北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷分為兩卷，卷（I）100分，卷（II）50分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘卷（I）選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分1.已知集合，，則集合A.B.C.D.2.函數(shù)的定義域是A.B.C.D.3.命題“，”的否定是A.，B.，C.，D.，4.如果，那么下列不等式中正確的是A．B．C．D．5.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是A．B.C.D.6.函數(shù)的圖像關(guān)于A．原點(diǎn)對(duì)稱B．x軸對(duì)稱C．y軸對(duì)稱D．點(diǎn)對(duì)稱7.已知，則“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0B．1 C．2 D．39.下列函數(shù)中，滿足的是A．B．C．D．10.兩個(gè)不同的函數(shù)，滿足，，則可能的情況是A．是一次函數(shù)，是二次函數(shù)B．在上遞增，在上遞減C．，都是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)，是偶函數(shù)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11．若，則實(shí)數(shù)x的值為.12.不等式的解集為，則，.13.函數(shù)QUOTEf(x)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．14.函數(shù)，則的減區(qū)間為，的值域是.15.已知函數(shù).①當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，一定有；③若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則一定有；④若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則一定有；以上結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題：本大題共3小題，共35分16.（12分）設(shè)集合，，.（I）求；（II）求；（III）若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.17.（11分）某學(xué)校課外活動(dòng)小組根據(jù)預(yù)報(bào)的當(dāng)?shù)啬程欤?~24時(shí)）空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖，并選擇函數(shù)來(lái)近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律（如下圖所示）：（I）求的值；（II）當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)大于150時(shí)，有關(guān)部門建議市民外出活動(dòng)應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止特殊行業(yè)施工.請(qǐng)結(jié)合上面選擇的函數(shù)模型，回答以下問(wèn)題，并說(shuō)明理由：①某同學(xué)該天7:00出發(fā)上學(xué)，是否應(yīng)戴防霧霾口罩？②當(dāng)天特殊行業(yè)可以連續(xù)施工的最長(zhǎng)時(shí)間為多少小時(shí)？18.（12分）已知函數(shù).（I）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（II）若是偶函數(shù)，求的值.卷（Ⅱ）選擇題：本大題共3小題，每小題5分，共15分1.已知集合，，，則A．B． C． D．2.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值為A．6 B．10 C．12 D．133.設(shè)集合的最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定其特征值為.已知，，，，是集合的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為A．14 B．15 C．16 D．18二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分4.________.5.若二次函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.6.設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，的最小值是________；若是的最小值，則a的取值范圍是________.三、解答題：本大題共2小題，共20分7.（10分）已知函數(shù).（I）求方程組的解集；（II）在答題紙的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像；（III）若在上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.8.（10分）如果正整數(shù)集的子集滿足：①；②，，使得，則稱為集.（I）分別判斷與是否為集（直接寫出結(jié)論）；（II）當(dāng)時(shí)，對(duì)于集，設(shè)，求證：；（III）當(dāng)時(shí)，若，求集中所有元素的和的最小值.

參考答案I卷一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共40分）題號(hào)12345678910答案CBBDCAABDB二、填空題（每題5分，共25分）11.1或512.4，313.214.，15.②③注：12、14題第一空3分，第二空2分；15題少選3分，錯(cuò)選漏選0分.三、解答題（共35分）16.由題意，，，

(I)；(II)；(III)顯然，，解得，因此的取值范圍是.17.(I)，解得(II)①是..②時(shí)，，解得；時(shí)，，解得；,所以可以連續(xù)施工的最長(zhǎng)時(shí)間為12小時(shí).18.(I)在上單調(diào)遞減.定義域?yàn)?，任取且，所以在上單調(diào)遞減.(II)，是偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則，此時(shí)，定義域，，符合題意，所以.

II卷一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共15分）1.A2.C3.C二、填空題（每題5分，共15分）4.5.6.，注：6題第一空3分，第二空2分.三、解答題（共20分）7.，(I)，當(dāng)，，，解得或；當(dāng)，，即，解得或（舍）；綜上，方程組的解集是.(II)（作圖過(guò)程略）(III)在遞增，在遞減，所以或或，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是.8.(I)注意到：，因此數(shù)集不是集.注意到：，因此數(shù)集是集.(II)由于集合是集，即對(duì)任意的，存在，使得成立。并且，故.從而.于是，對(duì)任意的均成立。因此，將這些不等式同向累加，有：.故.從而.于是.(III)數(shù)集中所有元素的和的最小值為.首先，注意到，根據(jù)集的定義，有.考慮集合，，此時(shí)是集.下面，我們證明數(shù)集中所有元素的和的最小值為.滿足的集合只有有限多個(gè)，這是因?yàn)椋海虼?故，當(dāng)時(shí)，.因此滿足的集合只有有限多個(gè)。設(shè)集合為滿足的集。下面我們從最大和次大的元素兩個(gè)角度分析集合的構(gòu)成：.若，設(shè)，注意到，為了使得最小，不存在元素，使得.從而.若，由于集合是集，，存在，使得.由于，故，由于集合中至少有個(gè)元素，因此集合中至少還有個(gè)異于的元素，但此時(shí)，.矛盾！因此一定成立，此時(shí).