吉林省吉林市2024−2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

吉林省吉林市2024?2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若全集，則（

）A． B． C． D．2．下列各命題中，真命題是（

）A． B．C． D．3．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長(zhǎng)x應(yīng)為（

）A．10m B．15m C．20m D．25m5．已知奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則（

）A．1 B．2 C． D．6．向高為H的水瓶?jī)?nèi)注水，一直到注滿(mǎn)為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是（

）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足恒成立，則的最小值為（

）A．2 B．0 C．1 D．48．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．為偶函數(shù)B．為單調(diào)遞增函數(shù)C．若，則D．若，則11．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)．設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，也被稱(chēng)為“高斯函數(shù)”，例如：．已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．在上的值域是C．在上是增函數(shù)D．三、填空題（本大題共3小題）12．計(jì)算：.13．已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則.14．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知冪函數(shù)，且的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式（）的解集，：，：.(1)求集合，集合；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．一片森林原來(lái)面積為2021萬(wàn)畝，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐的面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的.（1）求每年砍伐面積的百分比；（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？（3）今后最多還能砍伐多少年？18．已知函數(shù)(且)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若且關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（ⅱ）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】由，得，而，所以.故選：C2．【答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,,即或,故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)D,為無(wú)理數(shù),故D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,故C為真命題,故選C3．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價(jià)于，顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選：A.4．【答案】C【詳解】設(shè)矩形花園的寬為ym，則，即，矩形花園的面積，其中，故當(dāng)m時(shí)，面積最大.故選：C5．【答案】C【詳解】依題意是奇函數(shù)，由于時(shí)，，所以，所以時(shí)，，所以.故選：C6．【答案】B【詳解】解：當(dāng)容器是圓柱時(shí)，容積V=πr2h，r不變，V是h的正比例函數(shù)，其圖象是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，∴選項(xiàng)D不滿(mǎn)足條件；由函數(shù)圖象可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢(shì)變緩，∴容器平行于底面的截面半徑由下到上逐漸變小，∴A、C不滿(mǎn)足條件，而B(niǎo)滿(mǎn)足條件.故選：B．7．【答案】A【詳解】，所以，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，即.故選：A．8．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則，當(dāng)，時(shí)，，則，當(dāng)，時(shí)，，則，作出函數(shù)的大致圖象，對(duì)任意，都有，設(shè)的最大值為，則，所以，解得或，結(jié)合圖象知m的最大值為，即的取值范圍是.故選：C.9．【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故，B正確；C選項(xiàng)，，不等式兩邊同時(shí)乘以得，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，不等式兩邊同除以得，，D正確.故選：ABD10．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到，定義域?yàn)?，然后逐?xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則，定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以不是偶函數(shù)，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

由圖象知：，所以當(dāng)時(shí)，，故選BCD.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A(yíng)，的定義域?yàn)镽，又，所以是偶函數(shù)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以在的值域是，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，故C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D，因?yàn)楹愠闪?，所以，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD12．【答案】【詳解】解：.故答案為：13．【答案】3【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的知識(shí)可知，解得，所以.14．【答案】【詳解】解：對(duì)于函數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于函數(shù)，令，則，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，令，解得或，所以與的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，則函數(shù)與的圖象如下所示：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)函數(shù)的值域不為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的值域不為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，即，此時(shí)的值域?yàn)椋项}意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，符合題意；綜上可得.故答案為：15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）函數(shù)為冪函數(shù)，，解得或，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，舍去；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，；（2）明顯在上單調(diào)遞增，對(duì)于，有，解得或16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，解得，∴，∵（），∴，解得或，?（2）∵是的充分不必要條件，∴，，令，則，∴且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.17．【答案】（1）每年砍伐面積的百分比為；（2）到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）今后最多還能砍伐15年．【詳解】（1）設(shè)每年砍伐面積的百分比為，則，解得，所以每年砍伐面積的百分比為；（2）設(shè)到今年為止，該森林已砍伐了年，則，又，則，，,所以到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）設(shè)今后最多還能砍伐年，則，，，．所以今后最多還能砍伐15年.答：（1）每年砍伐面積的百分比為；（2）到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）今后最多還能砍伐15年．18．【答案】(1)2；(2).【詳解】（1）由是上的奇函數(shù)，得，解得，此時(shí)，顯然，即是奇函數(shù)，所以.（2）由（1）知，，由，得，而且，解得，函數(shù)都是上的增函數(shù)，因此在上單調(diào)遞增，不等式，依題意，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．【答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，令，可得．（2）（?。┳C明：由，得，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)．（ⅱ），則在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?，設(shè)在上的值域?yàn)锳，對(duì)任意，總存在，使得成立，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，且，當(dāng)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱(chēng)性可知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，所以?/p>