安徽省亳州市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

安徽省亳州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量，則的方程為（

）A． B．C． D．2．在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則向量共面；④已知空間的三個(gè)向量，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)使得其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（

）

A． B． C．4 D．24．a(chǎn)=?1是直線與直線(垂直的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．直線與圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則△EOF（O是原點(diǎn)）的面積為（

）A． B． C． D．6．設(shè)點(diǎn)?，若直線l過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．7．直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．10．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，11．曲線被稱(chēng)為“幸運(yùn)四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的有（

）A．曲線C關(guān)于直線交于不同于原點(diǎn)的Ax1,yB．存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；C．存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；D．曲線C上存在一個(gè)點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離之積大于.三、填空題（本大題共3小題）12．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為．13．設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，過(guò)作的垂線交軸于點(diǎn)，若，記橢圓的離心率為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點(diǎn)，設(shè)．(1)若，，求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與互相垂直，求k．16．已知直線與圓：交于兩點(diǎn)．（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程．17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求外接圓的方程；(2)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(3)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求出直線的斜率.18．如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．19．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意知直線的法向量是，可得其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：C2．【答案】A【詳解】對(duì)于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于向量可以平移，兩個(gè)向量一定共面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，任意兩個(gè)向量自然是兩兩共面，三個(gè)向量則不一定共面，例如空間直角坐標(biāo)系軸所在的向量?jī)蓛晒裁妫秋@然軸不共面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若共線時(shí)，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對(duì)于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯(cuò)誤.于是四個(gè)選項(xiàng)都是錯(cuò)的.故選：A3．【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選C.4．【答案】A【詳解】當(dāng)a=?1時(shí)，兩條直線分別化為：，，此時(shí)兩條直線相互垂直；當(dāng)時(shí)，兩條直線分別化為：，，此時(shí)兩條直線不垂直；當(dāng)、時(shí)，兩條直線的斜率分別：，，∵兩條直線相互垂直，∴，解得．綜上可得：a=?1是直線與直線(垂直的充分不必要條件．故選A．5．【答案】D【詳解】分析：由題意分別求得三角形的底邊和高，然后計(jì)算面積即可.詳解：由題意可知原點(diǎn)、圓心到直線的距離分別為：，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為：，則的面積為.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：.6．【答案】A【詳解】如圖所示：

依題意，，要想直線l過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則或，故選：A7．【答案】B【詳解】設(shè)直線的傾斜角為.因?yàn)?，，，所以?又，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.8．【答案】D【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．9．【答案】BD【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，，B正確：對(duì)于C選項(xiàng)，，則，則，C錯(cuò)誤：對(duì)于，則，D正確.故選：BD.10．【答案】ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A正確，B錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接，，可知，，，由勾股定理可得，CD正確.故選ACD.【方法總結(jié)】若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.11．【答案】AC【詳解】因?yàn)橛煽傻?，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又直線過(guò)原點(diǎn)，所以Ax1,y所以，所以A正確；由，所以，即：①，當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，點(diǎn)在曲線上，而，所以不可能在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，點(diǎn)可以在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓上，故C正確，由①式知，所以D錯(cuò)誤．故答案為：AC．12．【答案】【分析】由題知、，進(jìn)而求解方程即可.【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：13．【答案】/【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：14．【答案】【詳解】如下圖所示：

因?yàn)椋?，所以，可得，即，可得；又在中，，由橢圓定義可得，即，所以，可得.故答案為：15．【答案】(1)或(2)(3)或【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因此或；?）因?yàn)樗耘c的夾角的余弦值為；（3）因?yàn)榕c互相垂直，所以或.16．【答案】（1）（2）（3）【詳解】試題分析：（1）由題意，線段垂直平分線經(jīng)過(guò)圓的圓心，斜率為，可得線段的垂直平分線的方程；（2）利用，求出圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，從而可求的值；（3）設(shè)切線方程，利用點(diǎn)到直線距離，建立斜率的方程．試題解析：（1）由題意，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓的圓心，斜率為，∴方程為，即；（2）圓可化為，∵，∴圓心到直線的距離為，∵圓心到直線的距離為，∴，∴（3）由題意，知點(diǎn)不在圓上．①當(dāng)所求切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即．由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得，所以所求切線的方程為．②當(dāng)所求切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為．綜上，所求切線的方程為．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】解析幾何中求切線方程是一種重要題型，也是易錯(cuò)題型，其根源是忽視了直線方程的局限性．直線方程的點(diǎn)斜式（斜截式）都漏掉了一種情況，即斜率不存在的情況，故在利用這種形式的直線方程時(shí)，一定要養(yǎng)成優(yōu)先考慮特殊情況的習(xí)慣；同樣，直線方程的截距式也存在著不足，不僅要求斜率存在且不能為零，還要求直線不能過(guò)原點(diǎn)．17．【答案】(1)(2)或(3)，【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，，則，解得，則圓的方程為，即；（2）由（1）得圓心，半徑，又，可知圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，成立；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，則直線方程為，即；綜上，直線方程為x=1或.（3）由D1,4在圓外，則在中，，，又，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，此時(shí)為等腰直角三角形，即圓心到直線的距離，即，解得.

18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，