湖南省邵東市 2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）．A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知直線與不重合，則“直線與的斜率相等”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要3．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．如圖所示，空間四邊形中，，點在上，且為的中點，，則的值分別為（

）

A． B． C． D．5．到直線的距離為的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．6．若直線：關(guān)于直線l：對稱的直線為，則的方程為（

）A． B．C． D．7．公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．如圖，棱長為2的正方體中，P為線段上動點（包括端點）．①三棱錐中，點P到面的距離為定值②過點P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為③直線與面所成角的正弦值的范圍為④當(dāng)點P為中點時，三棱錐的外接球表面積為以上命題為真命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法不正確的是（

）A．直線經(jīng)過定點B．過，兩點的所有直線的方程為C．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是10．已知圓及點，則下列說法正確的是（

）A．圓心的坐標(biāo)為B．若點在圓上，則直線的斜率為C．點在圓外D．若是圓上任一點，則的取值范圍為．11．如圖，四邊形是邊長為的正方形，點、分別為線段、上的動點，，將翻折成，且平面平面，下列說法正確的是（

）A．存在點，使B．當(dāng)點為中點時，三棱錐的外接球半徑為C．三棱錐與三棱錐體積之和的最大值為D．存在點，使平面與平面的夾角的大小為三、填空題（本大題共3小題）12．第33屆夏季奧林匹克運動會女子10米跳臺跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍.下面統(tǒng)計某社團一位運動員10次跳臺跳水的訓(xùn)練成績：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為.13．曲線與直線有兩個交點時，實數(shù)k的取值范圍是．14．記函數(shù)的最小正周期為.若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）求過點,且與直線垂直的直線方程；（2）已知直線，.若，求的值.16．已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點.(1)求外接圓的方程；(2)若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；(3)若直線與圓相交于，兩點，求面積的最大值，并求出直線的斜率.17．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求角A；(2)若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積.18．已知平面四邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.(1)證明：；(2)若M是線段上一點，且平面，①求三棱錐的體積；②求二面角的平面角的余弦值.19．已知圓的方程為．(1)求過點的圓的切線方程；(2)已知，直線與圓交于M，N（異于A點）兩點，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

參考答案1．【答案】B【解析】將直線化成斜截式，前系數(shù)即為直線斜率，通過斜率求傾斜角．【詳解】將直線化成斜截式得，所以直線斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，則，即，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】因為兩條直線與不重合，由“與的斜率相等”可得“與平行”；由“與的平行”則可得“與的斜率相等”或“與的斜率均不存在”，即“與的斜率相等”是“與的平行”的充分不必要條件.故選：A.3．【答案】B【詳解】解：因為向量，則向量在向量上的投影向量為:.故選：B4．【答案】C【詳解】連接，，所以的值分別為.故選：C

5．【答案】C【詳解】設(shè)到直線距離為的點的坐標(biāo)為，則由點到直線的距離公式得，解得或.選項中符合條件的點為.故選：C6．【答案】D【詳解】聯(lián)立，解得，即與l的交點為.又點在上，設(shè)A關(guān)于l的對稱點為，則，解得，即，所以直線的斜率，從而直線的方程為，即.故選：D7．【答案】B【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，則，即，所以點的軌跡方程為，因為點的軌跡關(guān)于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是.故選：B.8．【答案】D【詳解】以A為坐標(biāo)原點，分別以為軸建系如圖：,，，設(shè),則，所以設(shè)面的一個法向量為，則令得，對于①：到平面的距離為，故①正確；對于②：連接，因為四邊形為平行四邊形，，又面，面，面，同理可證面，又，所以面面，所以過點P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形為，它是邊長為的等邊三角形，故面積為，故②正確；對于③：設(shè)直線與面所成角為，則，，，所以直線與面所成角的正弦值的范圍為，故③正確；對于④：當(dāng)點P為中點時，設(shè)三棱錐的外接球球心，，，解得，所以外接球半徑滿足：，三棱錐的外接球表面積為，故④正確；綜上：①②③④均正確.故選：D9．【答案】BC【詳解】直線中，令，得，所以直線經(jīng)過定點，故A正確.當(dāng)時，過，兩點所有直線的方程為，故B錯誤.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都等于零時，直線方程為：，故C錯誤.設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸交點為，所以三角形的面積，故D正確.故選：BC10．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓心坐標(biāo)可判斷A選項，通過點代入圓的方程求得的值，進而由斜率公式可求的斜率并可判斷B選項，點與圓的位置關(guān)系可判斷C選項，利用圓心到的距離可得的取值范圍并可判斷D選項；【詳解】將把轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則，如圖所示：對于A：圓心C的坐標(biāo)為，故A正確；對于B：當(dāng)點在圓上，則有，化簡得，解得.即，所以直線的斜率為，故B錯誤；對于C：因為，所以點在圓外，故C正確；對于D：因為，，所以，即，故D正確.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】對于A選項，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點在平面內(nèi)作，連接，由已知可得，，，，故，則，即，且，因為平面平面，平面平面，平面，平面，設(shè)，，則，，因為，則，，易得，則點、、，，，若存在點，使得，，化簡可得，即，則，這與矛盾，故不存在點，使得，①錯；對于B選項，當(dāng)點為的中點時，則點為的中點，且，，，取的中點，連接、，則，，且，，因為，平面平面，平面平面，平面，平面，同理可證平面，所以，三棱錐的外接球球心在直線上，設(shè)球的半徑為，由勾股定理得，即，解得，B對；對于C選項，，由A選項可知，平面，，因為，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，C對；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，因為，令，可得，即，所以，令，令，易知函數(shù)在上連續(xù)，因為，，由零點存在定理可知，存在，使得，因此，存在點，使平面與平面的夾角的大小為，D對.故選：BCD.12．【答案】75【分析】先進行排序，后按照百分位數(shù)概念計算可得.【詳解】先將成績進行排序：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84.由于，60%分位數(shù)為第6和第7個數(shù)據(jù)的平均值.即.故答案為：75.13．【答案】【詳解】曲線，即.直線過定點，如圖：，當(dāng)直線與曲線有兩個交點時，則直線夾在了直線與直線之間，而，當(dāng)直線與曲線相切時也只有一個交點，則圓心到直線的距離為：，解得，所以，故直線與曲線有兩個交點時，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14．【答案】1【詳解】函數(shù)的最小正周期為T，則由，得,∴，的圖象關(guān)于點中心對稱，∴，且，則,∴，由可得，而，，可得，所以，故，故答案為：1.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴，直線斜率為，∴所求直線斜率為，∵直線過點,∴直線方程為，整理得.（2）∵，∴，∴或.當(dāng)時，，，兩直線重合，不合題意；當(dāng)時，，，滿足要求.綜上得，.16．【答案】(1)(2)或(3)，【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，，則，解得，則圓的方程為，即；（2）由（1）得圓心，半徑，又，可知圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，成立；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，則直線方程為，即；綜上，直線方程為x=1或.（3）由D1,4在圓外，則在中，，，又，則當(dāng)，即時，取得最大值為，此時為等腰直角三角形，即圓心到直線的距離，即，解得.

17．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.（2）因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【詳解】（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，,平面平面,則平面,又平面，則,又,因平面，故平面,因平面，故；（2）①如圖，連接,設(shè)，連接,因平面，且平面,平面平面,則，故，在四邊形中，由,可得,故，即，即點是線段上靠近點的三等分點，故②如圖，以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,因，故,,設(shè)平面的法向量為，則由，可取，易得平面的法向量可取為，故，又由圖知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的平面角的余弦值為.19．【答案】(1)或(2)直線經(jīng)過定點，該定點的坐標(biāo)為【詳解】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)過點的圓C的切線斜率不存在時，切線方程為；當(dāng)斜率存在時，