專題09數列求和（奇偶項討論）-2022年高考數學一輪復習解答題拿分秘籍

數列專題九：數列求和（奇偶項討論）一、必備秘籍有關數列奇偶項的問題是高考中經常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數列奇數項和偶數項的首項、項數、公差(比)等．本專題主要研究與數列奇偶項有關的問題，并在解決問題中讓學生感悟分類討論等思想在解題中的有效運用.因此，在數列綜合問題中有許多可通過構造函數來解決．二、例題講解1．已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令，求數列的前項和．解：（Ⅰ）等差數列的公差為2，前項和為，，，成等比數列，化為，解得．。（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．。當為偶數時，．當為奇數時，．感悟升華（核心秘籍）此類型難度較大；在討論的時候特別注意分清楚為奇數；為偶數時最后一項到底加到哪里停止；三、實戰(zhàn)練習1．（2021·全國高三專題練習）已知為等差數列，為等比數列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列前n項和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據此進一步計算數列的前2n項和即可.【詳解】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數時，，當n為偶數時，，對任意的正整數n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數列的前2n項和為.【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，分組求和法，指數型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.2．（2021·河西·天津市新華中學）已知為等差數列，為等比數列，，，.（1）分別求數列和的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，（i）求證；（ii）對任意的正整數，設，求數列的前項和.【答案】（1），；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據等差數列和等比數列的通項公式，結合題中所給的條件，列出等量關系式，求得首項、公差和公比，得到數列的通項公式；（2）（i）根據題意，求得，之后利用作差比較法求得結果；（ii）利用分組求和法和錯位相減法求得數列的前項和.【詳解】（1）為等差數列，，所以，，所以，即，所以；為等比數列，，因為，所以，解得，所以；（2）（i），，所以；（ii），所以，設的前項中，奇數項和為，偶數項和為，，，，兩式相減得，所以，所以數列的前項和為.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關數列的問題，解題方法如下：（1）根據等差數列和等比數列的通項公式求相關量，之后確定其通項公式；（2）利用等差數列公差的相關公式求得，之后利用作差比較法求得結果；（3）利用分組求和法和錯位相減法對數列求和.3．（2021·遼寧高三月考）已知等差數列中，.（1）求；（2）設，求的前項和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據已知條件可得，所以兩式相減可得公差，將公差代入即可得；（2）求出的通項公式，利用分組求和以及等差和等比數列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題得，所以，兩式相減可得：，所以所以可得：；（2）由（1）知：，所以，.4．（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）已知正項數列滿足.（1）求；（2）將數列分組：，記第組的和為.（i）求數列的通項公式；（ii）求數列前項的和.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）根據題意，當n=1時，可得，當時，可得，根據，作差整理，即可求得.（2）（i）根據題意，可得，根據（1）可得表達式，代入整理可得；（ii）根據（i）可得，利用分組求和法，結合等差數列的求和公式，即可得答案.【詳解】（1）因為，令n=1，所以，因為①，當時，②，①②得：，所以數列是公差為2的等差數列，所以，當符合上式，所以.（2）（i）由題意可知，，，，所以，而所以；（ii）由（i）可得所以【點睛】難點在于：將數列分組后，根據規(guī)律，總結出，在結合等差數列求和公式，化簡求值即可，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.5．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學高三其他模擬）已知等比數列的前n項和為，公比，，，數列滿足且，.（1）求和的通項公式；（2）將和中的所有項按從小到大的順序排列組成新數列，求數列的前項和；（3）設數列的通項公式為：，，求．【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）根據已知條件求出、的值，利用等比數列的通項公式可求得，求出、的值，可求得等差數列的通項公式；（2）分析可知數列的前項中，有項，有項，利用分組求和法可求得的值；（3）求得，利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）由，兩式作差可得，即，，則，，解得，所以，，解得，所以，.因為，故數列為等差數列，設該數列的公差為，由于，可得，，，所以，；（2）當時，，當時，，所以，數列的前項中，有項，有項，所以，；（3），，設，則，則，兩式作差可得，因此，.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；（3）對于結構，利用分組求和法；（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·揚中市第二高級中學高三開學考試）已知數列是等差數列，設為數列的前n項和，數列是等比數列，，若．（1）求數列和的通項公式；（2）若，求數列的前2n項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依題意分別求出等差數列的公差d和等比數列的公比q即可求得通項；（2）求出，分組之后用裂項法和公式法求得結果.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q．因為，所以.依題意得，即，解得或（舍）．∴．（2）由（1）可得．∴．∴設數列的前項和為，則．【點睛】方法點睛：本題第（2）問考查的核心是裂項求和，使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數列的前n項和為，，是，的等比中項，數列滿足：對任意的，.（1）求數列，的通項公式；（2）設，求數列的前2n項的和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由基本量法列出關于和公差的方程組，解得，得通項公式，求出后可得；（2）把的奇數項和偶數項分別求和可得．【詳解】（1）設數列的公差為d，由題意得，化簡得，因為，所以，，所以，，因為，所以；（2）由（1）知，所以.【點睛】本題考查求等差數列的通項公式，裂項相消法求和．數列求和的常用方法：設數列是等差數列，是等比數列，（1）公式法：等差數列或等比數列的求和直接應用公式求和；（2）錯位相減法：數列的前項和應用錯位相減法；（3）裂項相消法；數列（為常數，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數列用分組求和法，如果數列中的項出現正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數）的數列，需用倒序相加法求和．8．（2021·浙江高三其他模擬）已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）若求.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，得，利用累乘法即可求得的通項公式；（2）利用分組求和法，其中偶數項和用錯位相減法求解，奇數項用等差求和公式求解即可．【詳解】（1）由，得，當時，，得，當時，，則.易得，符合，所以；（2）由（1）知記①，則①，得②，①－②得，，則.因此；【點睛】數列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數列、與二項式系數、對稱性相關聯的數列的求和；(2)錯位相減：用于等差數列與等比數列的積數列的求和；(3)分組求和：用于若干個等差或等比數列的和或差數列的求和．9．（2021·天津河西·高三三模）已知數列滿足，，，，且，，成等比數列.（1）求的值和的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1），；（2）?！痉治觥浚?）由遞推關系，結合等比中項的性質可得，根據已知條件求，進而分別討論n為奇數或偶數時的通項公式即可.（2）由（1）寫出通項，將其奇偶項并項得，最后應用錯位相減法求數列的前項和.【詳解】（1）由題設知：，而，，，∴，即，，即，又，∴，整理得，，即可得，∴當n為奇數時，，，則，當n為偶數時，，，則，綜上，.（2）由（1）知：，∴數列的前項和中，，∴，，∴，故.【點睛】關鍵點點睛：第二問，由于數列奇偶項的通項公式不同，由奇偶并項，將其轉化為，求數列的前n項和.10．（2021·天津和平·高三月考）設等差數列的前項和為，且等比數列的前項和為，滿足，，，.（1）求，的通項公式；（2）求滿足條件的最小正整數，使得對不等式恒成立；（3）對任意的正整數，設，求數列的前項和.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）先利用等差數列求和公式列方程組求出，從而可求出，再利用等比數列通項公式求出，從而可求出；（2）由，而當時，