河南省鄭州市2025屆高三上學(xué)期調(diào)研考試（五）數(shù)學(xué)試卷含答案

河南省鄭州市2025屆高三上學(xué)期調(diào)研考試（五）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．23．設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，．若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則（

）A．B．C．與向量平行的單位向量為D．向量在向量上的投影向量為10．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．在區(qū)間上至多有3條對(duì)稱軸B．的取值范圍是C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的最小正周期可能為11．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A．若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則．13．在中，已知，，，為線段上的點(diǎn)，且，則的最小值為.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求16．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)設(shè)，若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項(xiàng)目.某小學(xué)為豐富同學(xué)們的課外活動(dòng)，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項(xiàng)目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學(xué)們喜愛(ài)的項(xiàng)目之一，經(jīng)過(guò)多輪淘汰后，甲、乙二人進(jìn)入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.(1)若，，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)采用3局2勝制時(shí)乙獲勝的概率為，采用5局3勝制時(shí)乙獲勝的概率為，若，求的取值范圍.18．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍.19．若函數(shù)的定義域?yàn)?，有，使且，稱函數(shù)為恒切函數(shù)．(1)判斷函數(shù)是否為恒切函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)為恒切函數(shù)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)取最大值時(shí)，若函數(shù)為恒切函數(shù)，記，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）

參考答案1．【答案】D【詳解】，，∴.故選：D2．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算得到，再根據(jù)實(shí)數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即.故選D.【思路導(dǎo)引】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及分母有理化得到，根據(jù)實(shí)數(shù)的定義得到，即可計(jì)算出結(jié)果.3．【答案】A【解析】由化簡(jiǎn)得出，從而得出與共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，即，，即與共線當(dāng)與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，，與不一定相等，即不一定相等故“”是“與共線”的充分不必要條件故選：A4．【答案】B【詳解】因?yàn)?，故，則，而，故，故，故選：B5．【答案】D【解析】先判斷是奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，所以由可得，由當(dāng)時(shí)，得，構(gòu)造函數(shù)，，然后分，和三種情況求解即可【詳解】解：的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，由得，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即，則有，解得，所以，當(dāng)時(shí)，即，有，得，所以，當(dāng)時(shí)，即，有，得，所以，綜上，，故選：D6．【答案】C【分析】由是奇函數(shù)，可得是偶函數(shù)，得到，令，得到，得出在上單調(diào)遞增，再由，求得的周期為的周期函數(shù)，根據(jù)，得到，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得是偶函數(shù)，又因?yàn)椋?，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)榍沂瞧婧瘮?shù)，可得，則，所以的周期為的周期函數(shù)，因?yàn)?，所以，則不等式，即為，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的解集為．故選C．7．【答案】B【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點(diǎn)，由此得是方程的根，可得的關(guān)系，消除再利用基本不等式求解最小值可得.【詳解】設(shè)，.由已知，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由圖象開(kāi)口向上，，可知方程有一正根一負(fù)根，即函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)零點(diǎn)；由題意，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是方程的根，則，即，且a>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.則的最小值是.故選B.8．【答案】D【分析】連接，根據(jù)已知可得，且，從而可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，由圓心到直線的距離可解.【詳解】如圖，連接，由，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，得，又，則，可得，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，則圓心到直線的距離為，所以的最小值為.故選D.【思路導(dǎo)引】結(jié)合題目條件可得，，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離即可計(jì)算出結(jié)果.9．【答案】ABD【詳解】由題意，A正確；，，B正確；與平行的單位向量有兩個(gè)，它們是相反向量，C錯(cuò)；，向量在向量上的投影向量與同向，，而，所以向量在向量上的投影向量為，D正確．故選：ABD．10．【答案】ABD【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，所以，解得，所以，所以，，故選項(xiàng)B，D不正確；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有3條對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有4條對(duì)稱軸，所以函數(shù)在區(qū)間上至少有3條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確．故選：ABD.11．【答案】CD【解析】對(duì)，易知平面平面，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故錯(cuò)誤；對(duì)，因?yàn)?，而的面積為定值，要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大，易知，點(diǎn)是正方體意向到平面距離最大的點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)C，連接AC，，以B為圓心，為半徑畫(huà)弧，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，又，弧長(zhǎng)度，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故正確；對(duì)D，取的中點(diǎn)分別為，連接，如圖2所示，因?yàn)槠矫嫫矫?，故平面，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面與平面是同一個(gè)平面.則點(diǎn)的軌跡為線段.在三角形中，則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，即長(zhǎng)度的最大值為，故正確.故選.12．【答案】2【分析】求出f(x)定義域，根據(jù)f(x)是偶函數(shù)，可取定義域內(nèi)任意x，根據(jù)f(-x)=f(x)即可求得m的值．【詳解】由得的定義域?yàn)?，則∵是偶函數(shù)，故f(-1)=f(1)，即，解得m=2．此時(shí)，而，故確為偶函數(shù)，故m=2．故答案為：2．13．【答案】【詳解】由已知，即，又在中，，，則，，即，所以，即，又，所以，所以，則，即，又點(diǎn)在線段上，則，即，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.14．【答案】【詳解】因?yàn)?，，且為中點(diǎn)，所以，且，，因?yàn)?，所以，解得，直線的方程為，所以，則，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.

15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，解得，所以；（2）由（1）得，所以．16．【答案】(1)，對(duì)稱中心為(2)【詳解】（1），因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，?所以，令，解得.所以的對(duì)稱中心為.（2）因?yàn)閷?duì)任意的都有，所以.因?yàn)?，令，?dāng)時(shí)，，得函數(shù).則；當(dāng)時(shí)，，則，所以，即即解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17．【答案】(1)分布列見(jiàn)詳解，；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，得到的所有可能取值為2，3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）分別求，結(jié)合，運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以比賽采?局2勝制，的所有可能取值為2，3，，，的分布列為23所以.（2）由題意知，，由，得，且，則，可得，整理得，解得，所以的取值范圍為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為.由得，又因?yàn)椋?，則，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入上述方程解得，則，所以橢圓的方程為.（2）

由（1）可知：，當(dāng)斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)與重合，與重合.此時(shí).若點(diǎn)與重合，與重合，則.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立得消去可得，顯然，則，可得，整理可得，因?yàn)?，可得，令，則，解得，即，所以.綜上，的取值范圍為.19．【答案】(1)是恒切函數(shù)，理由見(jiàn)詳解；(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)詳解；【詳解】（1）設(shè)函數(shù)為恒切函數(shù)，則有，使且，即，解得，故函數(shù)是恒切函數(shù).（2）（i）由函數(shù)為恒切函數(shù)可知，存在，使得且，即解得，