2024-2025學年高中數(shù)學第2章數(shù)列2.4第2課時等比數(shù)列的性質學案含解析新人教A版必修5

PAGE1-第2課時等比數(shù)列的性質學習目標核心素養(yǎng)1.駕馭等比數(shù)列的性質及其應用．(重點)2.嫻熟駕馭等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應用．(難點、易錯點)3.能用遞推公式求通項公式．(難點)1.通過敏捷設項求解等比數(shù)列問題以及等比數(shù)列性質的應用，培育數(shù)學運算素養(yǎng)．2.借助遞推公式轉化為等比數(shù)列求通項，培育邏輯推理及數(shù)學運算素養(yǎng)．1．推廣的等比數(shù)列的通項公式{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*).2．“子數(shù)列”性質對于無窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為等比數(shù)列，首項為ak＋1，公比為q；若取出全部的k的倍數(shù)項，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，首項為ak，公比為qk．思索：如何推導an＝amqn－m?[提示]由eq\f(an,am)＝eq\f(a1·qn－1,a1·qm－1)＝qn－m，∴an＝am·qn－m.3．等比數(shù)列項的運算性質在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq．①特殊地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am·an＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(k))．②對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….4．兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質若數(shù)列{an}，{bn}均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列{can}，{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也為等比數(shù)列．思索：等比數(shù)列{an}的前4項為1，2，4，8，下列推斷正確的是(1){3an}是等比數(shù)列；(2){3＋an}是等比數(shù)列；(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比數(shù)列；(4){a2n}是等比數(shù)列．[提示]由定義可推斷出(1)(3)(4)正確．1．對隨意等比數(shù)列{an}，下列說法肯定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列[答案]D2．等比數(shù)列{an}中，a1＝3，q＝2，則a4＝，an＝．243×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比數(shù)列{an}中，a5＝4，a7＝6，則a9＝．9[因為a7＝a5q2，所以q2＝eq\f(3,2).所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×eq\f(9,4)＝9.]4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a25[因為a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8敏捷設項求解等比數(shù)列【例1】已知4個數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－eq\f(3,2)，則此4個數(shù)為．8，－2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,8)或－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)，－2，8[設此4個數(shù)為a，aq，aq2，aq3.則a4q6＝1，aq(1＋q)＝－eq\f(3,2)，①所以a2q3＝±1，當a2q3＝1時，q>0，代入①式化簡可得q2－eq\f(1,4)q＋1＝0，此方程無解；當a2q3＝－1時，q<0，代入①式化簡可得q2＋eq\f(17,4)q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－eq\f(1,4).當q＝－4時，a＝－eq\f(1,8)；當q＝－eq\f(1,4)時，a＝8.所以這4個數(shù)為8，－2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,8)或－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)，－2，8.]巧設等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法(1)若三數(shù)成等差數(shù)列，常設成a－d，a，a＋d.若三數(shù)成等比數(shù)列，常設成eq\f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四個數(shù)成等比數(shù)列，可設為eq\f(a,q)，a，aq，aq2.若四個正數(shù)成等比數(shù)列，可設為eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3.eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．有四個實數(shù)，前三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8，后三個數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為－80，求出這四個數(shù)．[解]由題意設此四個數(shù)為eq\f(b,q)，b，bq，a，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b3＝－8，,2bq＝a＋b，,ab2q＝－80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2)．))所以這四個數(shù)為1，－2，4，10或－eq\f(4,5)，－2，－5，－8.等比數(shù)列的性質及應用【例2】已知{an}為等比數(shù)列．(1){an}滿意a2a4＝eq\f(1,2)，求a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5；(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log思路探究：利用等比數(shù)列的性質，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq求解．[解](1)等比數(shù)列{an}中，因為a2a4＝eq\f(1,2)，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝a1a5＝a2a4＝eq\f(1,2)，所以a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5＝eq\f(1,4).(2)由等比中項，化簡條件得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋2a3a5＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝25，即(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.(3)由等比數(shù)列的性質知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log＝log3(a1a2…a10＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(＝log395＝10.有關等比數(shù)列的計算問題，基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項公式求解．但有時運算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質解題，卻簡便快捷，為了發(fā)覺性質，要充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．(1)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a3＝3，a11＝27，求a7；(2)已知{an}為等比數(shù)列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.[解](1)法一：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝3，,a1q10＝27))相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.法二：因為aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝a3a11＝81，所以a7＝±9，又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.(2)因為a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝eq\f(a7,a3)＝4或eq\f(1,4)，所以q＝±eq\r(2)或q＝±eq\f(\r(2),2).由遞推公式轉化為等比數(shù)列求通項[探究問題]1．假如數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，你能推斷出{an}是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列嗎？[提示]由等差數(shù)列與等比數(shù)列的遞推關系，可知數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列．2．在探究1中，若將an＋1＝2an＋1兩邊都加1，再視察等式的特點，你能構造出一個等比數(shù)列嗎？[提示]在an＋1＝2an＋1兩邊都加1得an＋1＋1＝2(an＋1)，明顯數(shù)列{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，以q＝2為公比的等比數(shù)列．3．在探究1中，若將an＋1＝2an＋1改為an＋1＝3an＋5，又應如何構造出一個等比數(shù)列？你能求出an嗎？[提示]先將an＋1＝3an＋5變形為an＋1＋x＝3(an＋x).將該式整理為an＋1＝3an＋2x與an＋1＝3an＋5對比可知2x＝5，即x＝eq\f(5,2)；所以在an＋1＝3an＋5兩邊都加eq\f(5,2)，可構造出等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(5,2))).利用等比數(shù)列求出an＋eq\f(5,2)即可求出an.【例3】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的關系得{an}的遞推關系，然后構造出數(shù)列{an－1}利用定義證明．[解](1)因為Sn＝2an＋n－4，所以當n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1(2)證明：因為Sn＝2an＋n－4，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．1．將本例條件“Sn＝2an＋n－4”改為“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改為“bn＝an＋1－2an”，試證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求{b[證明]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(（4an＋1－4an）－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.所以數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，首項為a2－2a1因為S2＝a1＋a2＝4a1＋2所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1所以bn＝3·2n－1.2．將本例條件“Sn＝2an＋n－4”改為“a1＝1，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＝2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋anan＋1”，試證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式．[解]由已知得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－anan＋1－2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，(1)當an＋1－2an＝0時，eq\f(an＋1,an)＝2.又a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．所以an＝2n－1.(2)當an＋1＋an＝0時，eq\f(an＋1,an)＝－1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為－1的等比數(shù)列，所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.綜上：an＝2n－1或(－1)n－1.1．已知數(shù)列的前n項和或前n項和與通項的關系求通項，常用an與Sn的關系求解．2．由遞推關系an＋1＝Aan＋B(A，B為常數(shù)，且A≠0，A≠1)求an時，由待定系數(shù)法設an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝eq\f(B,A－1)，這樣就構造了等比數(shù)列{an＋λ}．1．解題時，應當首先考慮通式通法，而不是花費大量時間找簡便方法．2．所謂通式通法，指應用通項公式，前n項和公式，等差中項，等比中項等列出方程(組)，求出基本量．3．巧用等比數(shù)列的性質，削減計算量，這一點在解題中也特別重要．1．推斷正誤(1)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積． ()(2)當q>1時，{an}為遞增數(shù)列． ()(3)當q＝1時，{an}為常數(shù)列． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](2)當a1>0且q>1時{an}為遞增數(shù)列，故(2)錯．2．在正項等比數(shù)列{an}中，3a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a2020－a2021,a2018－a2019)等于()A．3或－1 B．9或1C．1 D．9D[由3a1，eq\f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1(舍).∴eq\f(a2020－a2021,a2018－a2019)＝eq\f(a2020（1－q）,a2018（1－q）)＝eq\f(a2020,a2018)＝q2＝9.]3．在eq\f(1,2)和8之間插入3個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)依次構成等比數(shù)列，則這3個數(shù)的積為．8[設插入的3個數(shù)依次為a，b，c，即eq\f(1,2)，a，b，c，8成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質可得b2＝ac＝eq\f(1,2)×8＝4，因為a2＝eq\f(1,2)b>0，∴b＝2(舍負).所以這3個數(shù)的積為abc＝4×2＝8.]4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求(2)若a