2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3講柯西不等式與排序不等式第2課時(shí)一般形式的柯西不等式作業(yè)含解析新人教A版選修4-5

PAGE第三講第2課時(shí)A．基礎(chǔ)鞏固1．n個(gè)正數(shù)的和與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是()A．1 B．nC．n2 D．eq\f(1,n)【答案】C【解析】設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，則由柯西不等式得(a1＋a2＋…＋an)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,an)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a1)·\r(\f(1,a1))＋\r(a2)·\r(\f(1,a2))＋…＋\r(an)·\r(\f(1,an))))2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.2.(2024年西安校級(jí)月考)已知a，b，c∈R，若a4＋b4＋c4＝1，則a2＋b2＋c2的最大值為()A.1B.eq\r(3)C.2D.3【答案】B【解析】因?yàn)閍4＋b4＋c4＝1，由柯西不等式可知(a2＋b2＋c2)2≤(12＋12＋12)[(a2)2＋(b2)2＋(c2)2]，所以(a2＋b2＋c2)2≤3，即a2＋b2＋c2≤eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝b2＝c2＝eq\f(\r(3),3)時(shí)取等號(hào)，最大值為eq\r(3).3．已知x，y，z，a∈R且x2＋4y2＋z2＝6，則使不等式x＋2y＋3z≤a恒成立的a的最小值為()A．6 B．eq\r(66)C．8 D．eq\r(88)【答案】B【解析】∵(x2＋4y2＋z2)(12＋12＋32)≥(x＋2y＋3z)2，∴x＋2y＋3z≤eq\r(66)，又x＋2y＋3z≤a恒成立，∴a≥eq\r(66)，即a的最小值為eq\r(66).4．對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿意4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大時(shí)，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)的最小值是______．【答案】－1【解析】∵4a2－2ab＋b2－c＝0，∴eq\f(c,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))2＋eq\f(3,16)b2.由柯西不等式，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))2＋\f(3,16)b2))[22＋(2eq\r(3))2]≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))＋\f(\r(3),4)b×2\r(3)))2＝|2a＋b|2，故當(dāng)|2a＋b|取得最大值時(shí)，有2eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))＝2×eq\f(\r(3),4)b，∴a＝eq\f(b,2)，c＝b2.∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)＝eq\f(2,b)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,b2)＝eq\f(4,b)＋eq\f(4,b2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,2)))2－1，當(dāng)b＝－2時(shí)，取得最小值為－1.5．已知a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值是________．【答案】9【解析】∵a，b，c均為正數(shù)且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))·(a＋b＋c)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,a))·\r(a)＋\r(\f(1,b))·\r(b)＋\r(\f(1,c))·\r(c)))2＝9，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))min＝9.6．已知aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋…＋xeq\o\al(2,n)＝1，則a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是________．【答案】1【解析】∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1x1＋a2x2＋…＋anxn))≤eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n))·eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n))＝1，∴－1≤a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.故最大值為1.7．(2024年武漢校級(jí)月考)設(shè)f(x)＝|x－3|＋|x－4|.(1)解不等式f(x)≤2；(2)已知實(shí)數(shù)x，y，z滿意2x2＋3y2＋6z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【解析】(1)當(dāng)x＜3時(shí)，不等式化為－x＋3－x＋4≤2，∴x≥eq\f(5,2)，∴eq\f(5,2)≤x＜3；當(dāng)3≤x≤4時(shí)，不等式化為x－3－x＋4≤2，成立；當(dāng)x＞4時(shí)，不等式化為x－3＋x－4≤2，∴x≤eq\f(9,2)，∴4＜x≤eq\f(9,2).綜上所述，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)≤x≤\f(9,2))))).(2)由柯西不等式得[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2＋(eq\r(6)z)2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(6))))2))≥(x＋y＋z)2，因?yàn)?x2＋3y2＋6z2＝a(a＞0)，所以a≥(x＋y＋z)2.因?yàn)閤＋y＋z的最大值是1，所以a＝1.當(dāng)2x＝3y＝6z時(shí)，x＋y＋z取最大值，所以a＝1.B．實(shí)力提升8．已知P是邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別是x，y，z，則x，y，z的關(guān)系式是________，x2＋y2＋z2的最小值是__________．【答案