2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)三十九事務(wù)的關(guān)系和運(yùn)算(15分鐘30分)1.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,事務(wù)A:命中環(huán)數(shù)大于8;事務(wù)B:命中環(huán)數(shù)大于5,則 ()A.A與B是互斥事務(wù)B.A與B是對(duì)立事務(wù)C.A?BD.A?B【解析】選C.事務(wù)A:命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事務(wù)B:命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán),故A?B.2.抽查10件產(chǎn)品,設(shè)“至少抽到2件次品”為事務(wù)A,則A的對(duì)立事務(wù)是 ()A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品【解析】選D.因?yàn)椤爸辽俪榈?件次品”就是說抽查10件產(chǎn)品中次品的數(shù)目至少有2件,所以A的對(duì)立事務(wù)是抽查10件產(chǎn)品中次品的數(shù)目最多有1件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取兩個(gè)球,下列狀況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A.至少有一個(gè)紅球;至少有一個(gè)白球B.恰有一個(gè)紅球;都是白球C.至少有一個(gè)紅球;都是白球D.至多有一個(gè)紅球;都是紅球【解析】選B.對(duì)于A,“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球,“至少有一個(gè)白球”可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球,故兩事務(wù)可能同時(shí)發(fā)生,所以不是互斥事務(wù);對(duì)于B,“恰有一個(gè)紅球”,則另一個(gè)必是白球,與“都是白球”是互斥事務(wù),而任取2個(gè)球還有都是紅球的情形,故兩事務(wù)不是對(duì)立事務(wù);對(duì)于C,“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白,與“都是白球”明顯是對(duì)立事務(wù);對(duì)于D,“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白,與“都是紅球”是對(duì)立事務(wù).3.從1,2,…,9中任取兩數(shù),其中:①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù);②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù);③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù);④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù).在上述各對(duì)事務(wù)中,是對(duì)立事務(wù)的是 ()A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】選C.從1,2,…,9中任取兩數(shù),包括一奇一偶、兩奇、兩偶,共三種互斥事務(wù),所以只有③中的兩個(gè)事務(wù)才是對(duì)立事務(wù).4.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書,從中任取1本,記取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事務(wù)A、B、C、D、E,則事務(wù)取出的是理科書可記為.

【解析】由題意可知事務(wù)“取到理科書”的可記為B∪D∪E.答案:B∪D∪E5.在投擲骰子試驗(yàn)中,依據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義很多事務(wù),如:A={出現(xiàn)1點(diǎn)},B={出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)},C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)},D={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}.求以上4個(gè)事務(wù)兩兩運(yùn)算的結(jié)果.【解析】在投擲骰子的試驗(yàn)中,依據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本領(lǐng)件,記作Ai={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i=1,2,…,6).則A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.A∩B=,A∩C=A,A∩D=.A∪B=A1∪A3∪A4={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3或4},A∪C=C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3或5},A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或2或4或6}.B∩C=A3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3},B∩D=A4={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4}.B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3或4或5}.B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2或3或4或6}.C∩D=,C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6}.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品,設(shè)A={三件產(chǎn)品全不是次品},B={三件產(chǎn)品全是次品},C={三件產(chǎn)品有次品,但不全是次品},則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ()A.A與C互斥 B.B與C互斥C.任何兩個(gè)都互斥 D.任何兩個(gè)都不互斥【解析】選D.由題意知事務(wù)A,B,C兩兩不行能同時(shí)發(fā)生,因此兩兩互斥.2.打靶3次,事務(wù)Ai表示“擊中i發(fā)”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示 ()A.全部擊中 B.至少擊中1發(fā)C.至少擊中2發(fā) D.以上均不正確【解析】選B.A1∪A2∪A3所表示的含義是A1,A2,A3這三個(gè)事務(wù)中至少有一個(gè)發(fā)生,即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā).3.同時(shí)拋擲兩枚勻稱的骰子,事務(wù)“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”的對(duì)立事務(wù)為 ()A.一個(gè)是5點(diǎn),另一個(gè)是6點(diǎn)B.一個(gè)是5點(diǎn),另一個(gè)是4點(diǎn)C.至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)D.至多有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)【解題指南】考慮事務(wù)“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”所包含的各種狀況,然后再考慮其對(duì)立事務(wù).【解析】選C.設(shè)兩枚骰子分別為甲、乙,則其點(diǎn)數(shù)的可能值包括以下四種可能:甲是5點(diǎn)且乙是6點(diǎn),甲是5點(diǎn)且乙不是6點(diǎn),甲不是5點(diǎn)且乙是6點(diǎn),甲不是5點(diǎn)且乙不是6點(diǎn),事務(wù)“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”為第四種狀況,故其對(duì)立事務(wù)是前三種狀況.【誤區(qū)警示】解答本題簡單忽視依據(jù)兩個(gè)骰子是否為5點(diǎn)或6點(diǎn)對(duì)全部可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析,導(dǎo)致錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋擲一枚骰子,記事務(wù)A為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”,事務(wù)B為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,事務(wù)C為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”,事務(wù)D為“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是6或4”,則下列每對(duì)事務(wù)是互斥事務(wù)但不是對(duì)立事務(wù)的是 ()A.A與B B.B與CC.A與D D.C與D【解析】選C.A與B互斥且對(duì)立;B與C有可能同時(shí)發(fā)生,即出現(xiàn)6,從而不互斥;A與D不會(huì)同時(shí)發(fā)生,從而A與D互斥,又因?yàn)檫€可能出現(xiàn)2,故A與D不對(duì)立;C與D有可能同時(shí)發(fā)生,從而不互斥.4.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次放射一枚炮彈,設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)},B={兩次都沒擊中飛機(jī)},C={恰有一炮彈擊中飛機(jī)},D={至少有一炮彈擊中飛機(jī)},下列關(guān)系不正確的是 ()A.A?D B.B∩D=C.A∪C=D D.A∪B=B∪D【解析】選D.“恰有一炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中其次枚沒中或第一枚沒中其次枚擊中,“至少有一炮彈擊中飛機(jī)”包含兩種狀況:一種是恰有一炮彈擊中,一種是兩炮彈都擊中,所以A∪B≠B∪D.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.一批產(chǎn)品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.從這批產(chǎn)品中隨意抽取5件,現(xiàn)給出以下四個(gè)事務(wù):事務(wù)A:“恰有一件次品”;事務(wù)B:“至少有兩件次品”;事務(wù)C:“至少有一件次品”;事務(wù)D:“至多有一件次品”.則選項(xiàng)中結(jié)論正確的是 ()A.A∪B=C B.D∪B是必定事務(wù)C.A∪B=B D.A∪D=C【解析】選AB.A∪B表示的事務(wù)為至少有一件次品,即事務(wù)C,所以A正確,C不正確;D∪B表示的事務(wù)為至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了全部狀況,所以B正確;A∪D表示的事務(wù)為至多有一件次品,即事務(wù)D,所以D不正確.6.從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球,則與事務(wù)“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事務(wù)是 ()A.兩球都不是白球B.兩球恰有一個(gè)白球C.兩球至少有一個(gè)白球D.兩球都是黑球【解析】選ABD.依據(jù)題意,結(jié)合互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的定義可得,選項(xiàng)A,事務(wù)“兩球都為白球”和事務(wù)“兩球都不是白球”不行能同時(shí)發(fā)生,故它們是互斥事務(wù).但這兩個(gè)事務(wù)不是對(duì)立事務(wù),因?yàn)樗鼈兊暮褪聞?wù)不是必定事務(wù).選項(xiàng)B,事務(wù)“兩球都為白球”和事務(wù)“兩球恰有一個(gè)白球”是互斥而非對(duì)立事務(wù).選項(xiàng)C,事務(wù)“兩球都為白球”和事務(wù)“兩球至少有一個(gè)白球”可能同時(shí)發(fā)生,故它們不是互斥事務(wù);選項(xiàng)D,事務(wù)“兩球都為白球”和事務(wù)“兩球都是黑球”是互斥而非對(duì)立事務(wù).三、填空題(每小題5分,共10分)7.下列各對(duì)事務(wù):①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”;②甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”;③甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”;④甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有一人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙沒有射中目標(biāo)”.其中是互斥事務(wù)的有,是包含關(guān)系的有.

【解析】①甲射擊一次“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”不能同時(shí)發(fā)生,是互斥事務(wù);②甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”不是同一試驗(yàn)的結(jié)果,不探討包含或互斥關(guān)系;③甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”不能同時(shí)發(fā)生,是互斥事務(wù);④甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,“至少有一人射中目標(biāo)”,即“甲射中目標(biāo)但乙沒有射中目標(biāo)”或“乙射中目標(biāo)但甲沒有射中目標(biāo)”或“甲、乙都射中目標(biāo)”,具有包含關(guān)系.答案:①③④8.已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中隨意取出3件,設(shè)E表示事務(wù)“3件產(chǎn)品全不是次品”,F表示事務(wù)“3件產(chǎn)品全是次品”,G表示事務(wù)“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

①F與G互斥②E與G互斥但不對(duì)立③E,F,G隨意兩個(gè)事務(wù)均互斥④E與G對(duì)立【解析】由題意得事務(wù)E與事務(wù)F不行能同時(shí)發(fā)生,是互斥事務(wù);事務(wù)E與事務(wù)G不行能同時(shí)發(fā)生,是互斥事務(wù);當(dāng)事務(wù)F發(fā)生時(shí),事務(wù)G肯定發(fā)生,所以事務(wù)F與事務(wù)G不是互斥事務(wù).故①,③錯(cuò).事務(wù)E與事務(wù)G中必有一個(gè)發(fā)生,所以事務(wù)E與事務(wù)G對(duì)立,所以②錯(cuò)誤,④正確.答案:④四、解答題(每小題10分,共20分)9.在擲骰子的試驗(yàn)中,可以定義很多事務(wù).例如,事務(wù)C1={出現(xiàn)1點(diǎn)},事務(wù)C2={出現(xiàn)2點(diǎn)},事務(wù)C3={出現(xiàn)3點(diǎn)},事務(wù)C4={出現(xiàn)4點(diǎn)},事務(wù)C5={出現(xiàn)5點(diǎn)},事務(wù)C6={出現(xiàn)6點(diǎn)},事務(wù)D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1},事務(wù)D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3},事務(wù)D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5},事務(wù)E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7},事務(wù)F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)},事務(wù)G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)},請(qǐng)依據(jù)上述定義的事務(wù),回答下列問題.(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù).(2)利用和事務(wù)的定義,推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù).【解析】(1)因?yàn)槭聞?wù)C1,C2,C3,C4發(fā)生,則事務(wù)D3必發(fā)生,所以C1?D3,C2?D3,C3?D3,C4?D3.同理可得,事務(wù)E包含事務(wù)C1,C2,C3,C4,C5,C6;事務(wù)D2包含事務(wù)C4,C5,C6;事務(wù)F包含事務(wù)C2,C4,C6;事務(wù)G包含事務(wù)C1,C3,C5.且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等,即C1=D1.(2)因?yàn)槭聞?wù)D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}={出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5,E=F+G,E=D2+D3.10.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)參與演講競賽,推斷下列每對(duì)事務(wù)是不是互斥事務(wù),假如是,再判別它們是不是對(duì)立事務(wù).(1)恰有1名男生與恰有2名男生;(2)至少有1名男生與全是男生;(3)至少有1名男生與全是女生;(4)至少有1名男生與至少有1名女生.【解題指南】判別兩個(gè)事務(wù)是否互斥,就要考察它們是否能同時(shí)發(fā)生;判別兩個(gè)互斥事務(wù)是否對(duì)立,就要考察它們是否必有一個(gè)發(fā)生.【解析】(1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不行能同時(shí)發(fā)生,所以它們是互斥事務(wù);當(dāng)恰有2名女生時(shí)它們都不發(fā)生,所以它們不是對(duì)立事務(wù).(2)因?yàn)榍∮?名男生時(shí)“至少有1名男生”與“全是男生”同時(shí)發(fā)生,所以它們不是互斥事務(wù).(3)因?yàn)椤爸辽儆?名男生”與“全是女生”不行能同時(shí)發(fā)生,所以它們互斥;由于它們必有一個(gè)發(fā)生,所以它們對(duì)立.(4)由于選出的是1名男生1名女生時(shí)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生,所以它們不是互斥事務(wù).1.假如事務(wù)A,B互斥,那么 ()A.A∪B是必定事務(wù) B.QUOTE∪QUOTE是必定事務(wù)C.QUOTE與QUOTE肯定互斥 D.QUOTE與QUOTE肯定不互斥【解析】選B.用集合表示法中的“Venn圖”解決比較直觀,如圖所示,QUOTE∪QUOTE=I是必定事務(wù).2.從學(xué)號(hào)為1,2,3,4,5,6的六名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)當(dāng)班長,其中1,3,5號(hào)同學(xué)為男生,2,4,6號(hào)同學(xué)為女生,記:C1=“選出1號(hào)同學(xué)”,C2=“選出2號(hào)同學(xué)”,C3=“選出3號(hào)同學(xué)”,C4=“選出4號(hào)同學(xué)”,C5=“選出5號(hào)同學(xué)”,C6=“選出6號(hào)同學(xué)”,D1=“選出的同學(xué)學(xué)號(hào)不大于1”,D2=“選出的同學(xué)學(xué)號(hào)大于4”,D3=“選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于6”,E=