2024年中考數(shù)學(xué)押題題型訓(xùn)練：圓（九大題型+解題方法）

沖刺2024年中考數(shù)學(xué)考點押題題型訓(xùn)練（全國通用）

中考壓軸題-圓（九大題型+解題方法）

解題方法

1、圓中常見相似三角形

不含切線

△PACMPDB

△480sZUEC

△DCB

△ODE-△OADs△DAE

2.在圓中解三角形或四邊形的常用思路

畫出特殊圖形：如圓中的特殊三角形、特殊四邊形等，在已知條件下，以結(jié)果為導(dǎo)向，在這

些特殊圖形中求出一些中間量。

目錄:

題型1:圓與三角形綜合

題型2：圓與四邊形綜合

1

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題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題

題型4：圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

題型5：以實際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

題型6：最值問題

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

題型8：定值問題

題型9：在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題型1：圓與三角形綜合

AD_LBC于點,E,連接AE=CE.

(1)如圖1,連接OE,求乙4EO的度數(shù);

(2)如圖2,連接NC,延長EO交/C于點N,點F為/C上一點，連接EF,在E尸上方作等腰直角三角形EFG,

且/EG尸=90。，連接NG,求證：NG//BC；

(3)在(2)的條件下，連接CD,當(dāng)點G落在線段45上時，過點。做。交CD于點、L,交CE

于點T,若OE=6&EG=2CL,求。。半徑的長.

［答案］(1)45°

(2)見詳解

⑶6石

【分析】本題考查了圓與三角形的綜合，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線成

比例，勾股定理，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練靈活運用知識點是解決本題的關(guān)鍵.

(1)連接。4。。，證明△ZE。/△CEO即可；

(2)過點G作GALGN交EN于點心先證明△GER四△G/W,得GR=GN,

所以NGNR=NGRN=45°,得至UNG2V7?=N2VEC,故GN||3c.

(3)過G作GR,GN交NE的延長線于點R,連接8,OC,作。K,CD于點K,OHLCE于點、H,先證

明△/BE絲EG=〈CD,設(shè)CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a,則0。=。。=2/0，

OK=DK=2a,KL=a,證出ZKOL=ZOCT,貝UtanZKOL=tan乙OCT,

2

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最后在RtA。?！敝羞\用勾股定理求OC=6石.

【解析】（1）連接。4。。，

yc

D

圖1

?：OAQC為OO半徑，

：.OA=OC,

?:EA=EC,OE=OE,

：./\AEO^/\CEO,

ZAEO=/CEO,

???ADIBC,

：.ZAEC=90。,

：.ZAEO=ZCEO=-ZAEC=45。；

（2）證明：過點G作GRLGN交EN于點夫,

二/RGN=90。，

G\N

圖2

/RGN=ZEGF,

???ZRGN-NRGF=ZEGF-NRGF,

3

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/EGR=4FGN,AE=CE,ZAEN=ZCEN,

：.ENLAC,AN=CN,

：.ZENC=90°f

：.ZENC=90°=ZEGF,

???/GEN=ZGFN,

又?:GE=GF,

:?AGER"AGFN,

：.GR=GN,

：./GNR=/GRN=45。,

：.ZGNR=ZNEC,

：.GN\\BC.

(3)過G作GR,GN交WE的延長線于點H,連接OQ,OC,作m，8于點長，OHICE于點H,

由(2)得△G/W之△GER,得GN||，

.ANAG

??國―茄’

???AN=CN,

：.AG=BG,ZAEB=90°,

???EG=；AB,/BAD=/BCD,AE=CE,ZAEB=ZCED,

/\ABE沿八CDE,

???AB=CD,

：.EG=-CD,

2

沒CL=a,EG=2a,AB=CD=4〃,DL=3Q,NEAC=90°-ZAEN=45°,

：.ZDOC=90°,

：.ZDOK=ZCOK=45°,

4

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ZODC=ZOCD=45°,

貝IJOZ)=OC=2&a，OK=DK=2a,KL=a,

在RtZXOKL中，tanZLOK=-,

2

'：OLLOE,

：.43=90。，

ZOED=ZOTE=45°,

VZKOL+ZLOC=45°,ZOCT+ZLOC=45°,

：.ZKOL=NOCT,

：.tanZKOL=tanZOCT,

；OE=6yf2,OH=6,HC=12,

在RLOCH中，0c2=OH2+HC2,

OC=675.

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知：NB為。。的直徑，點C為藍上一點，連接NC,點。為前上一

點，連接過點。作43的垂線，垂足為點R交。。于點E,連接CE,分別交和于點//和點

K,且乙〃殂=90°.

(1)如圖1,求證：NCAD=NB4D；

（2）如圖2,連接打尸，過點”作/小的垂線交于點7,求證：AB=1FT；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接3c交AD于點G,延長CD交AB的延長線于點若CM=/G,FT=5,

求CG的長.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

5

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【分析】(1)證明"HCS"ED,即可得出結(jié)論；

(2)連接3c,證明也次(ASA),得到CH=KH,ZACH=NAKH,證明^TKH^^FDH,得到

=根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出=D尸，得到NTHK=ZACH,推

出AC〃TH,證明“KCS^TK”，得到江=生=區(qū)空=2,再證明。BCs”“，即可證明結(jié)論；

THHKHK

(3)連接GK,過點M作。8的垂線，垂足為點N,證明絲△/M(ASA),得到CH=KH,4c=4K,

進而推出N4CG=N4KG,證明△G4K24/CN(AAS),得到4C=/K=CN,進而推出GK=MV=CG,證

明△GBKgaMSN(AAS),得至"BK=BN,設(shè)BK=BN=a,則4K=4C=CN=10—a,C5=10—2。，求出

BK=2,AC=8,BC=6,設(shè)CG=GK=冽，則GB=6—%,利用勾股定理即可求解.

【解析】(1)解：???43，?！?

ZAFD=90°

VZAHE=90°,ZC=ZD

：.^AHC^^AFD

：.ACAD=ZDAB；

(2)解：如圖2：連接5C,

A

圖2

由（1）知NCAD=NDAB,

ZAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

:AAHC咨小AHK（AS*,

/.CH=KH,/ACH=NAKH,

???/BAD+ZAKH=/BAD+ZADF=90°,

ZADF=NAKH,

THLFH,

6

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'.ZTHK+ZFHK=ZFHK+ZFHD=90°,

ZTHK=NFHD,

.MKHs@DH,

1./HTK=ZHFD,

?點尸是。E的中點，ZEHD=90°,

.HF=DF,

1.ZFHD=ZFDH,

.ZTHK=ZTKH,

:ZTKH=ZACH,

\ZTHK=ZACH,

,AC//TH,

.^AKC^^TKH

ACCK2HK2

,^rH~HK~HK

,AC//TH

\/CAB=/HTB,

rZACB=ZTHF=90°

??^ABCSQFH

ABAC2

*7F-TH-

.AB=2FT；

(3)解：如圖3,連接GK,過點M作CB的垂線，垂足為點N,

???ACAD=/BAD,/AHC=ZAHK=90°,AH=AH

圖3

:AAHC知AHK(ASA)

:.CH=KH,AC=AK

7

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ZACK=ZAKC

CG=GK

ZGCK=NGKC

ZACK+ZGCK=ZAKC+ZGKC

:.ZACG=ZAKG

???4B是。。直徑

ZACB=ZAKG=ZGKB=90°

???/AKG=/CNM=90。,ZGAK=AMCN,AG=CM

.?.△G/K四△MCN(AAS)

:.AC=AK=CN

:.GK=MN=CG

???ZGKB=/MNB=90°,ZGBK=4MBN

.?.△G5K也△MBN(AAS)

/.BK=BN

-TF=5,AB=2FT,

AB=10fOA=OB=5,

設(shè)BK=BN=a,則4K=/C=CN=10—a,C8=10—2。

在Rt/XABC中，AC2+BC2=AB2

BP(10-a)2+(10-2a)2=l(f

二.Q=2或a=10(舍去)

BK=2,AC=8,BC=6

設(shè)CG=GK=m,則G8=6—加，

在RtaGKB中，GK2+BK2=GB2

即m2+22=(6—加『

8

:.m=—

3

.”8

?.CG=—.

3

【點睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形全等的判定

和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，

8

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全等三角形.

3.（2024?黑龍江哈爾濱一模）如圖1,在。。中，直徑48垂直弦CD于點G,連接AD,過點C作

于R交4B于點、H,交。。于點E,連接?！?

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：ZE=2ZC；

（2）如圖2,求證：DE=CH■,

（3）如圖3,連接8E,分別交4D、CD于點、M、N,當(dāng)OH=2OG,HF=M，求線段EN的長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶12

【分析】（1）連接ZC,根據(jù)垂徑定理和等弧所對的圓周角相等，結(jié)合等角的余角相等即可證明結(jié)論；

（2）連接3C,運用同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等，結(jié)合同角的余角相等和等量代換即可證明；先證明

BC=CH,再證明3C=Z）E；

（3）根據(jù)已知設(shè)出OG和OH,結(jié)合（2）表示BG,進而用x表示半徑、直徑，結(jié)合勾股定理表示

結(jié)合ABGNS^BEA,即可求解.

【解析】（1）證明：連接/C,

9

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A

B

是。。的直徑，ABLCD,

???前=前，ZBAD+ZADG=90°

：./CAB=/BAD=-ACAD=-ZCED,

22

AFICE,

：.ZECD+ZADG=90°,

：.ZECD=ABAD,

???NE=2ZDCE；

(2)連接3C,

A

B

圖2

?.,ABVCD.CEVAD,

：.ZECD+ZCHG=ZECD+ZCDF=90°,

ZCHG=ZADC,

又「ZADC=/B,

：.ZCHG=ZB,

???CH=CB,

由(1)知：/E=2/ECD,

10

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:?CD=2DE，

U-CD=2BC^

?-DE=BC^

：.DE=BC=CH；

(3)連接。。,4萬，貝lj：AAEB=90°,

B

?：OH=2OG,

?,?設(shè)OG=x,則。〃=2x,

：.HG=OH+OG=3x,

由(2)知，BC=CH,

?.,ABLCD,

：.BG=GH=3x,

：.OB=BG+OG=4x,

OC-4x,AB—8x,AH=2x,

?.?ZCHB=ZAHE,ZCBH=ACEA,且ZCHB=ZCBH,

???ZAHE=ZCEA,

???AE=AH=2x,

：?RtA^BE中，BE=y]AB2-AE2=2岳x，

RtZXOGC中，CG=y/0C2-0G2=VlSc，

RM"GC中，CH=y]CG2+GH2=246x^

9-9DE=BC=BD，

???/BAD=/DCE,

11

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HFHG

Z.sin/BAD=sinNDCE,即:

AH~CH

.V103x

,,2x-2y[6x)

.2V15

??x=-------，

3

:?BE=2/x=M,BG=3x=2^/15,AB=Sx=,

?.,/ABE=/GBN,ZBGN=ZAEB=90°,

???八BGNs八BEA,

.BNBG

'?商一康

2岳x16vB

BGAB

BN=________3_=8

BE20

：.EN=BE-BN=n,

【點睛】此題主要考查圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、角之間的關(guān)系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，難度較大，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會結(jié)合題意靈活運用勾股定

理和方程思想，會借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(2)如圖2,若點E為弧/C上一點，連結(jié)8E交4。于點R若NBAD=2NCAD,ZDBF+4ZCAD=90°,連結(jié)OF,

求證：OF平分NAFB；

⑶在(2)的條件下，如圖3,點G為8C上一點，連結(jié)EG,ZBGE=2ZC.若AD=屈,BD+EG=3,

求。尸的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

12

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⑶恪

6

【分析】

（1）根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，且結(jié)合4D/BC,即可作答；

（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得NABF=NBAD=2a,等角對等邊，得BF=AF,即可證明

“OF冬ABO尸（SSS）,結(jié)合全等三角形的對應(yīng)角相等，即可作答；

（3）根據(jù)同弧所對的圓周角是相等，得乙4EB=90°-a,由三角形的內(nèi)角和，得NBAE=90,—a,等角對

等邊，得AB=BE,進而證明^ABD=ABEM（AAS）,得ME=BD,等角對等邊，得工G=EN,故

V6ME

MN=ME+EN=3因為/MBE=/MNB,BMN=/BMN=92。，證明,第

f丁店’

解得旌=2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】（1）證明：

ZADC=90°,

：.ZC+ZDAC=90°,

：.2ZC+2ZD^C=180°,

ZAOB=2/C,

：.ZAOB+2ZDAC=ISO°；

（2）證明：設(shè)/C40=a,

ABAD=2NCAD,/DBF+4ZCAD=90°,

AABAD=2a,"BD=90?！?a,

：?/BFD=4a,

：.NABF=ABAD=2a,

???BF=AF,

?：OB=OA,OF=OF,

：.A^OF^A5OF（SSS）,

：.ZBFO=ZAFOf

???。月平分乙4所；

（3）解：連接過點E作畫于點M交5C的延長線于點N,

13

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NABF=/BAD=2a,

/ABE=2a,

,:/BGE=2/C,且"=90。-戊，

???NBAE=180°-/ABE-ZAEB=90°-a,/BGE=180。—2a,

ZBEA=ZBAE,ZEGC=2a,

???AB=BE,

丁/BAD=/ABE,/BME=NADB=90°,

:?八ABD%BEM(AAS),

：.ME=BD,AD=MB=a,NMEB=/DBA=90。-2a,

?:/EBN=9。?！?a,

：.ZN=2a,

：,/EGC=/ENG,

：.EG=EN,

?：BD+EG=3,

:.MN=ME+EN=3,

?：ZMBE=ZMNB,BMN=/BMN=哪，

：.ABMEs^NMB,

,BMME

??NM-MB'

.4^ME

：?ME=2,

14

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：.ME=BD=2,

BD2+DF2=BF2,

：.22+DF2=(V6-DF)2,

?八斤瓜

??DF=--.

6

【點睛】本題考查了圓綜合，涉及圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形

的判定與性質(zhì)，勾股定理等綜合內(nèi)容，難度較大，綜合性較強，學(xué)會靈活運用等角對等邊以及作出正確的

輔助線是解題的關(guān)鍵.

題型2：圓與四邊形綜合

5.(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖，四邊形48co內(nèi)接于ZC為OO的直徑，DE工AC于點、F交BC

圖1

(1)設(shè)ND5C=a,試用含a的代數(shù)式表示/4DE；

nr\

(2)如圖2,若BE=3CE,求正的值;

⑶在(2)的條件下，若交于點G,設(shè)F￡上G=》，cos/BDE=y.

CF

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

②若BC=BD,求y的值.

【答案】(1)90。-。

(2)2

三2^11

(3)①了—-②立

x+116

【分析】(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，即可得解;

(2)圓周角定理得到/4DC=90。=N4FD,進而得到NCUC=NCD尸，推出AOCESABCD,得到

DF)C'D

器=夕==，設(shè)CE=a,求出CD的長，即可得出結(jié)果;

DECDCE

(3)①過點G作,得到ACEFSKHGQBHGSABED,進而得到

15

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器=H=篇果=H=黑，根據(jù)等5BE=3CE,推出DG.肛DF=^-^.DE,利用

尸cos/m￡=器結(jié)合器=2進行求解即可；

②作E印工BD于印,根據(jù)已知條件推出8。=4CE,DE=2CE，設(shè)CE=a,DW=m，勾股定理求出m=—a,

8

DW

再根據(jù)尸儂包「定求解即可.

【解析】（1）解：,??四邊形/BCD內(nèi)接于

???ZDAC=ZCBD=a,

*：DE1AC,

：.ZAFD=90°,

：.ZADE=90°-ADAC=90。—a；

(2)???/C為。。的直徑，

：.ZADC=90°=ZAFD,

：.ADAC=/CDF=90°-ZADF,

*：ZDBC=ZDAC,

：.ZDBC=ZCDF,

?.?ZDCE=ZBCD,

???ADCES^BCD,

.BDBCCD

''DE~~CD~~CE"

*：BE=3CE,

?,?設(shè)CE=Q,則：BE=3a,

BC=4a,

???CD2=BCCE=4aa=4/,

：.CD=2a(負值舍去)；

.BD_BC_4a2

99DE~CD~2a~；

(3)①過點G作G打〃。￡,

16

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則：△CEFSACHGQBHGSABED,

CE_CF_EFGH_BH_BG

CH~CG~GH"DE~BE~BD

FG

-----=x,BE=3CE,

CF

CEEF

=—,BC=ACE,

CHGHx+1

EF=-^GH,CH=(x+\)CE,

\BH=BC-CH=ACE-[x+\)CE=(3-x)CE,

：BE=3CE,

.BGGHBH3-x

*BD—~BE~~Y~，

3—x3—x

GH=——DE,BG=——BD,

33

ia_丫

*.DG=BD-BG=-BD,EF=--GH=—~~-DE

3x+13(x+l)y

4Y

?DF=DE-EF=———--DE

3(x+l)，

4rDE

…"皿=變=3匠1)

'DGXBD

3

由(2)知：—=2,

DE

4x

正m-

一%,zoX+1

3

②如圖，作于匹,

BC=BD,BD=2DE,BC=ACE,

BD=4CE,DE=2CE,

設(shè)C￡=〃，DW=m,貝I」：BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BDDW=4a-m,

EW2=DE2-DW2=BE2-BW1,

17

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/.2-m2=9a2-(4a-nif,

解得：m=^-a,

o

11

—a11

y=cosZBDE=^-8_H.

DE2a16

【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及到圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求函數(shù)

解析式，勾股定理等知識點，綜合性強，難度大，計算量大，掌握圓周角定理，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖

形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵，注意計算的準(zhǔn)確性.

6.(2024?廣東珠海?一模)如圖1,尸為正方形/BCD邊8C上一點，連接N尸，在4尸上取一點。，以CM

圖1圖2

(1)若正方形的邊長為4時，求。。的半徑;

(2)如圖2,將不繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。后，其所在直線與。。交于點G,與邊CD交于點連接DG,BG.

①求乙4DG的度數(shù)；

②求證：ABBF+AGFG=BG2.

【答案】(1g

(2)①45。；②證明見解析

【分析】(1)連接05、OE,如圖所示，先證明N尸是。。的直徑，再證明OE是梯形的中位線，設(shè)OO的

半徑為人由梯形中位線性質(zhì)及正方形性質(zhì)得到尸C=2r-4,BF=8-2r,AF=2r,在RM48產(chǎn)中，由勾

股定理列方程求解即可得到答案；

(2)①連接8。交。。于“，如圖所示，利用正方形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及圓周角定理得到3G與8。重合，即

可得到答案；②過點6作6"，3c于M,GN工AB于N,如圖所示，得到四邊形3MGN是矩形，進而結(jié)

合等腰直角三角形的判定、全等的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)得到相應(yīng)邊的關(guān)系，設(shè)正方形8MGN的

邊長為a,AN=FM=b,貝l|AS=3N+NN=a+6,BF=BM—FM=a—b,在RtZiGMF中，由勾股定理

18

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可得6/2=/+〃，在中，由勾股定理可得GB2=2/,即可得到所證等式成立.

【解析】（1）解：連接03、OE,如圖所示：

OA=OB,OELDC,

：.ABAC=NOBA,OE//AD//BC,

在正方形/BCD中，ZABF=90。,則/A4C+/4FB=90。，ZOBA+ZOBF=90°,

ZOBF=ZOFB,貝ij03=0尸，§POA=OB=OF,

為即的中點，

?-?OE//AD//BC,

，券=g=1，即E是。。中點，

CEOF

是梯形的中位線，則OE=；（AD+PC）,

設(shè)。。的半徑為r,則尸C=2廠-4,

/.BF=4—FC=8—2尸,AF=2r,

在Rt”M中，由勾股定理可得/序+瓦72=/產(chǎn)，即42+（8-2廳=（24，解得廠=：；

（2）解：①連接AD交。。于/,如圖所示：

在正方形/BCD中，ZABD=45°,

???4尸是。。的直徑，且將4尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。到

ZFAH=45°,NAGF=90°,

ZAFG=45°,

19

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■：AG=AG，

ZABG=ZAFG=45°,

.?.3G與加重合，則/4DG=45。；

②過點G作GWL8C于M,GNLAB于N,如圖所示:

.,.四邊形氏WGN是矩形，

由①知NABG=45°,則DGBF=45°,

.?.△2MG是等腰直角三角形，即MG=MB,

四邊形2MGN是正方形，

:.GN=GM,

由①知—GR是等腰直角三角形，即G/=G/，

RtAGA^^RtAGA/F(HL),

AN=FM,

設(shè)正方形3MGN的邊長為。，AN=FM=b,貝A8=8N+/N=a+6,BF=BM-FM=a-b,

在RtZXGMF中，由勾股定理可得G尸=G"+FA〃=/+〃，

在RtAGAffl中，由勾股定理可得GB2=GM2+BM2=a2+a2=2a2,

ABBF+AGFG

=ABBF+FG-FG

=(a+b)(a-b)+(/+%2)

=2a2

=BG?,

ABBF+AGFGBG2.

【點睛】本題難度較大，綜合性強，涉及圓周角定理、梯形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、

圓周角定理、矩形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性

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質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定，根據(jù)問題作出相應(yīng)輔助線求解是解決問題的關(guān)鍵.

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題

7.（2024?廣東?一模）綜合探究：

如圖，已知48=10,以43為直徑作半圓。，半徑。/繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到OC,點/的對應(yīng)點為C,當(dāng)

點C與點8重合時停止.連接BC并延長到點。，使得CD=BC,過點D作DEJ.4B于點、E,連接AD,AC.

⑵如圖2,當(dāng)OE=1時，求3C的長；

（3）如圖3,若點尸是線段4。上一點，連接尸C,當(dāng)PC與半圓。相切時，判斷直線PC與的位置關(guān)系,

并說明理由.

【答案】（1）△/四是等邊三角形，理由見解析

⑵3C的長為而或2后

（3）PCLAD.理由見解析

【分析】（1）由圓周角定理得到NC/3C,結(jié)合已知條件CD=3C和等腰三角形“三線合一”性質(zhì)推知

40=48=10,再由等腰“三線合一”性質(zhì)得到8。，即可得到結(jié)論；

（2）分類討論：點E在線段/O和線段03上，借助勾股定理求得8c的長度；

（3）由三角形中位線定理知OC〃N。，又由切線的性質(zhì)知尸CLOC,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案.

【解析】（1）△45。是等邊三角形，理由如下：

如圖1,是圓。的直徑，

:.AC1BC,

又?：CD=BC,

AD=AB=10,

■:點E與點。重合，

AE=BE，

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DE上AB,

AD=BD,

?/AD=AB,

AD=AB=DB,

:.^ABD是等邊三角形;

：.AO=BO=5,

當(dāng)點E在/。上時，

則ZE=ZO-OE=4,BE=BO+OE=6,

vAD=10,DELAO,

：.在RtAADE和R3BDE中,

由勾股定理得AD2-AE2=BD2-BE2，

即102—4?=5—6"

解得8。=2回，

BC=；BD=A；

當(dāng)點￡在03上時，同理可得1()2_62=瓦)2一42,

解得8。=46，

:.BC=-BD=245；

2

綜上所述，BC的長為回或2行；

(3)PCLAD.理由如下：

如圖3,連接。C.

???點。是50的中點，點。是的中點，

.:OC是△48。的中位線,

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OC//AD

又：PC與半圓。相切,

PC±OC

PCLAD.

【點睛】此題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定，等腰三角形三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角形中位

線定理，切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)點E的位置正確分類是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?浙江湖州?一模）如圖，在Y/BCD中，N8是銳角，AB=642,8C=10,在射線比1上取一點

P,過尸作尸EL3c于點￡,過PE,C三點作OO.

3

⑴當(dāng)cos3=g時，

①如圖1,若與。。相切于點尸，連結(jié)CP,求CP的長；

②如圖2,若。。經(jīng)過點D,求。。的半徑長.

（2）如圖3,已知與射線8/交于另一點R將ABE尸沿E尸所在的直線翻折，點2的對應(yīng)點記為8',且8'

恰好同時落在。。和邊4D上，求此時P/的長.

【答案】（1）①CP=8；②。。的半徑長為國；

（2）尸/=1日

【分析】（1）①利用切線的性質(zhì)得到/8尸。=90。，利用三角函數(shù)的定義求得5P的長，再利用勾股定理求

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沖刺2024年中考數(shù)學(xué)考點押題題型訓(xùn)練（全國通用）

解即可；

②連結(jié)PD,PC,求得尸C是O。的直徑，利用三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理即可求解；

（2）過點尸作廠交。/的延長線于點連結(jié)CF,CP,PC是直徑，得到/尸尸C=90。，求得8尸

和相的長，再利用勾股定理求得/夕=6.再求得平行四邊形8c邊上的高的長，設(shè)PN=AN=x,利用

勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：①?.?尸即/尸EC=90。，

；.CP是OO的直徑，

??-與。。相切于點P,

NBPC=90°.

3

QcosB=-,56=10,

5

/.BP=BC,cosB=6,

根據(jù)勾股定理，得CP=yjBC2-BP2=8：

②如圖，連接P。，PC,

：.PC是QO的直徑,ZPDC=90°,

■■■四邊形NBCD是平行四邊形，

:.AD〃BC,ABHDC,AD=BC,CD=AB,

3

cosZPAD=cosB=-,NAPD=NPDC=90°,AD=BC^10,CD=AB=6也,

AP=AD?cosZPAD=6,

根據(jù)勾股定理，得PD2=AD?-AP2=64,

PC=yJPD2+CD2=2A/34.

的半徑長為國；

(2)解：如圖，過點尸作松交DN的延長線于點連接CF,CP,記PE于交于點N,

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?：ZFB'E=ZB，/FB'E=/FPE，

/./B=/FPE，

?：PELBC,

:./B=NFPE=45。，

?/ZP￡C=90°,

/.PC是直徑,

...ZPFC=90°,

:.BF=BCss450=5^，AF=近，

?；/MAF=NB=45。，

AM=MF=AF-=\,

2

?.?B'F=BF=56，

MB=YJB'F2-MF2=7，BPABr=6.

???帥為平行四邊形BC邊上的高，

.?.7VE=6V2-sin45°=6，

又丁/PAN=/B=45。,

/.PN=AN.

設(shè)PN=AN=x,則PE=x+6,NB=6—x,

?:PE=BE=BE，

BE=x+6,

根據(jù)勾股定理，得NB'2+NE?=B'E?,BP(6-X)2+62=(6+X)2,

3

解得X=Q，

a

/.PA=—y/l..

2

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì).正確添加輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?云南昭通?模擬預(yù)測)如圖，在。。中，是。。的直徑，點M是直徑45上的一個動點，過點

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M的弦交OO于點C、D,連接8C,點廠為3c的中點，連接。尸并延長，交AB于點、E,交。。

于點G.

BA

圖1圖2

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,連接CG,過點G的直線交。C的延長線于點P當(dāng)點M與圓心。重合時，若NPGC=NMDE,

求證：PG是O。的切線；

⑵在點M運動的過程中，DE=kDF1為常數(shù))，求后的值；

(3)如圖2,連接8G、OF、MF,當(dāng)尸是等腰三角形時，求NBGO的正切值.

【答案】(1)見解析

⑵左二|

(3”BGD的正切值為6或g

【分析】(1)連接OG,根據(jù)圓周角定理，結(jié)合等角的余角，求得/CGO+N尸GC=90。，進而得到OGLPG,

即可得證；

(2)過點F作FHLCD,垂足為H,易得FH是ABCM的中位線，進而推出也=；，證明ADMEsgHF,

DH3

2

得到。E=尸，即可得出結(jié)果；

(3)分點M在圓心O的左側(cè)和點M在圓心O的右側(cè)，兩種情況進行討論求解即可.

【解析】(1)證明：如圖1,連接OG,則OD=OG,

Z.NMDE=NOGE,

當(dāng)點M與圓心。重合時，CD是。。的直徑，

AZCGD=90°,即/CGO+/OGE=90。，

ZPGC=ZMDE,

ZPGC=ZOGE,

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NCGO+/PGC=90°,

即OGLPG,

0G是。。的半徑，

J.PG^QO的切線.

(2)解：如圖1,過點尸作垂足為X,則切〃48,

P

圖1

圖1

.?點廠為8C的中點，

.CHCF_x

"HM~BF~'

?.H為CM的中點，

FH是ABCM的中位線，

*.CH=MH=-CM,

2

是OO的直徑，弦。，N8,

CM=DM=-CD,

2

?DM2

‘DH一3’

:NDME=NDHF=90°,/MDE=/HDF,

\4DMEsADHF,

.DEDM2

?DF一DH-3'

DE=-DF,

3

\k=~.

3

(3)解：如圖2,當(dāng)點M在圓心。的左側(cè)時，OF=OM,連接CO,

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??,點尸為5C的中點,

：.OF±BC,

CO=CO

在RtZXO尸。和RQOMC中，\OF_OM

：.RtAOFC^RtAOMC(HL),

???CF=CM.

在Rt△。期中，點戶為5C的中點,

???MF=CF=BF,

：.MF=CF=CM,

??.△CMF是等邊三角形，

???NDCB=60。,

：.ZBGD=60°f

?*-tan/BGD=tan60°=V-3;

如圖3,當(dāng)點M在圓心。的右側(cè)時，OF=OM,/FOM=NOFM,

圖3

：.OF1BC,

：.ZOFB=90°f

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；?/OFM+/MFB=90。,ZFOM+ZMBF=90°,

：.ZMFB=/MBF,

:?MF=MB,

在Rt△。期中，點產(chǎn)為5C的中點，

??.MF=BF=CF,

：.MF=MB=BF,

**?VMBF是等邊三角形，

???/MBF=60°,

???ZAfCF=30°,

???/BGD=/BCD=30。,

**?tanZ.BGD=tan30°=.

3

綜上所述，NBGO的正切值為省或1.

3

【點睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，涉及切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定

和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，綜合性強，難度

大，屬于壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵.

題型4：圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

10.(2024?福建龍巖?一模)如圖，拋物線y=-/+3x+4與x軸分別交于A、B兩點(點A在點3的左側(cè))

與y軸交于點c.

(1)直接寫出A、B、c三點的坐標(biāo)；

(2)如圖(1),P是拋物線上異于A,8的一點，將點B繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)45。得到點。，若點。恰好在直線/P

上，求點尸的坐標(biāo)；

(3)如圖(2),是拋物線上異于B,C的兩個動點，直線8N與直線CM交于點7,若直線經(jīng)過定點

(1,3),求證：點T的運動軌跡是一條定直線.

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【答案】（1）/（-1,0）,即4,0）,C（0,4）

（2）尸（1,6）或尸（2,6）

（3）見解析

【分析】

（1）分別令x/=0,即可求解；

（2）以為斜邊向上作等腰直角三角形△力即，得出“葭］,依題意，N4PB=45。="DB,尸是半

（22）2

徑為g行的。。與拋物線的交點，設(shè)尸（私-川+3%+4）,其中-1＜小＜4,根據(jù)勾股定理建立方程，解方程,

即可求解；

（3）設(shè)分別表示出直線6,TC的解析式弘=」^X+3，%=IX+4,進而聯(lián)立拋物線解析

m-44-mm

式，得出％=——二-1,如=3-巴*，依題意，直線兒W的解析式為了=左卜-1）+3,即夕=依-4+3,

聯(lián)立拋物線解析式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得X”+4=3-斤，xM-xN=-k-1,進而得出關(guān)于

優(yōu)，"的恒等式，即可求解.

【解析】（1）解：對于拋物線了=-x?+3x+4,當(dāng)x=0時，7=4,則C（0,4）,

當(dāng)y=0,即一/+3x+4=0

解得：無1=-1,々=4,

/(-1,0),8(4,0)

（2）解：如圖所示，以為斜邊向上作等腰直角三角形△力m,

⑴

V^(-1,0),5(4,0),則43=5,

-1+43

,,XD-AB=-

2=《，打22

30

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依題意，NAPB=45。=工/ADB,

2

P是半徑為:啦的OD與拋物線的交點,

2

設(shè)尸（山m2+3m+4）,其中一1<根<4

整理得（刃+1）（加一4）（加一2）（冽-1）=0

解得：加=±1,2,4

V-1<m<4

???冽=1或冽=2

則尸（1,6）或尸（2,6）；

（3）解：設(shè)7（〃?,〃），

V5（4,0）,C（0,4）,

設(shè)直線俎TC的解析式分別為必=klx+bl,y2=kx+b2

4%+4=06=4

mk{+bx=nmk2+b2=n

n

7n-4

m-4左2二一

解得：,m

4〃

b2=A=4

4-m

n4"?-4.

------x+4

..?%==r+=?%=m

n4〃〃一4,

必=-----%+-----y=----x+4

聯(lián)立m-44-m,2m

y=-x2+3x+4y=-x2+3x+4

n

消去y得：/+-3|x-4+^-=0,

m-4J4-m

T-31x=0

x2+

m)

=3--------7，BPX=---------1

m-