北京市海淀區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題

海淀區(qū)20232024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)

高三數(shù)學(xué)2024.01

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合"={123,4,5,6},A={1,3,5}；8={1,2,3},則令(49)=()

A.{2,4,5,6}B.{4,6}C.{2,4,6}D.{2,5,6}

【答案】A

【解析】

【分析】由集合的交集運(yùn)算、補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意集合。={L2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,2,3},則人口5={1,3},

4()03)={2,4,5,6}.

故選：A.

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z],Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,則復(fù)數(shù)Z1『2的虛部為()

為

2

務(wù)……1i

1?

??

(■

Fo-ix

A-iB.-1C.-3iD.-3

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)z-z2,計(jì)算z/Z2,得復(fù)數(shù)4/2的虛部.

【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z-Z2,

則Z]=1+27,z,=—2+i,得Z].z。=(1+2i)(―2+i)=—4—3i,

所以復(fù)數(shù)Z1"2的虛部為-3.

故選：D

3.已知直線4:x+]=l,直線，2：2x—ay+2=0,且（〃右，則。=（）

A.1B.-1C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】由直線平行的充要條件列方程求解即可.

【詳解】由題意直線4：x+1=l,直線4：2x—ay+2=0,且乙〃/2，所以1x（—a）—gx2=0,解得

a=-l.

故選：B.

4.已知拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)M在。上，|加耳=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四。|=（）

A.4A/2B.4C.5D.275

【答案】D

【解析】

【分析】先由拋物線的焦半徑公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MQ|.

【詳解】設(shè)〃（加九），葉=8%，

又因?yàn)閇MF]=%+2=4,所以%=2,yj=16,

故=收+如=VF+16=2^/5.

故選：D.

7T

5.在正四棱錐P—A6CD中，AB=2,二面角尸—CD—A的大小為一，則該四棱錐的體積為（）

4

42

A.4B.2C.-D.-

33

【答案】C

【解析】

【分析】作出輔助線，得到NPQH為二面角尸—CD—A的平面角，所以NPQH=士7T,從而求出四棱錐的

4

高，由棱錐體積公式求出答案.

【詳解】連接相交于點(diǎn)〃，則”為正方形ABCD的中心，

故PHJ_底面ABCD,

取CD的中點(diǎn)Q,連接"2PQ，則HQ=^AD=1,

TT

故NP?！睘槎娼鞘籆D—A的平面角，所以NPQH=—,

4

故PH=HQ=1,

1,4

所以該四棱錐的體積為一xAB~PH=—.

33

故選：C

6.已知圓。：/+2%+丁2_1=0,直線如+〃(y—1)=0與圓C交于A,3兩點(diǎn).若為直角三角

形，貝U()

A.mn=0B.m—n=O

C.m+n=0D.m2-3H2=0

【答案】A

【解析】

【分析】由直線與圓相交的弦長公式|=2二產(chǎn)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閳AC:V+2x+y2_i=o,圓心為1(—1,0),半徑為廠=收，即3=儂=應(yīng)

因?yàn)椤癢C為直角三角形，所以|A5|=J|C時(shí)+|C4『=2,

一m一”|祖+”

設(shè)圓心C(―L0)到直線陽+〃(y—1)=0的距離為d,d=1/,1=丁,

^rrr+H2yjrn2+n2

由弦長公式|=2,產(chǎn)—/得,所以W+1=1,化簡得加〃=0.

Vm2+〃2

故選：A.

7.若關(guān)于1的方程log/-優(yōu)=0(〃>0且QW1)有實(shí)數(shù)解，則。的值可以為()

5

A.10B.eC.2D.-

4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需函數(shù)/(尤)=/與直線y=%相交即可.

【詳解】對(duì)比選項(xiàng)可知我們只需要討論。＞1時(shí)，關(guān)于x的方程log/-優(yōu)=0的解的情況,

若關(guān)于x的方程log/—優(yōu)=0(。＞0且awl)有實(shí)數(shù)解,

即/(九)=，與g(x)=log“x的圖像有交點(diǎn)，

因?yàn)?(X)=能與g(x)=log。％互為反函數(shù),

所以/(X)=爐與g(x)=log.X的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，

如圖所示：

設(shè)函數(shù)/(%)="與直線y=%相切，切點(diǎn)、為P(得，兀)，

1a*。Ina=1%o=e

f(x)=aIna,貝用《，解得：\e/-，

由圖像可知，當(dāng)ae(l,公］時(shí)，曲線/(x)=a、與直線y=x有交點(diǎn)，

即/(%)=/與8(力=108“兀的圖像有交點(diǎn)，即方程log/-優(yōu)=0有解.

故選：D.

8.已知直線/r4的斜率分別為匕，左2，傾斜角分別為%，?2＞貝1?'85(。1一％)＞°”是'左/2＞°”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首項(xiàng)得名,火6［。，萬)。1',兀J,再結(jié)合必要不充分條件的定義、斜率與傾斜角的關(guān)系,

兩角差的余弦公式即可得解.

兀、(71)

【詳解】由題意兩直線均有斜率，所以0,-lol-,7lI,

2兀71

若取貝U有cos(%—&2)=cos=—>0,{Hk.k=tan—tan-=-3<0；

T-321-733

,,sin?,sin%八

!

若桃,=tanaxtana、=--------->0,又sin/sin%〉0,

costz；costz2

所以cos%costz2>0,而cos(%—a2)=cos(Z]cos%+sinaxsintz2>0,

綜上所述，“cos(1—4)>0”是“左上>0”的必要而不充分條件.

故選：B.

9.已知｛4｝是公比為q(qwl)的等比數(shù)列，S,為其前幾項(xiàng)和.若對(duì)任意的“eN*，■恒成立，則

()

A.｛4｝是遞增數(shù)列B.｛q｝是遞減數(shù)列

C.6｝是遞增數(shù)列D.｛S,,｝是遞減數(shù)列

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和S=川匕S,結(jié)合S,恒成立，得出a4的取值范圍，得到M

"1-ql—qIJ

是遞減數(shù)列.

【詳解】｛4｝是公比為q(qwi)的等比數(shù)列，s.為其前”項(xiàng)和sJ?！猶)

i-q

-.?S<,：.S=q)<恒成立,xq"〉o恒成立,

"\-q""1l—ql—qj

若q<0,則q'可能為正也可能為負(fù)，不成立

所以…言”

當(dāng)4>0,0<q<1,｛4｝是遞減數(shù)列，

當(dāng)q（0,q〉L｛叫是遞減數(shù)列，

故選:B.

10.蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu).如圖是一個(gè)蜂房的

立體模型，底面⑷3CDEF是正六邊形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,EL均垂直于底面

ABCDEF,上頂由三個(gè)全等的菱形PGHZ,PIJK,PKLG構(gòu)成.設(shè)3C=1,

NGP/=N/PK=NKPG=ealO9°28'，則上頂?shù)拿娣e為（）

（參考數(shù)據(jù)：cosd=--,tan—=V2）

32

A.20B.空C.述D.晅

224

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)蜂房的結(jié)構(gòu)特征，即可根據(jù)銳角三角函數(shù)以及三角形面積公式求解.

【詳解】由于NGP/=N7PK=NKPG=6a109。28'，所以NGm=。a109°28',

連接G/,取其中點(diǎn)為。，連接08,

GOG

所以?！?^/

24

tan—

2

由3c=1,且多邊形A3CDEE為正六邊形，所以AC=2ABsin60。=6,

由于G/=AC=G，所以O(shè)H=受G/=逅，

44

故一個(gè)菱形的面積為2sGH,=2xLxG/-OH=百義逅=2叵，

煩244

因此上頂?shù)拿娣e為3x逑=2叵,

44

故選：D

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

的展開式中，*的系數(shù)為.

【答案】-5

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)進(jìn)行求解即可.

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為ZM=(-i)rq-%^

令工一=1得r=1,所以《=-C；?x=-5x,x的系數(shù)為—5.

故答案為:-5.

12.已知雙曲線根產(chǎn)=i的一條漸近線為后一丁=0,則該雙曲線的離心率為

【答案】2

【解析】

【分析】由雙曲線方程可得其漸近線方程,從而得關(guān)于流的方程,再結(jié)合離心率公式求解即可.

2

——匕=1的漸近線方程為y=±J-

【詳解】由題意得m>0,易知雙曲線爐―/沖2=1，即人

Vm

m

1=73,^-=3,

mm

所以該雙曲線的離心率e=￡

a

故答案為：2.

13.已知點(diǎn)A,B,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則荏.就=

；點(diǎn)。到直線A3的距離為.

【解析】

【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】以8為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

由題意4(—2,1),5(0,0)((1,3),所以荏?比=(2,—1>(1,3)=2-3=—1,

1Il+2x3|7A/5

而直線AB的表達(dá)式為y=--x,即x+2y=0所以點(diǎn)C到直線AB的距離為d=1,——-1=—.

2A/1+2?5

故答案為：T,撞.

5

14.已知無窮等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù),公差為d,則能使得anan+1為某一個(gè)等差數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和

(〃=1,2,??的一組四,d的值為%=,d=.

【答案】①.1②.1(答案不唯一)

【解析】

［分析】設(shè)等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為5“，根據(jù)題意可得b也網(wǎng).根據(jù)2d=偽+4,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)

公式,可得關(guān)于的方程,解方程即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S”,則S"=anan+1,Sl==a2a3,S3=a3a4.

又｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，

??b[—S]—=S2—S]—一0102=2dd2,bs=S3—S2~。3a4—〃2“3=2dd3,

2b2=仿+b3,即2x2da,=qo,+2dai,:Ad(ax+d)=q(q+d)+2d(q+2d),

整理得力(%-。)=0,

由題知％>0,.'.tZj=d.

故滿足題意的一組為,d的值為％=1,2=1.(答案不唯一)

故答案為：1;1(答案不唯一)

15.已知函數(shù)"X)=|cos%+M.給出下列四個(gè)結(jié)論:①任意aeR,函數(shù)的最大值與最小值的差為2；

②存在aeR,使得對(duì)任意xeR，/(x)+/(7i-x)=2a；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)了，

+；④當(dāng)a=0時(shí)，存在7?0,兀)，XOGR,使得對(duì)任意〃eZ,都有

f(x0)=f(x0+nT).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②④

【解析】

77

【分析】取。=0可判斷①，取。=1化簡后可判斷②，先化簡，取》=?？膳袛啖?，取7=7可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)a=0時(shí)/(x)=|coM，其最大值為1,最小值為0,7(%)的最大值與最小值的差為

1,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=|cosx+l|=l+cosx,/(K-X)=|cos(7I-X)+1|=|1-cosx|=1-COSX,因此

對(duì)任意XGR,/(X)+/(TI-X)=2=2?,故②正確；

對(duì)于④，當(dāng)a=0時(shí)/(x)=|cos^,取T=g,毛=：，使得對(duì)任意"GZ,都有/(XO)=/(XO+〃T),

故正確.

故答案為：②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在四棱柱ABC。—A4G。中，側(cè)面A3耳A是正方形，平面平面A3CD,

AB//CD,AD=DC=^AB,M為線段A3的中點(diǎn)，AD±BXM,

(1)求證：CM//平面ADD^；

(2)求直線AG與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵漁

9

【解析】

【分析】(1)連接AD1，由四棱柱性質(zhì)可得為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得

和知//平面4。24；

(2)由面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直判定定理可求得AD,AB,A4三條棱兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系

利用空間向量即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

連接A。，如下圖所示:

在四棱柱ABC?！?，側(cè)面CDDC為平行四邊形，

所以CQj〃O),CQi=CD,

因?yàn)锳3〃CD,CD=-AB,/為A3中點(diǎn)，

2

所以CD〃AM,CD^AM,

所以C]R//AM,CR=AM,

所以四邊形MAQG為平行四邊形，

所以AQ,

因?yàn)椋糧平面AZ)24，

所以C]M//平面AZ)2A，

【小問2詳解】

在正方形ABB^中，A\LAB,

因?yàn)槠矫鍭BB^±平面ABCD,平面ABB^J_c平面ABCD=AB；

所以44,，平面ABC。，而ADu平面ABC。，

即可得A4,LAD,

因?yàn)锳DJ_3]M,u平面ABB14,4M■與相交，

所以平面A544，而ABu平面A544，

即AD上AB；

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

不妨設(shè)AD=1,則A(o,o,o),q(1,2,1),4(022),M(0,0,1).

所以B=QB,=(-1,0,1),函=(1,2,0).

設(shè)平面M4G的法向量為為=

n-C}B]=一x+z=0

則_.，令犬=2,貝|y=—l,z=2,

n-MC1=x+2y=0

于是為=（2T2）；

y/6

因?yàn)閏osAC],元=

~9~J

所以直線AG與平面MBG所成角的正弦值為逅

9

17.在AABC中，2ccosA=2b—a.

（1）求/C的大小;

（2）若c=6,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使AABC存在，求AC

邊上中線的長.

條件①：AABC的面積為26；條件②：sinB—sinA=；；條件③：b2-2a2=2.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

TT

【答案】17.-

3

18.不能選①，選②或③，答案均為1

【解析】

1冗

【分析】（1）由正弦定理及sinB=sinAcosC+cosAsinC得到cosC=],結(jié)合。￡（0,兀），得到。=耳

（2）選①，由三角形面積和余弦定理得到由“2+匕222ab推出矛盾；選②，根據(jù)三角恒等

jr

變換得到A=—,AABC是以AC為斜邊的直角三角形，由正弦定理得到AC,求出中線；選③，由余弦

6

定理得到片+川一4匕=3,設(shè)AC邊上的中線長為d,再由余弦定理得到AC邊上的中線的長為1.

【小問1詳解】

cibC

由正弦定理----=-----=-----及2ccosA=2b—a，

sinAsinBsinC

得2sinCcosA=2sinB—sinA.①

因?yàn)锳+5+C=7l,

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.（2）

由①②得2sinAcosC-sinA=0.

因?yàn)锳E（0,兀），所以sinAwO.

所以cosC='.

2

因?yàn)镃?0,71）,

jr

所以c=‘.

3

【小問2詳解】

選①，AABC的面積為2石，

即LabsinC=26，即走a6=2退，解得ab=8,

24

因?yàn)镃=G，由余弦定理得cosC="+"一',

2ab

即工!±二2=工，解得片+^二”，

162

由基本不等式得標(biāo)+^22^,但H<2x8,

故此時(shí)三角形不存在，不能選①，

選條件②：sinB-sinA=—.

2

TT27r

由（1）知，ZB=n---ZA=--ZA.

33

所以sinB-sinA=sinf—一A〕一sinA=cosA+—sinA-sinA

I3）22

J31.

=——cosA——sinA-sin

22

366

所以AABC是以AC為斜邊的直角三角形.

因?yàn)镃=,

所以AC=必-=芭一=2

所以sinCs”

3

所以AC邊上的中線的長為^AC=1.

2

選條件③：24=2.

2.720[

由余弦定理得"一=口,即4+^一4,=3.

lab2

設(shè)AC邊上的中線長為d,由余弦定理得

222

,2b2abe「2b2abba+b-3

d2=a-\-------------2cosC—ciH------------—ci2H------------------------=1.

424242

所以AC邊上的中線的長為1.

18.甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分(單位：分)

情況統(tǒng)計(jì)如下：

場次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

(1)從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率;

（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分的

場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.

甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)乂為甲獲勝的場數(shù)，心為乙獲勝的場數(shù)，工為丙獲勝的

場數(shù)，寫出方差。（耳），D（N），。（乂）的大小關(guān)系.

3

【答案】（1）—

10

4

（2）分布列見解析，一

3

（3）D化）＞。（工）＞0（毛）

【解析】

【分析】（1）從表格中可以發(fā)現(xiàn)甲獲勝的場數(shù)為3場，從而得到甲獲勝的概率；

（2）從表格中可以發(fā)現(xiàn)在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5

場，第8場，第9場，第10場。乙得分大于丙得分的場數(shù)X的取值為0,1,2,通過超幾何分布的知識(shí)點(diǎn)，

得到X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

（3）通過題目條件得到10場比賽甲獲勝的概率為之，乙獲勝的概率為白，丙獲勝的概率為工，因?yàn)榧住?/p>

乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布，從而得到方差。（乂），。（毛）的大小關(guān)系.

D（Y2）,

【小問1詳解】

根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.

3

設(shè)A表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則尸（A）=一.

「10

小問2詳解】

根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，

分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0，1，2.

p（X=0）=^4^=—,p（x=l）=^f^=—,p（x=2）=^^=~.

l，或15'，或15'，或5

所以X的分布列為

X012

182

p

15155

iQ24

所以E（X）=0><B+lx^+2xg=§

【小問3詳解】

由題意，每場比賽甲獲勝的概率為之，乙獲勝的概率為丙獲勝的概率為工，還需要進(jìn)行6場比賽,

1025

而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以

D（X）=6xQ3（l-0.3）=126,D（K）=6x0.5（l-0.5）=1.5,?；?6x0.2（1-0.2）=0.96

故。匕）＞。（功＞。&）.

19.已知橢圓石：=+々=1（。〉6〉0）過點(diǎn)4（3,0）,焦距為2指.

ab

（1）求橢圓石的方程，并求其短軸長；

（2）過點(diǎn)P（l,0）且不與x軸重合的直線/交橢圓￡于兩點(diǎn)C,D,連接CO并延長交橢圓E于點(diǎn)直

線AM與/交于點(diǎn)N,。為0。的中點(diǎn)，其中。為原點(diǎn).設(shè)直線NQ的斜率為左，求上的最大值.

22

【答案】（1）土+上=1,4

94

⑵空

9

【解析】

【分析】（1）由題意根據(jù)長軸頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距以及平方關(guān)系列方程即可求解.

（2）不妨設(shè)直線CD的方程為％=%+1,C（%，x）,￡＞（%,%），則/（一外,一%）.聯(lián)立直線CD的方

程與橢圓方程，由韋達(dá)定理得另+為=二|^-，聯(lián)立直線CD與直線A"的方程得點(diǎn)N的坐標(biāo)，由中

4m+9

點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)。的坐標(biāo)，由斜率公式以及韋達(dá)定理可得斜率的表達(dá)式（只含有參數(shù)加），對(duì)加分類討論

即可求解.

【小問1詳解】

由題意知a=3,2c=2y/5.

所以c=A/5,b2=a2-c2=4.

22

所以橢圓E的方程為土+乙=1，其短軸長為4.

94

【小問2詳解】

設(shè)直線CD的方程為》=陽+1,C（x1,y1）,￡＞（%,%），則/（一百，一%）?

（22

土+匕=]

由＜94，得（4療+9）/+8玖y-32=0.

x=my+l

—8m

所以X+%

4m2+9

由A（3,0）得直線AM方程為一

?X]i-D

y="(x-3)

由1%+3、/得y=

x=my+1

因?yàn)椋?1,

所以y=_段，X=m^-y^+l=2.

所以―

因?yàn)?。為。。的中點(diǎn)，且*2=加丁2+1，

所以。產(chǎn)盧,9

所以直線NQ的斜率

k=52=%+%=4加2+9二8加

my2+12-my1m(%+%)—1—8m2112m2+9

224m2+9

當(dāng)加40時(shí)，k<Q.

當(dāng)相>0時(shí)，

因?yàn)?27〃+2之2厄了=12百，當(dāng)且僅當(dāng)加=且時(shí)，等號(hào)成立.

m2

所以左=3“哈

所以當(dāng)加=且時(shí)，左取得最大值型.

29

20.已知函數(shù)/(%)=加-xsinx+b.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求證:

①當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>/?；

②函數(shù)“另有唯一極值點(diǎn);

(2)若曲線C1與曲線G在某公共點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為G和C2的“優(yōu)切線”.若曲線y=/(%)與

曲線y=r:o&x存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線，，，求。，力的值.

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析

2

(2)a=------,k&Zj,b=Q

4E+兀

【解析】

【分析】(1)①當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x2-xsiax+Z2=x(x-sinx)+Z?,故只需證明當(dāng)尤>0時(shí)，

g(x)=x—sinxNO即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.②求導(dǎo)得/'(x)=x(l—cosx)+x—sinx,由此可得當(dāng)x>0

時(shí)，制x)>0,結(jié)合((-x)=-/<])即可得證.

(2)由題意設(shè)曲線y=/(x)與曲線丁=-co&x的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為占,甚，

其斜率分別為匕，匕,則左]&=—1?再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，以及函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值之間的關(guān)系即可

求解.

【小問1詳解】

①當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x2-xsinx+Z2=x(x-sinx)+Z?.

記g(x)=x-sinx(x>0),則g'(x)=l-cosx>0.

所以g(x)在［0，+。)上是增函數(shù).

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(O)=O.

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=x(x-sinx)+Z?>Z?.

②由f(x)=x2-xsinx+/?^#/'(%)=2x-sinx-xcos%,且/'(0)=0.

當(dāng)尤>0時(shí)，f(%)=x(l-cosx)+x-sinx.

因?yàn)閘-cosx20,x-sinx>0,

所以/'4x)>0.

因?yàn)?'(f)=(x)對(duì)任意xeR恒成立,

所以當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<o.

所以。是的唯一極值點(diǎn).

【小問2詳解】

設(shè)曲線y=/(%)與曲線V=YO5的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為芯,%,其斜率分別

為左一k2,則左］&=-L

因?yàn)?一cosx)，=sinx,

所以sinXj-sinx2=k島=-l.

所以{si叫,sinx2}={-1,1}.

TT

不妨設(shè)sin%i=l,則玉=2也+萬,左eZ.

因?yàn)樽?=/'(毛)=2axi-sinXj_%co陰,

由“優(yōu)切線”的定義可知2%-si叫-Xjcosx；=sirUj.

12,~

所以〃==-，攵￡Z.

玉4也+兀

12?公

由“優(yōu)切線”的定義可知一?不一%加叫+〃=-cosxj,

石

所以Z?=0.

2兀兀

H

當(dāng)〃=-------，keZ,Z?=0時(shí)，?。?2E—，x?=—2kn—，

4左兀+兀22

r

則/(%)二-cos石=0,/(x2)=-cosx2=0,/'(玉)=sinX]=l,/(x2)=sinx2=-1,符合題意.

2

所以〃=-------,kwZ,b=0.

4E+兀

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問②的關(guān)鍵是，求導(dǎo)得/'(x)=x(l—cosx)+x—sinx,然后以x=0為分界點(diǎn)討

論即可；第二問的關(guān)鍵是結(jié)合“優(yōu)切線的定義”以及導(dǎo)數(shù)即可順利得解，綜合性比較強(qiáng).

21.對(duì)于給定的奇數(shù)加(〃后3),設(shè)A是由“2X77?個(gè)實(shí)數(shù)組成的加行加列的數(shù)表，且A中所有數(shù)不全相

同，A中第i行第/列的數(shù)羯e{—1,1},記廠。)為A的第i行各數(shù)之和，c(j)為A的第/列各數(shù)之和,

其中z,je{1,2,--?,m}.記/(A)=——1⑴+廠?+…+廠(可.設(shè)集合H={(/,%?廠⑺<0或

a.-c(j)<0,i,jG{1,2,???,?)},記H(A)為集合H所含元素的個(gè)數(shù).

(1)對(duì)以下兩個(gè)數(shù)表A，a，寫出〃A)，"(A)，”4)，H(4)的值；

bbLL-b-hbbb

bbIPL-1，-h1。b-h

bLh-h-bbLb-b-b

bh-h-h-hL-L-b-h

b-h-h-h-hL-h-h-b-h

44，

(2)若r⑴/(2),???,r(m)中恰有s個(gè)正數(shù)，f中恰有/個(gè)正數(shù).求證:

、”(A)

(3)當(dāng)加=5時(shí)，求八的最小值.

【答案】⑴"4)=10,"(4)=12；"4)=12,"(4)=15

Q

(2)證明見解析(3)-

9

【解析】

【分析】(1)按定義求出r(i),c(j),，=1,2,…,5,/=1,2,…,5,進(jìn)行求解即可.

⑵分兩種情況進(jìn)行證明,即①se{0,3或代{0,叫,②“{0,相}且才e{0,叫分別證明即可.

(3)因?yàn)?〃=5,分情況討論①若se{0,5}或/e{0,5}