2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.4第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE1-第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用．(重點(diǎn))2.嫻熟駕馭等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3.能用遞推公式求通項(xiàng)公式．(難點(diǎn))1.通過(guò)敏捷設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列問(wèn)題以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2.借助遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)，培育邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．推廣的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*).2．“子數(shù)列”性質(zhì)對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak＋1，公比為q；若取出全部的k的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak，公比為qk．思索：如何推導(dǎo)an＝amqn－m?[提示]由eq\f(an,am)＝eq\f(a1·qn－1,a1·qm－1)＝qn－m，∴an＝am·qn－m.3．等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq．①特殊地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am·an＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k))．②對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….4．兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列{an}，{bn}均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列{can}，{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也為等比數(shù)列．思索：等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1，2，4，8，下列推斷正確的是(1){3an}是等比數(shù)列；(2){3＋an}是等比數(shù)列；(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比數(shù)列；(4){a2n}是等比數(shù)列．[提示]由定義可推斷出(1)(3)(4)正確．1．對(duì)隨意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法肯定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列[答案]D2．等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝2，則a4＝，an＝．243×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比數(shù)列{an}中，a5＝4，a7＝6，則a9＝．9[因?yàn)閍7＝a5q2，所以q2＝eq\f(3,2).所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×eq\f(9,4)＝9.]4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a25[因?yàn)閍7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8敏捷設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列【例1】已知4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為－eq\f(3,2)，則此4個(gè)數(shù)為．8，－2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,8)或－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)，－2，8[設(shè)此4個(gè)數(shù)為a，aq，aq2，aq3.則a4q6＝1，aq(1＋q)＝－eq\f(3,2)，①所以a2q3＝±1，當(dāng)a2q3＝1時(shí)，q>0，代入①式化簡(jiǎn)可得q2－eq\f(1,4)q＋1＝0，此方程無(wú)解；當(dāng)a2q3＝－1時(shí)，q<0，代入①式化簡(jiǎn)可得q2＋eq\f(17,4)q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－eq\f(1,4).當(dāng)q＝－4時(shí)，a＝－eq\f(1,8)；當(dāng)q＝－eq\f(1,4)時(shí)，a＝8.所以這4個(gè)數(shù)為8，－2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,8)或－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)，－2，8.]巧設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法(1)若三數(shù)成等差數(shù)列，常設(shè)成a－d，a，a＋d.若三數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)成eq\f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq，aq2.若四個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8，后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為－80，求出這四個(gè)數(shù)．[解]由題意設(shè)此四個(gè)數(shù)為eq\f(b,q)，b，bq，a，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b3＝－8，,2bq＝a＋b，,ab2q＝－80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2)．))所以這四個(gè)數(shù)為1，－2，4，10或－eq\f(4,5)，－2，－5，－8.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】已知{an}為等比數(shù)列．(1){an}滿意a2a4＝eq\f(1,2)，求a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5；(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log思路探究：利用等比數(shù)列的性質(zhì)，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq求解．[解](1)等比數(shù)列{an}中，因?yàn)閍2a4＝eq\f(1,2)，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝a1a5＝a2a4＝eq\f(1,2)，所以a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5＝eq\f(1,4).(2)由等比中項(xiàng)，化簡(jiǎn)條件得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋2a3a5＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝25，即(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log＝log3(a1a2…a10＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(＝log395＝10.有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題，基本方法是運(yùn)用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項(xiàng)公式求解．但有時(shí)運(yùn)算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡(jiǎn)便快捷，為了發(fā)覺(jué)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a3＝3，a11＝27，求a7；(2)已知{an}為等比數(shù)列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.[解](1)法一：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝3，,a1q10＝27))相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.法二：因?yàn)閍eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝a3a11＝81，所以a7＝±9，又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.(2)因?yàn)閍2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝eq\f(a7,a3)＝4或eq\f(1,4)，所以q＝±eq\r(2)或q＝±eq\f(\r(2),2).由遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)[探究問(wèn)題]1．假如數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，你能推斷出{an}是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列嗎？[提示]由等差數(shù)列與等比數(shù)列的遞推關(guān)系，可知數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列．2．在探究1中，若將an＋1＝2an＋1兩邊都加1，再視察等式的特點(diǎn)，你能構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列嗎？[提示]在an＋1＝2an＋1兩邊都加1得an＋1＋1＝2(an＋1)，明顯數(shù)列{an＋1}是以a1＋1＝2為首項(xiàng)，以q＝2為公比的等比數(shù)列．3．在探究1中，若將an＋1＝2an＋1改為an＋1＝3an＋5，又應(yīng)如何構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列？你能求出an嗎？[提示]先將an＋1＝3an＋5變形為an＋1＋x＝3(an＋x).將該式整理為an＋1＝3an＋2x與an＋1＝3an＋5對(duì)比可知2x＝5，即x＝eq\f(5,2)；所以在an＋1＝3an＋5兩邊都加eq\f(5,2)，可構(gòu)造出等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(5,2))).利用等比數(shù)列求出an＋eq\f(5,2)即可求出an.【例3】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的關(guān)系得{an}的遞推關(guān)系，然后構(gòu)造出數(shù)列{an－1}利用定義證明．[解](1)因?yàn)镾n＝2an＋n－4，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1＋1－4，解得a1(2)證明：因?yàn)镾n＝2an＋n－4，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．1．將本例條件“Sn＝2an＋n－4”改為“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改為“bn＝an＋1－2an”，試證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求{b[證明]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(（4an＋1－4an）－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.所以數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a2－2a1因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1所以bn＝3·2n－1.2．將本例條件“Sn＝2an＋n－4”改為“a1＝1，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＝2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋anan＋1”，試證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．[解]由已知得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－anan＋1－2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，(1)當(dāng)an＋1－2an＝0時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝2.又a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．所以an＝2n－1.(2)當(dāng)an＋1＋an＝0時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝－1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－1的等比數(shù)列，所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.綜上：an＝2n－1或(－1)n－1.1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和或前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)，常用an與Sn的關(guān)系求解．2．由遞推關(guān)系an＋1＝Aan＋B(A，B為常數(shù)，且A≠0，A≠1)求an時(shí)，由待定系數(shù)法設(shè)an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝eq\f(B,A－1)，這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列{an＋λ}．1．解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先考慮通式通法，而不是花費(fèi)大量時(shí)間找簡(jiǎn)便方法．2．所謂通式通法，指應(yīng)用通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)等列出方程(組)，求出基本量．3．巧用等比數(shù)列的性質(zhì)，削減計(jì)算量，這一點(diǎn)在解題中也特別重要．1．推斷正誤(1)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積． ()(2)當(dāng)q>1時(shí)，{an}為遞增數(shù)列． ()(3)當(dāng)q＝1時(shí)，{an}為常數(shù)列． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](2)當(dāng)a1>0且q>1時(shí){an}為遞增數(shù)列，故(2)錯(cuò)．2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，3a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a2020－a2021,a2018－a2019)等于()A．3或－1 B．9或1C．1 D．9D[由3a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1(舍).∴eq\f(a2020－a2021,a2018－a2019)＝eq\f(a2020（1－q）,a2018（1－q）)＝eq\f(a2020,a2018)＝q2＝9.]3．在eq\f(1,2)和8之間插入3個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則這3個(gè)數(shù)的積為．8[設(shè)插入的3個(gè)數(shù)依次為a，b，c，即eq\f(1,2)，a，b，c，8成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得b2＝ac＝eq\f(1,2)×8＝4，因?yàn)閍2＝eq\f(1,2)b>0，∴b＝2(舍負(fù)).所以這3個(gè)數(shù)的積為abc＝4×2＝8.]4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求(2)若a