幾何圖形的初步（練習(xí)）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第15講幾何圖形的初步

目錄

題型過關(guān)練N

題型01判斷幾何體的截面形狀題型17求一個角的余角、補角

題型02判斷幾何體的展開圖題型18與余角、補角有關(guān)的計算

題型03由展開圖計算幾何體的表面題型19同（等）角的余（補）角相等

積或體積題型19點到直線的距離

題型04正方體展開圖的識別題型20利用對頂角、鄰補角的性質(zhì)求

題型05補一個面使其成為正方體的解

展開面題型21判斷同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)

題型06正方體相對兩面上的字或圖角

案題型22利用平行線的判定進(jìn)行證明

題型07與七巧板有關(guān)的計算題型23平行線判定的實際應(yīng)用

題型08畫直線、射線、線段題型24由平行線的性質(zhì)求角度

題型09直線的性質(zhì)題型25由平行線的性質(zhì)解決折疊問

題型10線段的性質(zhì)題

題型11與線段中點有關(guān)的計算題型26平行線的性質(zhì)在實際生活的

題型12兩點之間的距離應(yīng)用

題型13度、分、秒的換算題型26利用平行線的性質(zhì)解決三角

題型14鐘面角的計算板問題

題型15方向角的表示題型27根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度

題型16角平分線的相關(guān)計算題型28根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明

真題實戰(zhàn)練

題型過關(guān)練

題型01判斷幾何體的截面形狀

1.（2022?江西萍鄉(xiāng)?校考模擬預(yù)測）如圖所示，將立方體沿ABDC所在平面截取幾何體4BCD,則這個幾何

體的平面展開圖是（）

2.（2022?四川南充?統(tǒng)考三模）如圖，用一個平面去截一個長、寬、高分別為5,4,3的長方體，當(dāng)截面是

矩形時，截面周長最大為（）

A.18B.20C.24D.25

3.（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，用一個平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面的形狀是（）

（1）若用一個平面沿水平方向去截這個圓柱，所得的截面是;

（2）若用一個平面沿豎直方向去截這個圓柱，所得的截面是；

（3）若用一個平面去截這個圓柱，使截得的截面是長方形且長方形的截面面積最大，請寫出截法，并求出此

時截面面積.

題型02判斷幾何體的展開圖

1.（2021?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

2.（2021?浙江.統(tǒng)考中考真題）將如圖所示的長方體牛奶包裝盒沿某些棱剪開，且使六個面連在一起，然后

鋪平，則得到的圖形可能是（）

3.（2021?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）把圖中的紙片沿虛線折疊,可以圍成一個幾何體，這個幾何體的名稱是

A.五棱錐B.五棱柱C.六棱錐D.六棱柱

4.（2021?浙江紹興?統(tǒng)考一模）如圖，已知圓柱底面的直徑BC=8,圓柱的高2B=10,在圓柱的側(cè)面上,

過點力，C嵌有一圈長度最短的金屬絲.

（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是

（2）求該長度最短的金屬絲的長.

題型03由展開圖計算幾何體的表面積或體積

1.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）如圖為一個長方體的展開圖，且長方體的底面為正方形.根據(jù)圖中標(biāo)示的長

度，求此長方體的體積為

2.（2022?山東青島?青島大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，以邊長為6Wcm的正六邊形紙板的各頂點為端點,

在各邊上分別截取4cm長的12條線段，過截得的12端點作所在邊的垂線，形成6個有兩個直角的四邊形.把

它們沿圖中虛線減掉，用剩下的紙板折成一個底為正六邊的無蓋柱形盒子，則它的容積為cm3.

3.（2021?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）某工廠要加工一批上下底密封紙盒，設(shè)計者給出了密封紙盒的三視圖，如圖

1.

圖1'圖2

（1）由三視圖可知，密封紙盒的形狀是;

（2）根據(jù)該幾何體的三視圖，在圖2中補全它的表面展開圖；

（3）請你根據(jù)圖1中數(shù)據(jù)，計算這個密封紙盒的表面積.（結(jié)果保留根號）

4.（2020?河北邯鄲?校考一模）如圖（1）是一種包裝盒的表面展開圖，將它圍起來可得到一個幾何體的模

型.

（1）圖（2）是根據(jù)a,/?的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖，請在網(wǎng)格中畫出該幾何體的左視圖;

（2）已知//=4,求a的值和該幾何體的表面積.

題型04正方體展開圖的識別

1.（2021?廣東?統(tǒng)考中考真題）下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）

2.（2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）下列圖形中，正方體展開圖錯誤的是（）

3.（2021.浙江金華?統(tǒng)考一模）下列哪個圖形不可能是正方體的表面展開圖（）

題型05補一個面使其成為正方體的展開面

1.（2022.河北承德?統(tǒng)考二模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長都相同，若使陰影部分能折疊成一個正

方體，則需剪掉的一個小正方形不可以是（）

C.③D.④

2.（2021.河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖，在有序號的方格中選出一個畫出陰影，使它與圖中五個有陰影的正方

形一起可以構(gòu)成正方體表面的展開圖，正確的選法是（）

B.只有①④C.只有①②④D.①②③④都正確

3.（2021?浙江杭州.一模）己知圖1的小正方形和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的小正方形安放在

圖2中的①、②、③、④的其中某一個位置，放置后所組成的圖形是不能圍成一個正方體的.那么安放的

位置是（

圖1

A.①D.④

題型06正方體相對兩面上的字或圖案

1.（2021.河北唐山?統(tǒng)考三模）如圖是一個正方體的平面展開圖，正方體中相對的面上的數(shù)字或代數(shù)式互為

相反數(shù).則

X

（1）%的值為

（2）久2-y的值為

2.（2022?陜西寶雞?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是正方體的一種展開圖，則原正方體中與“真”所在面的對面所標(biāo)的

3.（2021?河北唐山?統(tǒng)考一模）如圖是一個正方體紙盒的表面展開圖，紙盒中相對兩個面上的數(shù)互為相反數(shù).

c=

(2)將2a(a—6)+b(2a—6—c)化簡，并代入求值.

4.（2021?河北邢臺?統(tǒng)考一模）把如圖所示的正方形展開，得到的平面展開圖可以是（）

5.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考三模）如圖是一個正方體，下列哪個選項是它的展開圖

6.（2021?吉林長春?東北師大附中?？级＃⒁粋€小正方體按圖中所示的方式展開，則在展開圖中表示棱

。的線段可以是（）

A.線段CDB.線段EFC.線段4。D.線段BC

題型07與七巧板有關(guān)的計算

1.（2020?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，流行于世界各地.由邊長為2的正

方形可以制作一副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行

四邊形或矩形，則這兩個圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個數(shù)分別是（）

D.2和2

2.（2022?江西贛州?統(tǒng)考三模）七巧板是由可以錯綜分合的幾何圖案演化而來，它是一種拼板玩具，體現(xiàn)了

我國古代勞動人民的智慧，如圖1,將一塊正方形薄板分為7塊，其中包括5塊大小不等的三角形，1塊正

方形和1塊平行四邊形，圖2是由圖1拼成的風(fēng)車形狀，則下列等式母牛的是（）

A.$5+$7=$2B.2s6=S3C.S7=衿D.S7=S3

3.（2021?浙江金華?統(tǒng)考三模）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，下列四幅圖是愛思考的小紅同學(xué)用如圖

所示的七巧板拼成的，則這四個圖形的周長從大到小排列正確的是（）

A.乙＞丙＞甲＞丁B.乙＞甲＞丙〉丁

C.丙＞乙＞甲＞丁D.丙＞乙＞?。炯?/p>

4.（2022?湖南株洲?統(tǒng)考二模）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù),

經(jīng)歷代演變而成七巧板，也被譽為“東方魔板19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”）.圖

①是由邊長為8cm的正方形薄板分為7塊制作成的“七巧板”，圖②是用該“七巧板”拼成的一個“家”的圖形.該

“七巧板”中7塊圖形之一的正方形（陰影部分）面積為cm2.

5.（2022?陜西西安??？级＃┤鐖D（1）是邊長為8cm的正方形紙片做成的七巧板，用這副七巧板拼成圖

6.（2020?湖北黃石??？寄M預(yù)測）動手做一做：某校教具制作車間有等腰三角形正方形、平行四邊形的塑

料若干，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用其中7塊恰好拼成一個矩形（如圖1）,后來又用它們拼出了XYZ等字母

模型（如圖2、圖3、圖4）,每個塑料板保持圖1的標(biāo)號不變，請你參與：

（1）將圖2中每塊塑料板對應(yīng)的標(biāo)號填上去；

（2）圖3中，只畫出了標(biāo)號7的塑料板位置，請你適當(dāng)畫線，找出其他6塊塑料板，并填上標(biāo)號；

題型08畫直線、射線、線段

1.（2022?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，NAOB的一邊經(jīng)過的點是（）

B,

小,Q

M-，N

。/1

A.P點B.。點C.M點D.N點、

2.（2022?河北邢臺??？既＃┤鐖D，已知力，B,C三點，畫直線4B,畫射線力C,連接BC,按照上述語句

畫圖，下列正確的是（）

3.（2020?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，已知平面上四個點4B,C,D,按下列要求畫出圖形:

.D

A

BC

（1）畫線段BD和線段BD的延長線；

（2）線段4c和線段DB相交于點0；

（3）連結(jié)線段BC,反向延長線段BC.

題型09直線的性質(zhì)

1.（2022?廣東深圳.模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實例所應(yīng)用的最主要的幾何知識，

說法正確的是（）

A.學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對角線互相垂直平分”

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對稱圖形”

C.射擊時，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”

D.地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對邊相等”

2.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，鋸木板前，在木板兩端固定兩個點，用墨盒彈一根墨線然后再鋸，這

樣做的數(shù)學(xué)道理是（）

A.兩點之間線段最短

B.兩點確定一條直線

C.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

題型10線段的性質(zhì)

1.（2022?江蘇揚州?統(tǒng)考一模）下列三個日?，F(xiàn)象:

②道路改道③木條固定

其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是（）

A.①B.②C.③D.②③

2.（2021?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）小光準(zhǔn)備從A地去往2地，打開導(dǎo)航、顯示兩地距離為37.7km,但導(dǎo)航

提供的三條可選路線長卻分別為45km,50km,51km（如圖）.能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）

56分鐘59分鐘59分鐘

4法里5哇里51公里

A.兩點之間，線段最短B.垂線段最短

C.三角形兩邊之和大于第三邊D.兩點確定一條直線

3.（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）在一條沿直線MN鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個小區(qū)，現(xiàn)要求在MN上選取一

點P,向兩個小區(qū)鋪設(shè)電纜.下面四種鋪設(shè)方案中，使用電纜材料最少的是（）

甲

題型11與線段中點有關(guān)的計算

1.（2023?浙江?模擬預(yù)測）如圖，A,B兩地相距1200m,小車從A地出發(fā)，以8m/s的速度向2地行駛，中

途在C地?？?分鐘.大貨車從B地出發(fā)，以5m/s的速度向A地行駛，途經(jīng)。地（在A地與C地之間）

時沿原路返回2點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發(fā)至A點.已

知：AC=3BC,CD=100m,則直至兩車都各自到達(dá)終點時，兩車相遇的次數(shù)為（）

IIII

ADCB

A.2B.3C.4D.5

2.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，數(shù)軸上的三個點A,B,C分別表示實數(shù)a,b,c.

~~B4~A1*

（1）如果點C是AB的中點，那么a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系是,

（2）比較6-2與c+1的大小，并說明理由；

（3）化簡：—|a—2|+|d+1|+|c|.

3.（2023?山西太原?山西大附中?？寄M預(yù)測）已知線段a、b、c.

，a，

b

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB,使它等于a+c-6.（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,6=4,c=7,點C是線段AB的中點，求4C的長.

4.（2023?河北衡水?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知數(shù)軸上點4,B對應(yīng)的數(shù)為-5,1,點C為4B的中點，點P為

數(shù)軸上任意一點，且對應(yīng)的數(shù)為7H.

AB

III

-5

⑴若點尸為原點，在圖中標(biāo)出點尸的位置，并直接寫出點C對應(yīng)的數(shù);

（2）若點P在8的右側(cè)且滿足ZP=3PB,求-5,1與zn這三個數(shù)的和.

題型12兩點之間的距離

1.(2020?河北唐山?統(tǒng)考一模)4B、C、。四個車站的位置如圖所示.

ABCD

|<------a+b------?+*——2a-b-?!

-------------------3a+26--------------------------?

(1)4、。兩站的距離為；

(2)C、D兩站的距離為；

(3)若a=3,C為力。的中點，求6的值.

2.(2020?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖所示，M是線段45上一定點，AB=12cm,C,。兩點分別從點M,B

出發(fā)以lcm/s,2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示(點C在線段AM上，點。在線段

BM±).

(1)當(dāng)點C,。運動了2s時，求4C+MD的值.

(2)若點C,。運時，總有=24C,則4M=.

(3)在(2)的條件下，N是直線AB上一點，且AN—BN=MN,求翳的值.

<----<-------

ACMDB

3.(2020?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在數(shù)軸上有A,B兩點，點A在點B的左側(cè).已知點B對應(yīng)的數(shù)為2,

點A對應(yīng)的數(shù)為a.

(1)若a=-l,則線段AB的長為；

(2)若點C到原點的距離為3,且在點A的左側(cè)，BC-AC=4,求a的值.

—I------------------------L^.

AB

4.(2021?河北邯鄲?一模)如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點A,B,C把數(shù)軸分成①②③④四部

分，點A,B,C對應(yīng)的數(shù)分別是a,b,c,已知6c<0.

⑴請直接寫出原點在第幾部分；

(2)若AC=5,BC—3,b--1,求a；

(3)若點C表示數(shù)3,數(shù)軸上一點。表示的數(shù)為d,當(dāng)點C、原點、點D這三點中其中一點是另外兩點的中

點時，直接寫出d的值.

題型13度、分、秒的換算

1.（2021.內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考中考真題）74。19,30"=°.

2（2023?江蘇鹽城??？家荒＃┮阎?=65°30\則乙4的補角=°.

3.（2020?浙江湖州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）計算：40°-15°30,=.

題型14鐘面角的計算

1.（2019?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題）如圖，鐘表上10點整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ?/p>

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.（2022.安徽安慶?統(tǒng)考二模）如圖表示一個時鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上，其中分針上有一點A,且

當(dāng)鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10厘米，如圖①.若此鐘面顯示3點45

分時，A點距桌面的高度為18厘米，如圖②.則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為（）厘米

A.22-3V3B.16+TTC.22D.18+4V3

3.（2018?山東德州?校聯(lián)考一模）在下列時間段內(nèi)時鐘的時針和分針會出現(xiàn)重合的是（）

A.5：20-5：26B.5：26-5：27C.5：27-5：28D.5：28-5：29

題型15方向角的表示

1.（2022.河北石家莊.統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪從點A出發(fā)，沿正東方向前進(jìn)5m后向左轉(zhuǎn)30。，再前進(jìn)5m后

又向左轉(zhuǎn)30。，這樣一直走下去.以下說法錯誤的是（）

A.第二次左轉(zhuǎn)后行走的方向是北偏東30。B.第六次左轉(zhuǎn)后行走的方向是正西方向

C.第八次左轉(zhuǎn)后行走的方向是南偏西60。D.嘉琪第一次回到點A時，一共走了60根

2.（2022?河北石家莊??？家荒＃〢,B,C三地兩兩的距離如圖所示，8地在A地的正西方向，下面說法不

正確的是（）

A.C地在3地的正北方向上B.A地在8地的正東方向上C.C地在A地的北偏西60。方

向上D.A地在C地的南偏東30。方向上

3.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考二模）如圖，有4B,C三地，B地在4地北偏西36。方向上，AB1BC,貝地在C地

的（）

A.北偏西54。方向B.北偏東54。方向C.南偏西54。方向D.南偏西90。方向

題型16角平分線的相關(guān)計算

1.（2021.山東濟(jì)南.統(tǒng)考中考真題）如圖，AB//CD,乙4=30。，D4平分NCDE,貝UNDEB的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

2.（2020?四川樂山?中考真題）如圖,E是直線C力上一點，^FEA=40°,射線EB平分NCEF,GE1EF.貝|

乙GEB=()

C.30°D.40°

3.（2018?四川南充?統(tǒng)考一模）如圖，已知OC是/A08內(nèi)部任意的一條射線，OM,ON分別是/AOC、ZBOC

的平分線.

（1）若/AOM=20。，/BON=30。,求/MON的度數(shù)；

（2）若/AOB=a,求NMON的度數(shù).

4.（2020?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知。是直線4B上一點，將一個直角三角尺。MN按圖①方式放置，直角邊ON

在直線4B上，另一條直角邊0M與2B的夾角N40M=90。，射線。C在N40M內(nèi)部.

①

（1）如圖②，將三角尺。MN繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)。M平分NBOC時，試判斷乙40N與NCON的大小關(guān)系,

并說明理由.

（2）若N40C=60。,三角尺。MN繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一周，每秒旋轉(zhuǎn)5。，旋轉(zhuǎn)時間為t,則當(dāng)t為何值時NCON=

乙MOB?

（3）在（2）的條件下，在三角尺OMN繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，NCON+NMOB的值能否為定值?

若能，求t的取值范圍.

題型17求一個角的余角、補角

1.（2021?廣西百色.統(tǒng)考中考真題）已知/01=25。30,則它的余角為（）

A.25°30,B.64°30,C.74°30,D.154030,

2.（2019?甘肅蘭州?一模）一個角的補角是150。，則這個角的余角等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022?廣東東莞.東莞市東城實驗中學(xué)校聯(lián)考一模）若一個角的余角是25。,那么這個角的度數(shù)是.

4.（2022?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？级＃?）已知/01=35。19，，則Na的余角等于____；

（2）已知/p的補角為120°3746",Zp=°.

題型18與余角、補角有關(guān)的計算

1.（2021.陜西西安??？寄M預(yù)測）如圖，乙4。。與“。B互余，“OB=15。,。。平分乙4。。，貝吐8。。的度

數(shù)是（）

A.75°B.60°C.65°D.55°

2.（2023?廣東河源.三模）任意一個銳角的補角與這個銳角的余角的差等于°.

3.（2022?云南昆明.云大附中?？寄M預(yù)測）若41與42互補，43與N1互余，42+43=120。，貝—

Z1=.

題型19同（等）角的余（補）角相等

1.（2020?北京房山?統(tǒng)考一模）一副直角三角板有不同的擺放方式，圖中滿足/a與/p相等的擺放方式是

2.（2023?福建廈門?廈門一中?？家荒＃┤鐖D，在直角AABC中，AACB=90°,CD1于點。，貝Usin/1=

.BCDACAD門BD

A.—D.—C.—L）.—

ACABACBC

3.將一副三角板按如圖方式擺放，/I與N2不一定互補的是（）

4.（2020?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）將兩個三角尺的直角頂點重合為如圖所示的位置，若乙4。。=108。,

貝UzTOB=

D

O

題型19點到直線的距離

1.（2022?山東淄博?模擬預(yù)測）如圖，在△2BC中，4。=90。,4。平分NB4C交BC于點。，若4。=13,AC=12,

則點。到48的距離為（）

2.（2023下廣東深圳?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，4ABe=AADB=90°,DA=DB,若BC=2,AB=4,

則點。到AC的距離是（）

,6554

3.（2021?山東濱州?二模）閱讀下面材料：

我們知道一次函數(shù)y=fcc+b（際0,k、b是常數(shù)）的圖象是一條直線，到高中學(xué)習(xí)時，直線通常寫成At+By+C

=0（A/）,A、B、C是常數(shù)）的形式，點P（xo,雙）到直線Av+2y+C=0的距離可用公式計

算.

例如：求點尸（3,4）到直線y=-2尤+5的距離.

解：Vy=-2x+5

：.2x+y-5=0,其中A=2,B=l,C=-5

點尸（3,4）到直線尸-2x+5的距離為：二=也；了。：。"2'彎篤-5|=1=4

JVA2+B2V22+l2V5

根據(jù)以上材料解答下列問題:

X

（1）求點。（-2,2）到直線3x-y+7=0的距離;

（2）如圖，直線小y=-％沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線求這兩條平行直線之間的距離.

⑶若將"繞其與V軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90度與人相交，直接寫出。大于%時，%的取值范圍

題型20利用對頂角、鄰補角的性質(zhì)求解

1.（2022.北京.統(tǒng)考中考真題）如圖，利用工具測量角，則41的大小為（）

C.120°D.150°

2.（2020?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線a,b相交于點。，如果41+乙2=60。，那么。3是（）

b

A.150°B.120°C.60°D.30°

3.（2021?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖,a//b,11=60。，則乙2的度數(shù)為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

4.（2020?湖北黃岡?中考真題）已知：如圖，AB//EF,Z.ABC=75°,zCDF=135°,貝此=度.

題型21判斷同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

1.（2021.廣西百色.統(tǒng)考中考真題）如圖，與N1是內(nèi)錯角的是（）

Z3C.Z4D.Z5

2.（2018?浙江金華?中考真題）如圖,ZB的同位角可以是（)

Z2C.Z3D.Z4

題型22利用平行線的判定進(jìn)行證明

1.(2022.湖北武漢??？既?如圖,已知4D1BC,EFXBC,Zl=Z2.

(1)求證：EF||AD；

(2)求證：ABAC+Z.AGD=180°.

2.（2022?湖北武漢??？寄M預(yù)測）如圖，AB//CD,AM平分NA4E,FG平分

⑴求證：AM//GF；

（2）若NBAM=55。，求/CFE的度數(shù).

3.（2022?安徽合肥?合肥38中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=4C,點E在邊8C的延長線上，以AC

為邊作△2CD,使。4=DC,且點8、。在AC的兩側(cè)，連接AE交CD于點巴若乙4DC=NB4c.

(1)求證：ADWBE；

(2)求證：AC2=BC-CD-,

⑶若￡M=10、CE=2.5,S.AC2=2CF-AD,求AE的長;

題型23平行線判定的實際應(yīng)用

1.（2020?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣4B的垂線a和6,得到a〃6,理由

是（）

A.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行

B.在同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線

C.連接直線外一點與直線各點的所有直線中，垂線段最短

D.經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

2.（2019?遼寧撫順?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將木條a,b與c釘在一起，41=85。，42=50。，要使木

條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）

A.15°B.25°C.35°D.50°

3.（2021.山東煙臺.統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所

示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿從木桿的頂端5觀察井水水岸。，視線BO與井口的直徑4C交

于點E,如果測得=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為米.

題型24由平行線的性質(zhì)求角度

1.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線a||b,等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，Z2=40°,則41的

度數(shù)為（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

2.（2022?遼寧?統(tǒng)考中考真題）如圖,直線m\\n,4。，3。于點。，Zl=30°,則N2的度數(shù)為（）

C.120°D.110°

3.（2022.甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測）如圖，將平行四邊形A5CD沿對角線AC折疊，使點5落在點9處，若41=

Z2=36°,乙B為()

A.36°B.144°C.108°D.126°

4.（2021?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，乙4EC=40。，CB平分"CE,則乙4BC的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

題型25由平行線的性質(zhì)解決折疊問題

1.（2022.四川達(dá)州.模擬預(yù)測）如圖，生活中，將一個寬度相等的紙條按圖所示折疊一下，如果乙1=140。,

B.120°C.110°D.100°

2.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，把△ABC沿平行于BC的直線DE折疊，使點2落在邊BC上的點F處,

若48=50°,貝此引用的度數(shù)為

A

3.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模）如圖，將長方形紙片48CD折疊，使點。與點2重合，點C落在點C，處，折

痕為EF.若乙4BE=20。，則NEFC，的度數(shù)為.

4.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考二模）如圖1,41=55。，將矩形紙片沿虛線第一次折疊得到圖2,再沿圖2中

的虛線進(jìn)行第二次折疊得到圖3（點。在MN上），則N2的度數(shù)為.

7I

圖1

題型26平行線的性質(zhì)在實際生活的應(yīng)用

1.（2023.河北石家莊.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，燒杯內(nèi)液體表面4B與燒杯下底部CD平行，光線EF從液體中射

向空氣時發(fā)生折射，光線變成FH,點G在射線EF上.已知NHFB=20°,乙FED=56°,則ZGFH=（）

A.34°B.36°C.38°D.56°

2.（2022.山東濟(jì)南.校考一模）圖1是一款平板電腦文架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成.工作時，可將平板

電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上.圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板長200mm,支撐板C3長

80mm,當(dāng)NA5C=130。，NBCD=70。時，則托板頂點A到底座CD所在平面的距離為（）（結(jié)果精確到

1mm).(參考數(shù)據(jù)：sin70°~0.94,cos70°~0.34,tan70°~2.75,V2-1.41,V3-1.73).

圖2

A.246mmB.247mmC.248mmD.249mm

3.（2022?浙江溫州.統(tǒng)考三模）如圖，在墻面上安裝某一管道需經(jīng)兩次拐彎，拐彎后的管道與拐彎前的管道

平行.若第一個彎道處NB=140°,則第二個彎道處/C也為140°,能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

C.兩直線平行，同位角相等.D.同位角相等，兩直線平行.

4.（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）為測量校園某一塊路線指示牌的高度，小明繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面

圖如圖所示，并測得FG=1.3m,EF=lm,/.EFG=110°,UEF=70°,四邊形ABC。為矩形底座，且48=

10cm.請幫助小明求出指示牌最高點G到地面BC的距離.（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.940,

cos70°?0.342,tan70°~2.747,sin40°~0.643,cos40°?0.766,tan40°~0.839)

G

題型26利用平行線的性質(zhì)解決三角板問題

1.（2022?福建福州?福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線小舊，將一塊含45。角的直角三角板力BC

按如圖方式放置，其中斜邊BC與直線n交于點D.若41=25。，貝吐2的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.（2023?河南?河南省實驗中學(xué)校考三模）一副三角板如圖所示擺放，4BAC=^DAE=90。，^ACB=60°,

AAED=45°,BCIIDE,貝ikBAD的度數(shù)為（）

3.（2023下?廣西南寧?七年級三美學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖1,把一塊含30。的直角三角板28C的BC邊放置

于長方形直尺DEFG的邊上.

（圖1）（圖2）（備用圖）

（1）如圖2,現(xiàn)把三角板繞2點逆時針旋轉(zhuǎn)n。，當(dāng)0＜九＜90,且點C恰好落在DG邊上時，請直接寫出

41=°,42=。（結(jié)果用含"的代數(shù)式表示）；

⑵在（1）的條件下，若42恰好是41的9倍，求”的值.

（3）如圖1三角板48C的放置，現(xiàn)將射線BF繞點B以每秒2。的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線同時射線Q2繞

點。以每秒3。的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線QN,當(dāng)射線QN旋轉(zhuǎn)至與QB重合時，則射線BM、QN均停止轉(zhuǎn)動，

設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（s）.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在BM||QN若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

題型27根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度

1.（2023?江蘇揚州?校聯(lián)考二模）某同學(xué)制作簡易工具來測量物體表面的傾斜程度，方法如下：將刻度重新

設(shè)計的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90。刻度線與三角板的底邊平行.將用細(xì)線和鉛錘做成

的重錘線頂端固定在五角器中心點。處，現(xiàn)將三角板底邊緊貼被測物體表面，如圖所示，此時重錘線在量

角器：對應(yīng)的刻度為32。，那么被測物體表面的傾斜角a為（）

A.24°B.32°C.36°D.58°

2.（2023?河南周口?校聯(lián)考二模）已知一個零刻度落在點A的量角器（半圓。）的直徑為48,一等腰直角三

角板繞點8旋轉(zhuǎn).

（1）如圖1所示，當(dāng)?shù)妊苯侨前宓男边吔话雸A于C點，一直邊交半圓于。點，另一直邊交半圓于E點,

若點C在量角器上的讀數(shù)為25°,求此時點E在量角器上的讀數(shù)；

(2)如圖2所示，當(dāng)點C、。在量角器上的讀數(shù)a、夕滿足什么關(guān)系時，直角邊與半圓。相切于點。

題型28根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明

1.(2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模)如圖，將一副直角三角板如圖擺放，NGEF=6O°ZMNP=45°,ZBEF=75。.

CMND

a)AB與CD的位置關(guān)系是；

(2)在不標(biāo)字母的情況下，找出與乙4EG相等的角是.

2.(2019?廣東中山?統(tǒng)考二模)將兩塊直角三角板如圖1放置，等腰直角三角板力BC的直角頂點是點4,AB=

AC=3,直角板ED尸的直角頂點。在BC上，且CD:DB=1:2,ZF=30°.三角板ABC固定不動，將三角板EDF

繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°).

圖2圖3

(1)當(dāng)戊=時，EF//BC；

(2)當(dāng)a=45。時，三角板EDF繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，設(shè)DF與4C交于點M,DE交2B于點N,求

四邊形4VDM的面積.

（3）如圖3,設(shè)CM=無，四邊形4NDM的面積為y,求y關(guān)于久的表達(dá)式（不用寫x的取值范圍）.

3.（2021.江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中

ZZ）AB=45°,/C4B=30。，點O為斜邊A8的中點，連接CD交于點E.設(shè)A8=l.

（1）求證：A、B、C、。四個點在以點。為圓心的同一個圓上;

（2）分別求△A3C和△A3。的面積；

（3）過點。作。/〃BC交A3于點兒求OE：。尸的比值.

C

D

真即實戰(zhàn)練N

1.（2022.河北?統(tǒng)考中考真題）①?④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是由6

個小正方體構(gòu)成的長方體，則應(yīng)選擇（

④

C.③④D.①④

2.（2023?吉林長春.統(tǒng)考中考真題）下圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標(biāo)注了數(shù)字.若多面體的底

面是面③，則多面體的上面是（）

②③④

⑤|⑥|

A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥

3.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖是一正方體的表面展開圖.將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠(yuǎn)的

頂點是（

K

A.A點B.B點、C.C點D.￡)點

4.（2023?山東青島?統(tǒng)考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,其展

開圖如圖①所示.在一張不透明的桌子上，按圖②方式將二個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何

C.33D.34

5.（2022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱的底面直徑為48,高為4C,一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)

面爬到2處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）

A.B.D.

6.（2022.江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖,已知骰子相對兩面的點數(shù)之和為7,下列圖形為該骰子表面展開

圖的是（）

7.（2022?貴州六盤水?統(tǒng)考中考真題）如圖，裁掉一個正方形后能折疊成正方體，但不能裁掉的是（）

A.①D.④

8.（2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國的一種傳統(tǒng)智力玩具,下列用七巧板拼成的圖形是軸對稱

圖形的是（）

9.（2022.廣西柳州.統(tǒng)考中考真題）如圖,從學(xué)校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線

是（）

A.①B.②C.③D.④

10.(2023?北京?統(tǒng)考中考真題)如圖，ZXOC=Z.BOD=90°,^AOD=126°,貝！UBOC的大小為()

A.36°B.44°C.54°D.63°

11.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀.如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70。的

方向，則淇淇家位于西柏坡的（）

A.南偏西70。方向B.南偏東20。方向

C.北偏西20。方向D.北偏東70。方向

12.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖1,漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要

文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于

其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面

上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于人射角”.為了探清一口深井的底部情況，運用此原

理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線4B與地面CD所成夾角N4BC=50。時，要使太陽

光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡EF與地面的夾角NE8C=（）

淮

三

季

南

8第

總

蔣

軍

<

A.60°

13.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）將一副三角板按下圖所示擺放