公開課24.1.2垂直于弦的直徑

公開課24.1.2垂直于弦的直徑問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解圓的軸對(duì)稱性；2、掌握垂徑定理及其推論；3、能用垂徑定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。認(rèn)真閱讀課本P80-81內(nèi)容，會(huì)解決下列問題：1、什么是垂徑定理？它的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？如何用符號(hào)表示？課本中是怎樣證明的？2、垂徑定理的推論是什么？你會(huì)證明嗎？3、看例題，先做再對(duì)照：怎樣添加輔助線求半徑R？（若有困難，同伴交流）時(shí)間：8分鐘學(xué)法指導(dǎo)如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？?思考·OABCDE（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：AE=BE?。骸小小小蠥C＝BC，AD＝BD說理C.OAEBD疊合法證明：連結(jié)OA、OB，則OA＝OB。因?yàn)榇怪庇谙褹B的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸又是⊙O的對(duì)稱軸。所以，當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，AE和BE重合，AC、AD分別和BC、BD重合。因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。題設(shè)結(jié)論（1）過圓心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧命題（1）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧已知：CD是直徑，AB是弦，并且CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題（2）：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒C.OAEBDC垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論（1）（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理記憶根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)量中的已知任何兩個(gè)量都可推出其他三個(gè)量。注意判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧…………..()（2）弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧………()（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在圖中如圖，用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD就是拱高．AB︵AB︵AB︵例1如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。解：連結(jié)OA。過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3厘米，AE＝BE?！逜B＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。.AEBO講解例2已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。求證：AC＝BD。證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO講解例3已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB?！逜B∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON講解結(jié)論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等小結(jié):解決