福建省長(zhǎng)汀、連城一中等六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江）模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

福建省長(zhǎng)汀、連城一中等六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江）模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離2．已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．3．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．964．點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．6．中國(guó)古代用算籌來(lái)進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到8．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．810．已知等差數(shù)列的前13項(xiàng)和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-3211．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．12．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某部門全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.14．若滿足約束條件，則的最大值為__________．15．已知函數(shù)恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____16．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Sn．18．（12分）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.20．（12分）已知，均為正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，且，，，當(dāng)，時(shí)，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.22．（10分）設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r2、B【解析】

作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C，當(dāng)時(shí)，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A,C，當(dāng)正數(shù)越來(lái)越小，趨近于0時(shí)，，所以函數(shù)，故排除選項(xiàng)B,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識(shí)別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個(gè)數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬(wàn)位用縱式表示；十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對(duì)應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，所以C正確；由的圖象向左平移個(gè)單位，得，所以D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.8、A【解析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.10、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由，，得.選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.11、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足，利用復(fù)數(shù)的除法求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即過(guò)點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用，古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.15、【解析】

恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)恰有三個(gè)根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【詳解】解：恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)恰有三個(gè)根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)，在有2個(gè)零點(diǎn)；故答案為：.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.16、【解析】

利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對(duì)分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯(cuò)位相減法求出，運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又由，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.18、(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出的值，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】解：（1）由是遞增等比數(shù)列，，聯(lián)立，解得或，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以只有符合題意，則，結(jié)合可得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式：；（2）由，∴；∴；那么，①則，②將②﹣①得：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個(gè)法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DEAD，因?yàn)锳D＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因?yàn)锽E平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（4，3，﹣3），，設(shè)平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個(gè)法向量為，所以，故.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.20、（1），（2）【解析】

（1），所，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式，由，整理得，得到，即可求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所，兩式相減，整理得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，即，因?yàn)椋淼?，又因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，，，即.【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對(duì)題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項(xiàng)求和作為一類常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項(xiàng)方式.21、（1）（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差，從而求出，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】（1），且，，依次成等比數(shù)列，，即：，，，，，；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極小值為；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可容易求得函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，兩次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）依題，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在