2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章復(fù)數(shù)4.1.2定積分課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十八定積分(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.定積分QUOTE(-3)dx等于()A.-6 B.6 C.-3 D.3【解析】選A.由定積分的幾何意義可知QUOTE(-3)dx表示由x=1，x=3，y=0及y=-3所圍成的矩形面積的相反數(shù)，故QUOTE(-3)dx=-6.【加練·固】已知QUOTExdx=2，則QUOTExdx等于()A.0 B.2 C.-1 D.-2【解析】選D.可以依據(jù)定積分的幾何意義進(jìn)行推斷.2.下列結(jié)論不正確的是()A.若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則QUOTEf(x)dx=0B.若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dxC.若f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則QUOTEf(x)dx>0D.若f(x)在[a，b)上連續(xù)且QUOTEf(x)dx>0，則f(x)在[a，b)上恒正【解析】選D.對(duì)于A，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，B正確；C明顯正確；對(duì)于D，f(x)可以小于0，但必需有大于0的部分，且f(x)>0的曲線與x軸圍成的面積比f(x)<0的曲線與x軸圍成的面積大，D不正確.3.下列等式不成立的是()A.QUOTE[mf(x)+ng(x)]dx=mQUOTEf(x)dx+nQUOTEg(x)dxB.QUOTE[f(x)+1]dx=QUOTEf(x)dx+b-aC.QUOTEf(x)g(x)dx=QUOTEf(x)dx·QUOTEg(x)dxD.QUOTEsinxdx=QUOTEsinxdx+QUOTEsinxdx【解析】選C.利用定積分的性質(zhì)可推斷A，B，D成立，C不成立.4.定積分QUOTEdx的值為()A.QUOTE B.9π C.18π D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)镼UOTEdx表示圓x2+y2=9的面積的一半，所以QUOTEdx=QUOTE×π×32=QUOTE.二、填空題(每小題5分，共10分)5.已知定積分QUOTEf(x)dx=8，且f(x)是偶函數(shù)，則QUOTEf(x)dx的值為_________.

【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以QUOTEf(x)dx=QUOTEf(x)dx，所以QUOTEf(x)dx=2QUOTEf(x)dx=16.答案：166.若QUOTEcosxdx=1，則由x=0，x=π，f(x)=sinx及x軸圍成的圖形的面積為_________.

【解析】由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像知：f(x)=sinx，x∈[0，π]的圖像與x軸圍成的圖形的面積等于g(x)=cosx，x∈[0，QUOTE]的圖像與x軸圍成的圖形的面積的2倍，所以答案為2.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)7.利用定積分的幾何意義求下列定積分.(1)QUOTEdx.(2)QUOTE(x3+3x)dx.【解題指南】對(duì)于(1)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間，畫出圖形，然后用幾何法求出圖形面積，從而確定定積分的值；對(duì)于(2)可依據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解.【解析】(1)被積函數(shù)的圖像是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，以R為半徑的半圓，如圖所示，所以QUOTEdx=QUOTE·πR2=QUOTE.(2)因?yàn)閥=x3+3x在區(qū)間[-1，1]上為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等.由定積分的幾何意義知QUOTE(x3+3x)dx=0.8.利用定積分的幾何意義證明下列等式成立.(1)QUOTEcosxdx=2QUOTEcosxdx.(2)QUOTEsinxdx=0.【證明】(1)函數(shù)y=cosx，x∈QUOTE是偶函數(shù)，所以曲線y=cosx，x∈QUOTE與x軸圍成圖形的面積S1等于曲線y=cosx，x∈QUOTE與x軸圍成圖形的面積S2，于是由定積分的幾何意義，有QUOTEcosxdx=S1+S2=2S2=2QUOTEcosxdx.(2)函數(shù)y=sinx，x∈[-π，π]是奇函數(shù)，設(shè)曲線y=sinx，x∈[-π，0]與x軸圍成圖形的面積為S1，設(shè)曲線y=sinx，x∈[0，π]與x軸圍成圖形的面積為S2，易知S1=S2，從而由定積分的幾何意義，有QUOTEsinxdx=-S1+S2=0.(15分鐘·30分)1.(5分)與定積分QUOTE|cosx|dx相等的是()A.QUOTEB.QUOTEcosxdxC.QUOTEcosxdx-QUOTEcosxdxD.QUOTEcosxdx-QUOTEcosxdx【解析】選D.因?yàn)楸环e函數(shù)f(x)=|cosx|=所以QUOTE|cosx|dx=QUOTEcosxdx+QUOTE(-cosx)dx=QUOTEcosxdx-QUOTEcosxdx.2.(5分)由曲線y=ex和x=0，y=2圍成圖形的面積S表示為()A.QUOTEexdx B.2ln2-QUOTEexdxC.QUOTE(2+ex)dx D.以上都不對(duì)【解析】選B.如圖所示，可先求得由x軸，x=0，x=ln2和y=ex圍成的曲邊梯形的面積Ⅰ即為QUOTEexdx，再由矩形面積2ln2減去該曲邊梯形面積可得所求面積S.3.(5分)QUOTEdx=_________.

【解題指南】干脆求解不簡單，就應(yīng)當(dāng)考慮特別圖形，比如本題的圖形就是圓的一部分.【解析】QUOTEdx表示圓(x-3)2+y2=1的四分之一的面積，如圖陰影所示，面積S=QUOTEπ×12=QUOTE，即QUOTEdx=QUOTE.答案：QUOTE4.(5分)已知QUOTEx2dx=QUOTE，QUOTEx2dx=QUOTE，則QUOTEdx=_________.

【解析】因?yàn)镼UOTEx2dx=QUOTEx2dx+QUOTEx2dx=QUOTE+QUOTE=QUOTE，QUOTE1dx=2，所以QUOTEdx=QUOTEx2dx+QUOTE1dx=QUOTE+2=QUOTE.答案：QUOTE5.(10分)用定積分表示拋物線y=x2-2x+3與直線y=x+3所圍成的圖形的面積.【解析】解方程組QUOTE得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=0和x=3.如圖，由y=x2-2x+3，x=0，x=3和y=0圍成的曲邊梯形的面積為QUOTE(x2-2x+3)dx，由y=x+3，x=0，x=3和y=0圍成的梯形的面積為QUOTE(x+3)dx，所以所求圖形(陰影)的面積為QUOTE(x+3)dx-QUOTE(x2-2x+3)dx=QUOTE(-x2+3x)dx.1.若QUOTEdx=QUOTE，則m=_________.

【解析】依據(jù)定積分的幾何意義QUOTEdx表示圓(x+1)2+y2=1和直線x=-2，x=m和y=0圍成的圖形的面積，又QUOTEdx=QUOTE，為四分之一圓的面積，結(jié)合圖形知m=-1.答案：-12.計(jì)算QUOTEdx.【解析】由y=QUOTE可知，x2+y2=1(y≥0)圖像如圖，由定積分的幾何意義知QUOTEdx等于圓心角為120°的弓形CED的面積與矩形ABC