF與平面PCD所成角的余弦值為等.

18.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Cl：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓。2：爐+16f=1的

短軸長(zhǎng)，點(diǎn)P在拋物線3上，圓E：0-2)2+*=產(chǎn)(其中0＜「＜1).

(1)若r=1,Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值；

(2)設(shè)。(l,t)是拋物線Ci上位于第一象限的一點(diǎn)，過D作圓E的兩條切線，分別交拋物線Q于點(diǎn)M,M證明：

直線MN經(jīng)過定點(diǎn).

19.(本小題12分)

入冬以來，東北成為全國(guó)旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體驗(yàn)東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客

更好的體驗(yàn)，推出了a和8兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)票平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇a和B兩個(gè)

套餐之一，下表是該景區(qū)在購(gòu)票平臺(tái)io天銷售優(yōu)惠券情況.

日期t12345678910

銷售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

經(jīng)計(jì)算可得：片鑒巴％=2.2,第1切=118.73,￡巴t”385.

(1)由于同時(shí)在線人數(shù)過多，購(gòu)票平臺(tái)在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減

少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的回歸方程(精確到0.01),并估計(jì)第10天的正常銷量；

(2)假設(shè)每位顧客選擇4套餐的概率為看選擇B套餐的概率為看其中4套餐包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩

張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了n張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為P”求Pn；

(3)記(2)中所得概率「九的值構(gòu)成數(shù)列{Pn}(n6N*).

第3頁，共10頁

①求數(shù)列｛Pn｝的最值；

②數(shù)列收斂的定義：己知數(shù)列｛即｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)￡,總存在正整數(shù)No,使得當(dāng)n>No時(shí)，\an

-a\<￡,（a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列｛斯｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列｛P.｝收斂.回歸方程y

=a+6久中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

,^=iXiyt-nx-y~~

b=---------------sr-,a=y—bx.

￡之1蠟—nx

第4頁，共10頁

參考答案

1.D

2.C

3.X

4.2

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BD

11.ABC

12.-180

13.(-l,0)U(l,+8)

陰

15.解:⑴由2a+b=2ccosB,

根據(jù)正弦定理可得2si7h4+sinB=2sinCcosB,

則2s譏(B+C)+sinB=2sinCcosB,

所以2si?iBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcosB,整理得(2cosC+l)sinB=0,

因?yàn)镾C均為三角形內(nèi)角，所以8Ce(O.TT),sinBHO,

因此cosC=所以角C=多；

(2)因?yàn)镃D是角C的平分線，AD=3槨，DB二聲,

所以在△4CD和△BCD中，由正弦定理可得，器|=晶，境/=益，

因止匕s'”,=4號(hào)=3,即sinB=3sinA,所以6-3a,

sinADU

又由余弦定理可得=a2+b2—2abcosC,即(4JF)2=a2+9a2+3a2,

解得Q=4,所以匕=12,

ABC=S^ACD+$△BCD，

111

即5absin/ACB=-b-CD-sinZ.ACD+-a-CD-sinZ.BCD,

第5頁，共10頁

即48=16。。，所以CD=3.

16.解：(1)((%)=+xa-^=xa~r(aIn%+1),%>0,

由=$7(。岫+1)=。，得a=1,

當(dāng)a=1時(shí)，/'(%)=In%+1,

當(dāng)Xe(0,5)時(shí)，r(x)<0,

1

當(dāng)久e(-,+8)時(shí)，f，(x)>0,

所以函數(shù)在(o,今上單調(diào)遞減，在e+8)上單調(diào)遞增，

1

所以％=工為函數(shù)/(%)=din%的極小值點(diǎn)，

所以。=1；

(2)由(1)知/Q)疝?=/(6=—《

函數(shù)g(%)的導(dǎo)函數(shù)g'(%)=/c(i-%)e-x,

①若k>0,當(dāng)久vl時(shí)，“(%)>0,g(%)在(一8,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)%>1時(shí),“(%)<0,g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

1

對(duì)6('0,+oo),K3%2=-7，

111

使得0(%2)=9(-工)=一”<一1〈一下〈/。1)，即f(%i)-g(%2)之。，符合題意;

②若k=0,g(%)=0,取%1="1,對(duì)V%2ER，有/(%i)-g(%2)V。，不符題意;

③若k<0時(shí)，當(dāng)久VI時(shí)，g'(%)<0,g(%)在(一8,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)%>1時(shí)，“(%)>0,g(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g(l)=->

若對(duì)V%1€(0,+00),3%2eR,使得/'(久1)-9。2)N0,

只需g(X)?nin</(X)?nin，即《《一!，解得卜《一1；

綜上所述，女的取值范圍為(一8,-1]U(0,+8).

17.解：(1)如圖，連接PE,EC,EC交BD于點(diǎn)、G.

第6頁，共10頁

p

因?yàn)槠矫鍼4B1平面4BCD,平面PABC平面2BCD=AB,PEu平面P4B,

所以PE1平面4BCD,

因?yàn)锽Du平面力BCD,所以PE1BD.

直角三角形48。中，AB=2AD,直角三角形8CE中，BC=2BE,

S.AD=BE,AB=BC,

所以△BCE,

所以Z_CE8=4B￡M,所以NCEB+^ABD=90。，

所以BD1EC,

因?yàn)镻ECiEC=E,PE,ECu平面PEC,

所以8。_L平面PEC.

因?yàn)镋Fu平面PEC,所以BD1EF.

(2)如圖，取。。的中點(diǎn)H,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB,EH,EP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

F

y

A

c

x

不妨設(shè)4B=2,貝UBC=2,AD=1,PA=PB=①

則P(0,0,l),C(l,2,0),￡>(-1,1,0),E(0,0,0),

設(shè)FQ,y,z),~PF=APC(0<2<1),

所以(久,y,z-l)=4(1,2,-1),

第7頁，共10頁

所以x=4,y=22,z=1-A,gpF(Z,2Z,l-A).

則反=(2,1,0),PC=(1,2-1),EF=(A,2A,1~A),

設(shè)平面PC。的法向量為方=(a,6,c),貝I

修益二;，即匕2(r取帚=(1,—2,—3),

設(shè)EF與平面PCD所成的角為仇

由cos8得sin8=創(chuàng)叵.

1414

所以sine=|cos(m,￡T)|=昂得

_______4」—3+34|_________3vs

=V14X7^+4^2+(i^F=

整理得6健一2；1=0,

因?yàn)?<2<1,所以4=、即而=界，

故當(dāng)F位于棱PC靠近P的三等分點(diǎn)時(shí)，EF與平面PCD所成角的余弦值為0.

18.解：⑴由題意得橢圓的方程：%2+5=1,所以b=J.

16一

所以p=2b=2x1=1,所以拋物線Ci的方程是y2=x.

4Z

設(shè)點(diǎn)P?2,t),貝IJPQI2|PE|_?&2_2)2+

所以當(dāng)t2=^時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度取最小值與1.

(2)0(1?是拋物線的上位于第一象限的點(diǎn)，

t2=1,且t>0,0(1,1)；

設(shè)M(Q2"),N(扭力)，

則直線MN：y-a=程1。一。2),

即y—a=+4久一層),BP%—(a+b)y+ab=0,

直線DM：y-1§Px-(a+l)y+a=0,

由直線DM與圓相切得J1界1Tl戶=r,

BP(r2—l)a2+(2r2—4)a+(2r2-4)=0,

第8頁，共10頁

同理,由直線DN與圓相切得(*—1)按+(2/-4)b+(2r2-4)=0,

所以a,b是方程(丁2一1)%2+(272一4)%+(2/-4)=0的兩個(gè)解，

.1_4—2丁2_2r2-4

a+b=r2-i，"=r2-1,

代入方程%-(a+b)y+ab=。得(％+2y+2)r2+(—%—4y—4)=0,

.0+2y+2=0=0

..1%+4y+4=0，用牛付［y=-1-

???直線MN恒過定點(diǎn)(0,-1).

19廨：(1)剔除第10天數(shù)據(jù)后的(y)新=2.2X、-。.4=2.4,(6新=1+2B+9=5,(乎=巡防

)新=118.73-10X0.4=114.73,(空川的新=385-102=285,

114.73-9X5X2.4673

所以b=285-9x526000