2025《金版教程•高考數(shù)學復習創(chuàng)新方案》第2節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課標解讀考向預測1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.預計2025年高考主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷和求解異面直線所成的角，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題.必備知識——強基礎(chǔ)1．與平面有關(guān)的基本事實及推論(1)與平面有關(guān)的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過eq\x(\s\up1(01))不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的eq\x(\s\up1(02))兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條eq\x(\s\up1(03))過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實1的三個推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.基本事實4和等角定理基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線eq\x(\s\up1(04))互相平行．等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角eq\x(\s\up1(05))相等或互補．4．異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．()(2)沒有公共點的兩條直線是異面直線．()(3)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過點A的任意一條直線．()答案(1)√(2)×(3)×2．小題熱身(1)(人教A必修第二冊習題8.4T3改編)下列說法正確的是()A．兩組對邊分別相等的四邊形確定一個平面B．和同一條直線異面的兩條直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩條直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交答案C解析兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，而DD1與B1C1是異面直線，故B錯誤；如圖2，直線AB與CD是異面直線，若AC∥BD，有AC與BD確定一個平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與直線AB與CD是異面直線矛盾，則直線AC與BD一定不平行，故C正確；如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯誤．故選C.(2)(2023·四川綿陽中學診斷考試)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面答案D解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.(3)(2024·湖北荊州中學階段考試)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC答案C解析由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C.(4)(2024·浙江杭州二中月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．CC1與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°答案C解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故CC1與B1E是共面的，A錯誤；由于CC1?平面C1B1BC，而AE與平面C1B1BC交于點E，點E不在CC1上，故CC1與AE是異面直線，B錯誤；同理，AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．故選C.考點探究——提素養(yǎng)考點一基本事實的應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，連接D1F，CE.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥A1B，且EF＝eq\f(1,2)A1B.又A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1能夠確定一個平面ECD1F，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則P∈CE，且P∈D1F，∵CE?平面ABCD，D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三線共點．【通性通法】共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)證明線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．【鞏固遷移】1．(多選)(2024·湖北襄陽五中質(zhì)檢)下列關(guān)于點、線、面的位置關(guān)系的說法中不正確的是()A．若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合B．空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)C．直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b是異面直線D．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則A，M，O三點共線，且A，M，O，C四點共面答案ABC解析對于A，當這三點共線時，兩個平面可以不重合，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三個點在一條直線上，但平面ABCD與平面ADD1A1相交，不重合，故A不正確；對于B，從點A出發(fā)的三條棱AA1，AB，AD不在同一平面內(nèi)，故B不正確；對于C，如圖，記直線AA1，B1C1分別為c，d，直線AB1，A1B1分別為a，b，可知AB1∩A1B1＝B1，則此時直線a，b相交，故C不正確；對于D，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因為直線A1C交平面AB1D1于點M，所以M∈AO，即A，M，O三點共線，因為A，M，O三點共線，直線和直線外一點可以確定一個平面，所以A，O，C，M四點共面，故D正確．故選ABC.考點二空間兩條直線的位置關(guān)系例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．故選D.(2)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，與直線BC1異面的棱有()A．1條 B.2條C．3條 D．4條答案C解析在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1異面的直線有A1B1，AC，AA1，共3條．故選C.【通性通法】空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法和技巧【鞏固遷移】2．(2023·廣東廣州調(diào)研)若空間中四條直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1，l4既不平行也不垂直D．l1，l4位置關(guān)系不確定答案D解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取AA1為l2，BB1為l3，AD為l1，BC為l4，則l1∥l4；取AD為l1，AB為l4，則l1⊥l4；取AD為l1，A1B1為l4，則l1與l4異面，因此l1，l4的位置關(guān)系不確定．故選D.3.(2024·南京模擬)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是()A．直線CD與直線GH異面B．直線CD與直線EF共面C．直線AB與直線EF平行D．直線GH與直線EF共面答案B解析如圖，點C與點G重合，故A錯誤；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四邊形CDBE是平行四邊形，∴CD∥EF，∴CD與EF共面，故B正確；∵AB∩EF＝B，∴AB與EF相交，故C錯誤；∵EF與GH既不平行也不相交，∴EF與GH是異面直線，故D錯誤．故選B.考點三異面直線所成的角例3(2024·河北邢臺月考)已知圓柱的母線長與底面半徑之比為eq\r(3)∶2，四邊形ABCD為其軸截面，若點E為上底面eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，則異面直線DE與AB所成角的余弦值為()A．eq\f(2\r(11),11) B．eq\f(2\r(7),7)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),3)答案A解析如圖所示，因為AB∥CD，所以∠EDC(或其補角)為異面直線DE與AB所成的角．設(shè)CD的中點為O，過點E作EF⊥底面圓于F，連接OE，OF，因為E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，所以F是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點，CD⊥OF.又因為EF⊥圓O，所以EF⊥CD.由于EF∩OF＝F，OF，EF?平面OEF，則CD⊥平面OEF，OD⊥OE.設(shè)AD＝eq\r(3)，則OD＝OF＝2.所以O(shè)E＝eq\r(7)，ED＝eq\r(11)，所以cos∠EDC＝eq\f(OD,DE)＝eq\f(2,\r(11))＝eq\f(2\r(11),11).故選A.【通性通法】求異面直線所成角的步驟(1)作：通過作平行線得到相交直線．(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．【鞏固遷移】4．(2023·湖北荊州模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點，若AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1C與AD所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如圖，取B1C1的中點D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補角)就是異面直線A1C與AD所成的角．連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C?平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1CD1為直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，∴∠CA1D1＝60°.故選C.課時作業(yè)一、單項選擇題1．下列敘述錯誤的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈lB．若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個平面C．三點A，B，C確定一個平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α答案C解析對于A，點P是兩平面的公共點，則點P在兩平面的交線上，故A正確；對于B，由基本事實的推論可知，兩相交直線確定一個平面，故B正確；對于C，只有不共線的三點才能確定一個平面，故C錯誤；對于D，由基本事實2，直線上有兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi)，故D正確．故選C.2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交或異面B．若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行答案A解析m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，對于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；對于B，若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n平行、相交或異面，故D錯誤．故選A.3．(2024·遼寧營口模擬)已知空間中不過同一點的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析空間中不過同一點的三條直線a，b，l，若a，b，l共面，則a，b，l相交或a，b，l有兩個平行、另一直線與之相交或三條直線兩兩平行，所以若a，b，l共面，則a，b，l兩兩相交不一定成立；而若a，b，l兩兩相交，則a，b，l共面成立．故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件．故選A.4．(2024·遼寧沈陽高三模擬)如圖是某正方體的展開圖，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)分別是原正方體對應(yīng)棱的中點，則在原正方體中與AB異面且所成的角為60°的直線是()A．CD B．DEC．EF D．CE答案C解析由題設(shè)，將展開圖還原成正方體及各點的空間位置如圖所示．結(jié)合選項及正方體的性質(zhì)知，與AB異面的直線有EF，CE，其中只有EF與AB所成的角為60°.故選C.5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面答案D解析設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2a，則MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)a，作點E在平面ABCD內(nèi)的射影為點G，連接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故A，C錯誤；連接A1D，B1C，因為E為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因為M，N分別為B1C1，CC1的中點，所以MN∥B1C，又因為B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故B錯誤，D正確．6．(2023·山東威海期末)在空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，G∈CD，H∈AD，且CG＝2GD，AH＝2HD，則()A．直線EH與FG平行B．直線EH，F(xiàn)G，BD相交于一點C．直線EH與FG異面D．直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點答案B解析因為CG＝2GD，AH＝2HD，且∠ADC＝∠HDG，所以△ADC∽△HDG，所以HG∥AC且HG＝eq\f(1,3)AC，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，所以HG∥EF且HG≠EF，故四邊形EFGH為梯形，且EH，F(xiàn)G是梯形的兩腰，所以EH，F(xiàn)G交于一點，設(shè)交點為P，則P∈EH，P∈FG，又因為EH?平面ABD，F(xiàn)G∈平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以點P是直線EH，BD，F(xiàn)G的公共點，故直線EH，F(xiàn)G，BD相交于一點．故選B.7．(2024·浙江紹興質(zhì)檢)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為2，M，N分別為AB，BC的中點，則異面直線A1M與B1N所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(7,10)答案D解析如圖，延長MB到P，使得BP＝MB，因為M是AB的中點，則MP＝AB，又MP∥A1B1，所以四邊形A1B1PM是平行四邊形，A1M∥B1P，所以異面直線A1M與B1N所成的角是∠PB1N(或其補角)，又N是BC的中點，所以BP＝BN＝1，PN＝eq\r(BP2＋BN2－2BP·BNcos∠PBN)＝eq\r(12＋12－2×1×1×cos120°)＝eq\r(3)，又三棱柱是正三棱柱，所以B1P＝B1N＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，cos∠PB1N＝eq\f(B1P2＋B1N2－PN2,2B1P·B1N)＝eq\f(5＋5－3,2×5)＝eq\f(7,10).故選D.8．(2023·上海浦東華師大二附中練習)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱A1D1，D1C1，AB的中點，Q是線段MN上的動點，則下列直線中，始終與直線PQ異面的是()A．AB1 B．BC1C．CA1 D．DD1答案A解析對于A，AB1?平面ABB1A1，P∈平面ABB1A1，Q?平面ABB1A1，所以直線PQ與AB1異面，A符合題意；對于B，當點Q與點N重合時，因為PB∥NC1，又M，N，P分別是棱A1D1，D1C1，AB的中點，所以PB＝NC1，所以直線PQ∥BC1，B不符合題意；對于C，連接A1P，PC，CN，NA1，在正方體中，易得A1P∥CN且A1P＝CN，所以A1C與PN相交，即當點Q與點N重合時，直線PQ與CA1相交，C不符合題意；對于D，取A1B1的中點H，連接D1H交MN于點E，連接DP，PH，因為PH∥DD1且PH＝DD1，所以DP∥D1H且DP＝D1H，故當點Q與點E重合時，直線PQ與DD1相交，D不符合題意．故選A.二、多項選擇題9．(2023·廣西梧州模擬)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是()答案BD解析對于A，直線GH∥MN；對于B，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；對于C，連接GM，GM∥HN，因此直線GH與MN共面；對于D，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，G?MN，因此直線GH與MN異面．故選BD.10．(2024·江蘇南京一中高三檢測)在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法正確的是()A．M，N，P，Q四點共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形答案ABC解析對于A，易知MQ∥BD，NP∥BD，則MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A正確；對于B，根據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B正確；對于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠QEM＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正確；對于D，易知MQ∥BD，MQ＝eq\f(1,2)BD，NP∥BD，NP＝eq\f(1,2)BD，所以MQ∥NP，MQ＝NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D不正確．故選ABC.三、填空題11．(2023·安徽蕪湖階段考試)設(shè)a，b，c是空間的三條直線，下面給出四個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．其中真命題的個數(shù)是________．答案0解析若a⊥b，b⊥c，則a與c可能相交、平行、異面，故①錯誤；若a，b異面，b，c異面，則a，c可能異面、相交、平行，故②錯誤；若a，b相交，b，c相交，則a，c可能異面、相交、平行，故③錯誤；同理④錯誤．故真命題的個數(shù)為0.12.(2024·湖南長郡中學階段考試)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，CC1的中點，則異面直線A1E與BF所成角的大小為________．答案eq\f(π,2)解析取D1D的中點G，連接AG，GF，記A1E與AG的交點為M，如圖所示，因為G，F(xiàn)分別是棱D1D，CC1的中點，所以GF∥AB，且GF＝AB，故四邊形ABFG為平行四邊形，所以AG∥BF，所以A1E與BF所成的角即為A1E與AG所成的角，因為E，G是棱AD，D1D的中點，所以A1A＝AD，AE＝GD，∠A1AD＝∠ADG＝eq\f(π,2)，所以△A1AE≌△ADG，所以∠AA1E＝∠DAG，因為∠DAG＋∠A1AG＝∠A1AE＝eq\f(π,2)，所以∠AA1E＋∠A1AG＝eq\f(π,2)，所以∠AMA1＝π－(∠AA1E＋∠A1AG)＝eq\f(π,2)，故A1E與AG所成的角為eq\f(π,2)，即A1E與BF所成的角為eq\f(π,2).13.(2024·陜西渭南模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1A的中點，點O為對角線AC，BD的交點，若平面EOF∩平面ABCD＝l，l∩AB＝G，且AG＝kGB，則實數(shù)k＝________．答案eq\f(1,3)解析延長EF，交DA的延長線于點H，連接OH，交AB于點G，∵H∈EF，EF?平面EOF，H∈AD，AD?平面ABCD，平面EOF∩平面ABCD＝l，∴H∈l，故直線OH即為直線l，取AD的中點M，連接MO，ME，又E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1A的中點，∴AH＝A1E＝AM，∴AG＝eq\f(1,2)MO＝eq\f(1,4)AB，BG＝eq\f(3,4)AB，∴AG＝eq\f(1,3)GB，即k＝eq\f(1,3).14.(2024·湖南衡陽八中校考階段練習)如圖所示，圓錐底面半徑為2，O為底面圓心，A，B為底面圓O上的點，且∠AOB＝eq\f(π,3)，∠PAO＝eq\f(π,4)，則直線OA與PB所成角的余弦值為________．答案eq\f(\r(2),4)解析連接AB，取AP，AB，PO的中點分別為M，Q，N，連接OQ，則MN∥OA，MQ∥PB，PO⊥平面AOB，所以∠NMQ(或其補角)為直線OA與PB所成的角，又OA?平面AOB，OB?平面AOB，所以PO⊥OA，PO⊥OB，因為∠AOB＝eq\f(π,3)，∠PAO＝eq\f(π,4)，OA＝OB＝2，所以PO＝OA＝2，ON＝eq\f(1,2)PO＝1，PB＝eq\r(2)PO＝2eq\r(2)，OQ＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，所以MQ＝eq\f(1,2)PB＝eq\r(2)，NQ＝eq\r(OQ2＋ON2)＝2，MN＝eq\f(1,2)OA＝1，則由余弦定理，得cos∠NMQ＝eq\f(12＋（\r(2)）2－22,2×1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),4)，所以直線OA與PB所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).四、解答題15.(2024·河南洛陽階段考試)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，點G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，H，G四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，H，G四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC，∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．16.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．解(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角即為異面直線EF與BD所成的角．又因為AC⊥BD，所以FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.17.(多選)(2023·山西太原模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是()A．GH與EF