北京市海淀區(qū)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段考試數(shù)學(xué)試題含答案

北京市海淀區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共12小題）1．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是單位正方體，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．3．若，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，4．長方體中，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（

）A． B．a(chǎn) C． D．6．如圖所示，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱的長度都為1，且兩兩夾角為，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別有180，270，90名教師，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A．10 B．12 C．18 D．248．“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（

）A．8 B．8.5 C．9 D．109．下列四個(gè)說法：①若向量是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底；②空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量；③若兩條不同直線的方向向量分別是，則////；④若兩個(gè)不同平面的法向量分別是且，則//．其中正確的說法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知點(diǎn)，，，，則向量在向量上的投影向量的模為（

）A． B．1 C． D．11．冬末春初，乍暖還寒，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱，若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會影響到人們的身體健康，干擾正常工作生產(chǎn)，某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于37.3℃，則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，下列連續(xù)7天體溫高于37.3℃人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（

）（1）中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

（2）均值小于1，中位數(shù)為1（3）均值為3，眾數(shù)為4

（4）均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）12．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①存在點(diǎn)，使得

②不存在點(diǎn)，使得平面③三棱錐的體積是定值

④不存在點(diǎn)，使得與所成角為A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）13．已知兩條異面直線對應(yīng)的方向向量分別是，，則異面直線的夾角為．14．某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)榉?15．已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為.16．如圖，平行六面體中，，，，則線段的長度是.17．已知空間向量（1）若，且，則；（2）若共面，在以下三個(gè)條件中①，②，③選取一個(gè)作為已知，則的值可以為．18．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)．動點(diǎn)沿著棱從點(diǎn)向點(diǎn)移動，對于下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得；②的面積越來越大；③四面體的體積不變．所有正確的結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共6小題）19．某市舉辦“強(qiáng)國有我，愛我中華”科技知識競賽，賽后將參賽的2000名學(xué)生成績分成4組：①，②，③，④，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，公布了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)這2000名學(xué)生科技知識競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(2)某同學(xué)獲知自己的成績進(jìn)入本次競賽成績前，估計(jì)該同學(xué)的成績不低于多少分？20．記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，.(1)求B；(2)若時(shí)，求的面積.21．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)以為一組基底表示向量；(2)若，，，求．22．如圖所示，點(diǎn)分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求二面角的余弦值.23．如圖，在五面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，平面平面，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)求三棱錐的體積．24．對于維向量，若對任意均有或，則稱為維向量.對于兩個(gè)維向量定義.（1）若,求的值；（2）現(xiàn)有一個(gè)維向量序列：若且滿足：，求證：該序列中不存在維向量.(3)現(xiàn)有一個(gè)維向量序列：若且滿足：，若存在正整數(shù)使得為維向量序列中的項(xiàng)，求出所有的.

參考答案1．【答案】D【詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)為.故選：D2．【答案】A【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為.故選：A.3．【答案】B【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，可得，即，解?故選：B.4．【答案】A【詳解】，，到直線的距離為.故選：A.5．【答案】C【詳解】如圖，連接，它們交于點(diǎn)，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的長即為棱到面的距離，而，所以所求距離為．故選：C．6．【答案】B【詳解】設(shè)向量，且，可得，則，所以，，所以，且，所以.故選：B.7．【答案】A【分析】按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.【詳解】，，三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．【答案】C【詳解】由，故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又，故四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是9.故選：C9．【答案】D【詳解】試題分析：：①若向量是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底，正確．②空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量，正確．③若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，則∥∥，正確．④若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是，且，∵，則∥．其中正確的說法的個(gè)數(shù)是4考點(diǎn)：空間向量的概念10．【答案】D【詳解】根據(jù)題意：，，向量在上的投影向量的模為.故選：D.11．【答案】D【詳解】將7個(gè)數(shù)由小到大依次記為、、、、、、.對于（1）選項(xiàng)，反例：、、、、、、，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，與題意矛盾，（1）選項(xiàng)不合乎要求；對于（2）選項(xiàng)，假設(shè)，即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱，因中位數(shù)為1，則，平均數(shù)為，矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，（2）選項(xiàng)合乎要求；對于（3）選項(xiàng)，反例：、、、、、、，滿足眾數(shù)為4，均值為3，與題意矛盾，（3）選項(xiàng)不合乎要求；對于（4）選項(xiàng)，假設(shè)，即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱，若均值為2，則方差為，即，與（4）選項(xiàng)矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，（4）選項(xiàng)合乎要求.故選：D12．【答案】A【詳解】對于①，在正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，所以，，而為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，若存在點(diǎn)，使得，且、不重合，則，這與矛盾，假設(shè)不成立，①錯(cuò)；對于②，若為中點(diǎn)，則，而，故，又面，面，則，故，因?yàn)椋?、面，則面，所以存在使得平面，②錯(cuò)；對于③，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，則，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運(yùn)動時(shí)，到面的距離不是定值，故三棱錐的體積不是定值，③錯(cuò)；對于④，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則、，且，所以，，則，整理可得，解得，合乎題意，所以，存在點(diǎn)，使得與所成角為，④錯(cuò).故選：A.13．【答案】【詳解】由已知，由于異面直線夾角的取值范圍為所以異面直線的夾角為.故答案為：14．【答案】95【詳解】設(shè)所求平均成績?yōu)椋深}意得，∴.故答案為：9515．【答案】【詳解】依題意.所以方差為.故答案為.16．【答案】.【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，所以，所以，故答案為：.17．【答案】或或(只需寫出一個(gè))【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，解得?2)因?yàn)楣裁?，所以由空間向量的基本定理可知，，選①，則，故，解得；選②，則，故，解得；選③，則，故，解得；綜上所述，的值可以為或或.故答案為：；或或.18．【答案】①③【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，設(shè)，則，令，解得：，所以存在點(diǎn)，使得，故①正確；，，設(shè)點(diǎn)到直線距離為，則，所以，因?yàn)?，動點(diǎn)沿著棱從點(diǎn)向點(diǎn)移動，所以從逐漸變到，隨著的變大，的面積越來越小，②錯(cuò)誤；以為底，高為點(diǎn)到上底面的距離，因?yàn)榈酌妫圆蛔?，所以四面體的體積不變，③正確．故答案為：①③．19．【答案】(1)83.5(2)92分【詳解】（1）因?yàn)?，所以這2000名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)可以估計(jì)為83.5．（2）因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)占總數(shù)的，該同學(xué)的成績進(jìn)人本次競賽成績前，所以．所以可以估計(jì)該同學(xué)的成績不低于92分．20．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理得，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所?（2）由（1）知，且，因?yàn)?，由正弦定理，可得，又由，所以的面積為.21．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵為線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）．22．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋瑒t，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，且，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）解：在正方形中，可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角所成角的角為，且，所以，所以二面角所成角的余弦值為.23．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理來證明線面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量發(fā)求線面角；(3)先利用向量法求點(diǎn)到面的距離，然后利用體積公式求解棱錐體積.【詳解】(1)因?yàn)槭堑冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以．平面，又平面平面，平面平面，所以平面；(2)記的中點(diǎn)為，易知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

令，此時(shí)．設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角為；(3)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，則．由平面幾何知識，易知在直角梯形中，所以．

24．【