2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.2基本不等式及其應(yīng)用知識點(diǎn)講解含解析

專題2.2基本不等式及其應(yīng)用【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.駕馭基本不等式(a，b＞0)及其應(yīng)用.2．培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).【學(xué)問清單】1．重要不等式當(dāng)a、b是隨意實(shí)數(shù)時，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立．2．基本不等式當(dāng)a>0，b>0時有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立．3．基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值．4.常用推論（1）（）（2）（，）；（3）【典例剖析】高頻考點(diǎn)一：利用基本不等式證明不等式例1.已知、、都是正數(shù)，求證：【答案】見解析【解析】∵、、都是正數(shù)∴（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）即.【方法技巧】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種狀況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對不滿意運(yùn)用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等．【變式探究】1.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.【答案】見解析【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“＝”．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．2.求證:【答案】見解析【解析】證明:由基本不等式和得=當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值例2.（2024年高考天津卷文）設(shè)，則的最小值為__________.【答案】【解析】.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.又因?yàn)樗缘淖钚≈禐?例3．（浙江省金麗衢十二校2025屆高三第一次聯(lián)考）若實(shí)數(shù)、滿意，且，則的最小值是__________，的最大值為__________．【答案】2【解析】實(shí)數(shù)、滿意，且，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值是2，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號故的最大值為，故答案為：2，．【規(guī)律方法】利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：運(yùn)用均值不等式所涉及的項(xiàng)必需為正數(shù)，假如有負(fù)數(shù)則考慮變形或運(yùn)用其它方法（2）定：運(yùn)用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要留意以下兩點(diǎn)：①若求最值的過程中多次運(yùn)用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必需能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則運(yùn)用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.留意：形如的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．【變式探究】1.（陜西省2024年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測）若正數(shù)滿意，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.2.設(shè)當(dāng)________時，取到最小值．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故當(dāng)時，取得最小值是，故答案是.【總結(jié)提升】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的敏捷變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)留意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，留意利用系數(shù)的改變以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)留意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．高頻考點(diǎn)三：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例4.（2024·江蘇高考真題）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲之和最小,則的值是.【答案】30【解析】總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.【規(guī)律方法】1.用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題留意點(diǎn)：(1)此類型的題目往往較長，解題時需仔細(xì)閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能運(yùn)用基本不等式求解，此時可依據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．【易錯警示】忽視不等式等號成立的條件！【變式探究】如圖，有一塊等腰直角三角形的空地，要在這塊空地上開拓一個內(nèi)接矩形的綠地，已知,，綠地面積最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)，，由條件可知和為等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以綠地面積最大值為4，故選C．高頻考點(diǎn)四：基本不等式的綜合運(yùn)用例5.（2024·黑龍江省佳木斯一中高一期中（理））已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】（1）①當(dāng)即時，，不合題意；②當(dāng)即時，，即，∴，∴（2）即即①當(dāng)即時，解集為②當(dāng)即時，∵，∴解集為③當(dāng)即時，∵，所以，所以∴解集為（3）不等式的解集為，，即對隨意的，不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，設(shè)則，，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，，所以例6．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）若不等式對隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)取最大值時，設(shè)，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，所以，∴.（Ⅱ）依據(jù)題意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以的最小值為.【總結(jié)提升】基本不等式的綜合應(yīng)用求解策略(1)應(yīng)用基本不等式推斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求參數(shù)的值或范圍：視察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍．【變式探究】1．(2024·北京海淀模擬)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，當(dāng)x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2eq\r(2)－1)C．(－1,2eq\r(2)－1) D．(－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋eq\f(2,3x).而3x＋eq\f(2,3x)≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(2,3x)，即x＝log3eq\