51數(shù)列的概念及函數(shù)特性（精測）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期培優(yōu)精講精測（人教B版2019選擇性）

5.1數(shù)列的概念及函數(shù)特性【題組一數(shù)列的概念】1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）①數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是同一數(shù)列；②數(shù)列{an}與{a2n－1}表達(dá)同一數(shù)列；③數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式不唯一；④數(shù)列－1，1，3，5，8，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②【答案】C【解析】①是錯(cuò)誤的，數(shù)列各項(xiàng)順序不同，即表示不同的數(shù)列；②是錯(cuò)誤的，數(shù)列{an}表達(dá)數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而數(shù)列{a2n－1}表達(dá)數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一數(shù)列；③是正確的，數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是錯(cuò)誤的，顯然當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝7，不是數(shù)列中的項(xiàng)．故選：C.2.（2021·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可得答案.【解析】因?yàn)?，則.故選：C.3.（2021·四川成都·高二期中）已知數(shù)列，3，，，…，，…，則是它的（）A．第8項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第10項(xiàng) D．第11項(xiàng)【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列中的項(xiàng),都改成根式形式為,,,,…,,由前幾項(xiàng)可知,根式下的數(shù)列是以5為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列則根式下的數(shù)字組成的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為而所以解得故選:D4.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列1，3，5，7與數(shù)集{1，3，5，7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是相同的C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是擺動(dòng)數(shù)列【答案】D【分析】利用數(shù)列的意義可判斷A，B；利用數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)間的大小變化關(guān)系可判斷C，D而作答.【解析】數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無序的，所以A，B不正確；數(shù)列中各項(xiàng)依次變小，它是遞減數(shù)列，C不正確；數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)都比1小，偶數(shù)項(xiàng)都比1大，它是擺動(dòng)數(shù)列，D正確.故選：D5.（2021·河南·高二期中）數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【解析】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.6.（多選）（2021·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的D．?dāng)?shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式是唯一的【答案】AB【分析】利用數(shù)列的函數(shù)特性即可判斷選項(xiàng)A，B，由數(shù)列的分類可判斷選項(xiàng)C，舉特例說明并判斷選項(xiàng)D作答.【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，選項(xiàng)A，B正確；由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，C不正確；數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式可以不唯一，例如，數(shù)列1，，1，，…的通項(xiàng)可以是，也可以是，D不正確.故選：AB7.（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項(xiàng)．【答案】17【分析】根據(jù)給定條件列出方程，求出方程的正整數(shù)根即可.【解析】依題意，n2+2n=323，即(n+19)(n17)=0，而n為正整數(shù)，解得n=17，所以323是數(shù)列{n(n＋2)}中的第17項(xiàng).故答案為：178.（2021·內(nèi)蒙古·烏拉特前旗第一中學(xué)高二月考）已知數(shù)列，則0.98是它的第________項(xiàng).【答案】7【分析】令，解出即可.【解析】令，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求項(xiàng)數(shù)，較簡單.9.（2021·寧夏·青銅峽市高級中學(xué)高三期中）數(shù)列中，，，則___________【答案】【分析】直接計(jì)算得到答案.【解析】，，則，，，.故答案為：.【題組二已知項(xiàng)求通項(xiàng)】1.（2021·安徽·高二月考）數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察題目中的數(shù)列可知，根號里面的數(shù)是以2為首的連續(xù)偶數(shù)，即可得解.【解析】解：因?yàn)?，，，，所以根號里面的?shù)是以2為首項(xiàng)的連續(xù)偶數(shù)，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2．（河南省焦作市縣級重點(diǎn)中學(xué)20212022學(xué)年高二上學(xué)期期中）數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把數(shù)列變形為，，，，???，由此可得它的通項(xiàng)公式．【解析】數(shù)列，，，，…，即數(shù)列，，，，???，故它的一個(gè)通項(xiàng)公式是，故選：．3．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高二期中）數(shù)列2，，9，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】用檢驗(yàn)法，由通項(xiàng)公式驗(yàn)證是否符合數(shù)列的各項(xiàng)，結(jié)合排除法可得．【解析】第一項(xiàng)為正數(shù)，BD中求出第一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C．4.（2021·全國）數(shù)列，3，，15，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】將代入四個(gè)選項(xiàng)，可知中D中所以排除C、D.當(dāng)，代入B可得所以排除B，即A正確，故選：A.【題組三數(shù)列的單調(diào)性】1.（2021·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞增數(shù)列可得關(guān)于的不等式組，從而可求其取值范圍.【解析】由題意可得解得.故選：A.2.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知下列數(shù)列：①2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020；②1，，，…，，…；③1，－，，…，，…；④1，0，－1，…，sin，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________(填序號)．【答案】①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④【分析】利用有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列的定義逐個(gè)分析判斷即可【解析】①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動(dòng)數(shù)列；④是擺動(dòng)數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．故答案為：①⑥，②③④⑤，①⑤，②，⑥，③④3．（2021·全國高二期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，那么這個(gè)數(shù)列是（）A．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．常數(shù)列【答案】C【解析】因?yàn)椋詳?shù)列是遞增數(shù)列，故選：C4．（2021·全國高二專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】由題意對恒成立，即，，因?yàn)?，所以（時(shí)等號成立），即的最大值為0，所以．故選：CD．5.（2021·全國高二單元測試）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的范圍為_______．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，可得對于任意的恒成立，即，整理可得：，所以對于任意的恒成立，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，所以，故答案為：.【題組四數(shù)列中最大、小項(xiàng)】1．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是（）A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第4項(xiàng)或第5項(xiàng) D．第5項(xiàng)或第6項(xiàng)【答案】A【解析】，因?yàn)?，且，所以?shù)值最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)．故選：A．2．（2021·全國高二專題練習(xí)）數(shù)列中，，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是（）A．a(chǎn)1，a50 B．a(chǎn)1，a44 C．a(chǎn)45，a44 D．a(chǎn)45，a50【答案】C【解析】，，當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)且遞減；當(dāng)時(shí)，為正數(shù)，且遞減.所以前項(xiàng)中，最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.故選：C3.（2021·江蘇·高二單元測試）已知數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項(xiàng)是（）A．第1項(xiàng) B．第3項(xiàng)、第4項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第2項(xiàng)、第3項(xiàng)【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或3時(shí)，取得最小值，從而得出答案.【解析】解：由題可知，，由于，所以當(dāng)或3時(shí)，取得最小值，所以數(shù)列的最小項(xiàng)是第2項(xiàng)、第3項(xiàng).故選：D.4.（2021·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）數(shù)列的第幾項(xiàng)最大，最大項(xiàng)為多少？（2）若，求正整數(shù)m的最小值.【答案】（1）第2，3項(xiàng)最大，最大項(xiàng)為38；（2）最小值是9.【分析】（1）將數(shù)列的通項(xiàng)公式變形為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得數(shù)列的最大項(xiàng).（2）由函數(shù)的圖象開口向下，且對稱軸方程為，可得數(shù)列從第3項(xiàng)起單調(diào)遞減.再計(jì)算出，，可求得正整數(shù)m的最小值.【解析】解：（1）因?yàn)椋?，所以?dāng)或時(shí)，最大.又，故數(shù)列的第2，3項(xiàng)最大，最大項(xiàng)為38.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向下，且對稱軸方程為，所以可知數(shù)列從第3項(xiàng)起單調(diào)遞減.又，，，，所以若，則.所以正整數(shù)m的最小值是9.【題組五已知Sn求an】1.（2021·江西·南昌市外國語學(xué)校高一月考）數(shù)列的前n項(xiàng)的和，________．【分析】利用時(shí)，求，同時(shí)注意．【解析】解析：由題可知，當(dāng)