2024-2025學年人教版高中數(shù)學復(fù)習講義：空間向量基本定理

第03講1.2空間向量基本定理

學習目標

課程標準學習目標

①理解并記住共線向量基本定理、平面向量

基本定理、共面向量定理及空間向量基本定1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用

理的內(nèi)容及含義?？臻g向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐

②理解基底與基向量的含義，會用恰當?shù)幕鶚诵问奖硎究臻g向量.

向量表示空間任意向量。2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立

③會用相關(guān)的定理解決簡單的空間幾何問體幾何的相關(guān)問題.

題。

思維導圖

如果空向中約三個向量a，b，c不共百，零么對空間中的任重一個向量p.

存4■多--的育序?qū)崝?shù)蛔*,y,s),使稗p=*a+j'b+?c?

基

,=

本存剛也，當a,B.c不具函時，T*?xa47b+?c?x-y=z=9

定e-----------------------------------------------------------------------------------------------------

理

空間中三個不共或的向量可以作為基底

證明空間四點共面的方法

對空間四點P,M,.4,8來證明四點共面：(1)和=屈

基底

(2)對空間任一點0,~O?=O\t+xM?+,>W

(3)戲〃/(我方T//MBik.~PB〃丸)

(4)”與4,B,C一定共面的充要條件是而=xOi+)麗+石己x+」+?=l

1、空間向量基本定理

如果向量三個向量之石，下，不共面，那么對空間任意向量仇存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得/=xa+yb+zc.

2、基底與基向量

如果向量三個向量日,引下，不共面，那么所有空間向量組成集合就是{同/=%之+y另+zKx,y,z€/?},這個集

合可看作是由向量al心生成的，我們把他石,4叫做空間的一個基底乙都叫做基向量.

對基底正確理解，有以下三個方面：

（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；

（2）因為6可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著

它們都不是6；

（3）一個基底是由三個不共面的向量構(gòu)成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，

二者是不同的概念.

【即學即練1］（2023秋?高二課時練習）如圖，M,N分別是四面體0A2C的邊BC的中點，E是MN

的三等分點，且需=點用向量麗，礪，玄表示屈為（）

---->1---->---->---->---->1---->1----->1----->

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-OA+-OB+-OC

6333

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-~OB+-OC

663633

【答案】D

【詳解】因為需=［，所以麗=3定，

所以南-麗=3(荏-而)，即麗=》麗+|前,

又麗=(四標=14+瓦)，

所以云=-0A+-0B+-0C.

633

故選：D

知識點02：空間向量的正交分解

1、單位正交基底

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1,那么這個基底叫做單位正交基底，常用

表示.

2、正交分解

由空間向量基本定理可知，對空間任一向量出均可以分解為三個向量疝，好，zW使得a=%7+y7+zK像

這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

我們把X,y,z稱作向量。在單位正交基底｛『,『,"｝下的坐標.記作a=｛久,y,z｝此時向量Z的坐標恰是點Z在空間

直角坐標系Oxyz中的坐標｛久,y,z｝,其中x,y,z分別叫做點江的橫坐標、縱坐標、豎坐標.

3、特殊向量的坐標表示

(1)當向量a平行于%軸時，縱坐標、豎坐標都為o,即a=(x,o,o)；

(2)當向量2平行于y軸時，縱坐標、橫坐標都為0,即石=(0,%0);

(3)當向量a平行于z軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為0,即a=(0,0,z);

(4)當向量B平行于xOy平面時，豎坐標為0,即2=(居y,0);

(5)當向量B平行于yO久平面時，橫坐標為0,即2=(0,y,x);

(6)當向量R平行于xOz平面時，縱坐標為0,即2=(x,0,z);

題型精講

題型01空間向量基底的概念及辨析

【典例1】(2023?全國?高三對口高考)已知但，友可為空間的一個基底，則下列各選項能構(gòu)成基底的是

()

A.a,a—2b,a.+bB.a+b,a-b,c

C.2a+2b,a+b,2cD.a+c,b+c,a+b+2c

【答案】B

【詳解】因為2—2b=32—20+另），所以—2區(qū)1+3是共面向量，不能構(gòu)成基底，A不正確；

因為Z+ZZ-B］不是共面向量，所以可以構(gòu)成基底，B正確；

因為23+2另與/+3平行，所以22+2南d+另,2,不能構(gòu)成基底，C不正確；

因為d+3+b+3=/+b+23所以Z+京6+3,2+6+2^共面,不能構(gòu)成基底,D不正確.

故選：B.

【典例2】（多選）（2023春?福建莆田?高二莆田第二十五中學?？计谥校┰O(shè)，=2+及亍=五+2工=2+￡,

且何，瓦可是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（）

A.{a,b,x}B.{x,y,z）

C.{b,c,z］D.{x,y,a+6+c）

【答案】BCD

【詳解】如圖所示，令a二屈虛二初工;用，貝氏=麗，歹=麗,2=前，又a+3+乙=宿，

由A、Bl、C、n四點不共面知：向量力克2不共面，

同理江普君和為a+b+^也不共面.

故選：BCD

【變式1］（2023春?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）{五，5可為空間的一組基底，則

下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（）

A.a,a+b>a—bB.b,a+b<a—b

C.c,a+K-a-bD.a+2b，a+b，a-b

【答案】C

【詳解】對選項A：a=i［（a+ft）+（a-^）］,向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

對選項B：另=10+3）-0-訓，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

對選項C：假設(shè)不=4伍+3）+〃值一月），即3=（%+〃）a+Gi-〃）3，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)

成基底，正確；

對選項D：a+=|（d+d）-1（d-d）,向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

故選：C

【變式2】（多選）（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）低瓦司是空間的一個基底，與五+京五+E構(gòu)

成基底的一個向量可以是（）

A.b+cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【詳解】由于3-/=2+3—3+0，故5-乙與a+京a+3共面，無法構(gòu)成空間的一個基底，故B錯誤;

因為｛2,3,/｝是空間的一個基底，由于不存在實數(shù)對x、y,使得加+3=+另）+yQ+3）,

X+y=0

若成立則％=1，顯然方程組無解，故匯+京a+3與B+c可以作為空間的一個基底，故A正確，同理

.y=1

可得C、D正確；

故選：ACD

題型02用空間基底表示向量

【典例11（2023秋?浙江麗水?高二統(tǒng)考期末）在平行六面體4BC0-41B1C1。［中，AC,相交于0,

M為0cl的中點，設(shè)=AD=b>AA-i=c>貝UCM=（）

A1一?1點IT

A.-a+-b——cB.-a——b+-c

442442

一丘

C.-ia-ifc+JcDn.——3a+?-b--1c-

442442

【答案】C

【詳解】/

A

如圖所示，CM=|而+|CC\=i（CB+CD）+|CC7=-^d-^b+^c,

故選：c

【典例2】（2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）四棱錐P-43CD中，底面43CD是平行四邊形，點E為

棱PC的中點，若荏=筋行+,而+z存，則%+y+z等于（）

E

-------------?B

3，

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【詳解】因為荏=荏+炭+方=四+而+而=荏+而+（前一荏），

所以2版=而+而+而，所以旗=3荏+［而+［布，所以x=1,y=W，

所以x+y+z=|+|+|=|,

故選：A.

【典例3】（2023?陜西?統(tǒng)考一模）空間四邊形43CD中，4c與3。是四邊形的兩條對角線，M,N分別

為線段4B,CD上的兩點，且滿足詢=弓同，DN=^DC,若點G在線段MN上，且滿足麗=3而，若向

>=xAB+yAC+zAD，貝！Jx+y+z=.

【答案】蔡

【詳解】因為庶=宿+流-|AB+|M］V=|AB+|（W+B］V）=|屈+|@荏+麗）

=-AB+-AB+-BN=—AB+-BN=—AB+-（JC+CN}=—AB+-（AC-AB+-CD）=-AB+

34412412八J124V4/6

-AC+-~CD=-AB+-AC+-（AD-AC）=-AB+-AC+-AD,

4166416v761616

所以％+yz+z=-6+—16+—1612.

故答案：葛

【變式1］（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城中學校考期中）在四面體0-43C中，PA=2OP9Q是3c的中

點，且M為PQ的中點，若04=五，OB-bfOC=c,貝!lOM=（）

111

A.++B.—a+—b+-c

644622

n1-??I-

C.-a+-b+-cD.-a+-b+-c

322344

【答案】A

【詳解】因為2加=方，所以m=［初,

o

因為。是BC的中點，所以麗=|（赤+瓦），

因為M為PQ的中點，所以布=；（而+而）=Jm+J而=；成+；（而+灰）="+￥+相

ZZZ64644

故選：A.

【變式2］（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體4BCD-4述述1。1中，P是C2的

中點，點Q在041上,且CQ:。2=4:1,設(shè)祠=a,AD=&，AAr=c-貝!I()

A.QP=-a+-b+-cB.f+為一為

yioioioyioioio

C.QP=^-a+^-b-^-cD.QP=^：a+^-b+^-c

yioioio<ioioio

【答案】C

【詳解】因為尸是的中點,

所以Q=|(M+左)|(AA[+AB+AD)-i(a+b+c),

又因為點。在C&上，且CQ:O4=4:1,

一一.-->---?---?--->1---->-----?1--->----->1--->4*-----?

所以4Q=44i+4iQ=AA1+^ArC=AAt+^AC-AAt)=^AC+^AA1

+40)=1a++Jc,

所以m=費一而=[0+1+?)_]_鈍_找=十+睛一/，

故選：C.

【變式3］（2023春?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知四面體。-43C,Gi是2143c

的重心，G是。G1上一"點，且。G=3GG］,右OG=冗04+y08+zOC,貝！|（X，7,2）為（）

A-G鴻B.霏&

C-&工）D.（|,|,|）

【答案】A

【詳解】如圖所示，連接AG并延長，交BC于點E,則點E為BC的中點,

--->1--->---?1--->--->--->_,---->?--->1--->--->--->

XF=j(AB+AC)=；(OB—20A+OC),貝必G】=jXF=：(OB—20A+OC),

由題設(shè)，亦=3福=3(西一床)，

3331211

0G=-OG[=-(OA+AG2)=-(OA+-OB--OA+-0C)=-(0A+0B+0C)

4443334

所以％=y=z=；.

4

故選：A

【變式4](2023?全國?高三對口高考)已知正方體4BCD-4iBiCi/中，側(cè)面CCi%。的中心是P,若

AP=AD+mAB+nAA1,則m=,n=.

【答案】1/0.51/0.5

【詳解】由于而=而+而=而+^(沆+西)=而+]通+:標，

所以巾=$n-p

題型03應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系

【典例1】（2023?江蘇?高二專題練習）已知空間四邊形04BC中，AAOB=zBOC=N40C,且04=OB=

OC,M,N分別是。4,BC的中點，G是MN的中點，求證：OG1BC.

【答案】證明見解析

【詳解】在空間四邊形。42c中，^OA=a,OB=b,OC=c,則⑷=區(qū)|=|訃

令40B=/30C=40C=。，G是MN的中點，如圖，

0

B

則而=式說+而)=^市+/而+方)]=；m+3+。，BC=OC-OB=c-b，

于是得布?BC—^a.+b+c)-(c—b)—^(a.-c—a-b+b-c—b2+c2—b-c)

—j(|a|2cos9—|a|2cos9—|a|2+|五『)=。，

因此，~0GLBC，

所以O(shè)GJ_BC.

【典例2】(2023?全國?高二專題練習)已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證：這個

四面體相對的棱兩兩垂直.

已知：如圖，四面體4BCO,E,F,G,H,K,M分別為棱4B,BC,CD,DA,BD,4c的中點，且由G|=

|尸H|=|KM|求證AB1CD,AC1BD,AD1BC.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：設(shè)荏尼=員同=3

則的=而一族=*左+而)-|AB=-ia+|h+|c=|(-a+ft+c)

FH^AH-AF^AD-1(Zfi+Zt)=|c-1(a+K)=|(-a-h+c),

KM-AM-AK|XC-1(AB+AD)=|b-|(a+c)=|(-a+^-c),

\EG\=\FH\,||(-a+石+磯=||(-a-b+c)|,

:.(—a+h+c)=(—a—b+c),

???a2+fa2+c2—2a-K—2a-c+2h?c=a2+fa2+c2+2a-h—2a-c—2h?c，

4a'b=4b?c,d-b—b?c=0,b?(<a—c)=0

又另=m，五一5=萬瓦.??彳？?麗=0

AC1麗,??.AC1DBy同理可證/。1BC,AB1CD,

.??這個四面體相對的棱兩兩垂直.

【典例31(2023春?安徽合肥?高二?？奸_學考試)如圖所示，三棱柱4BC-41B1G中，CA^a，CB=b，

CCi=1,CA=CB=CCt=1,(a,b)=(a,c)=y,{b,c)=pN是4B中點.

(1)用五，b，[表示向量而V;

(2)在線段C/i上是否存在點M,使若存在，求出M的位置，若不存在，說明理由.

【答案】⑴-黑+(b-3

(2)當G"=|C]Bi時，AM1ArN

【詳解】⑴解：因為N是48中點，所以麗=：荏，

所以可=備+而=QC+|AB

__1_.-.11_

=-CCx+-(CB-CA)=--a+-b-c-

(2)解：假設(shè)存在點M,使4M1&N,設(shè)的=；1弓瓦，(26[0,1]),

顯然=Ab>AM=AA^++Cjl=c-a+Afe-

因為力MJ.4N,所以前?4W=0,

—>11—>

BP(c—a+Ab),(——cz+—h—c)=0,

^-c-a+^c-b—c2+-^a2--^a-b+c-a—?b+7-Ab2—Ab-c=0

222222

CA=CB=CCx=19{a,b)=(a,c)=(b,c)=p

Iff-1-0

-c-a—c2+-a2—(-+-A)a-b+-Ab2=0

22‘22’2

即[x1X1X(-i)-l2+iXl2-(i+X1X1X(-1)+1A-l2=0,

解得2=I，所以當QM=|c/i時，ZMl/iM

【變式1】(2023春?高二課時練習)如圖，在平行六面體43CD—Ai/gDi中，AB=AD=AAr=1,

ZArAB=ZArAD=ZBAD=60°,求證：直線41c1平面

【答案】證明見解析

【詳解】設(shè)同=a，AD=b^A\=C,貝現(xiàn)為空間的一個基底且碇=a+B—冷前=3—京西=自

因為AB=AO=A4/=1,NAMB=NA/AO=NBAD=60°,

所以原=b2=c2=l>d-b=b-c=c-d=^.

在平面BDPS上，取前、西為基向量，則對于面上任意一點尸，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(乙〃)，

使得前=ABD+〃西.

所以'A^C-BP=AA^C,BD+fiA^C-BB】=A(a4-b-c),(b-a)+“(a+Z)—c)?c=0-

所以碇是平面BDDiBi的法向量.

所以A/CJ■平面BOG班.

【變式2](2022秋?北京順義?高二牛欄山一中?？茧A段練習)如圖，在底面4BC。為菱形的平行六面

體4BCD—4iBigDi中，M,N分別在棱Cg上，且41M=CN=1CC1,且=

ZAtAB=NDAB=60°.

(1)用向量引，AD,祠表示向量而；

(2)求證：D,M,Br,N共面；

(3)當繁為何值時，AClLA1B.

【答案】(1)而=荏+同一]京

⑵證明見解析

(3)1

【詳解】(1)MN=MA+AB+JC+~CN=--AA^+AB+BC+^AA^=AB+AD--~AA1.

(2)證明：,??麗=府一同=|麗—礪，西=-序=|再一詬，

/.DM=NB^,D,M,B],N共面.

(3)當絮=1，ACr1A±B,

證明：設(shè)福=*AD=b,AB=a,

?.?底面48CD為菱形，則當絮=1時，同=的=同，

AC1=AB+BC+CC[=a+6+3，A^B=AB-AA1=a-c>

ZA±AD=ZArAB=ZDAB=60°.

*'?AC^,A^B=(ci+h+c),(<i—c)=u21+3,h—b,c—召=0,

???4cl!ArB.

題型04應(yīng)用空間向量基本定理求距離、夾角

【典例11(2023?江蘇?高三專題練習)如圖，在平行六面體4BC0-AiBiGDi中，以頂點4為端點的

三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。，求BD]與4c的夾角的余弦值.

6

【詳解】設(shè)=出AD=b，AAt=3，

->―?1

由已知可得五-b=d-c=b-c=lxlxcos60°=-.

因為BDl=BA+BC+BB]=—AB+AD+AAt=—a+b+,，

AC=AB+AD=五+6，

所以，BD；=(—a+b+c)=a2+fo2+c2—2a-h+2h-c—2a-c=14-l+l—2x|+2x|-2x|=

2,

AC2=(五+石)=a2+b2+2a-K=l+l+2x|=3,

BD]'AC—(—o.+/?+?),(2+b)=—五2一五.6+五.人+人？+S?c+/?,c=-1——+—+1+—+—=1,

所以|西|=V2,|^4C|=V3,

所以，cos(西，硝=默贏=五匕=彳,

故直線BD1與2C的夾角的余弦值為彳.

【典例2](2023秋福建三明福二統(tǒng)考期末)如圖，在四面體4BCD中，ZBAC=6ff,^BAD=ZCAD=45°,

AD=V2,AB=AC=3.

D

C

------------------------

(1)求前?前的值；

(2)已知尸是線段CD中點，點E滿足國=2荏，求線段E尸的長.

【答案】(1玲

⑵手.

【詳解】(1)在四面體2BCD中，設(shè)屈=3,AC=b>前=冷貝UMI=問=3,\c\=V2,

(a,b)=ABAC=60。，(a,c)=4BAD=45°,(b,c)=ZCAD=45。，

BC,BD—(AC—4B),(力D—AB')=(b—a),(c—a)—b■c—b,a-a,c+a2

=\b\\c\cos450-\b\\a\cos600-\d\\c\cos45°+\d\2=3V2Xy-32X|-3>/2Xy+32=1

(2)由(1)知,因為麗=2族，則荏=|AB=；何因為尸是CD中點，則而=[反=久冠-而）=7-咨

如圖，

DF

A二EB

于是得麗=瓦？+同+而=-|a+c+|ft---C=--a+-K+-c,

2322

因此網(wǎng)2=(f+?+9=?+*!abac+be

332

32,32,(V2)232cos60°3ecos45°,342cos

—++1竺=芳，即旬而|=4，

944332

所以線段所的長為手.

【典例3]（2023秋?浙江杭州?高二杭師大附中?？计谀┤鐖D,平行六面體4BCC-4/131中，CB1

BD,乙JCD=45°,乙CJB=60°,CCr=CB=BD=1,

cD

⑴求對角線C&的長度；

（2）求異面直線C&與。4所成角的余弦值.

【答案】⑴3；

（2啟

【詳解】（］）因為CB=BD=1,CB1BD,

所以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=VL

又因為CC1=CB=1,ZCC1B=60°,

所以三角形CQB為邊長為1的等邊三角形，

以向量麗,而，鬲為基底，

則有E=CB+BA+AAl=CB+CD+CQ.

兩邊平方得兩2=（而+詼+鬲產(chǎn)

^CB2+CD2+范2+2CB-CD+2CB-CQ+2CC1-CD

l五1V2

=l+l+2+2xlxv2x——F2xlxlx—+2xlxv2x

=9,

所以lEl=3,

即IC&I=3,

所以對角線C4i的長度為3；

（2）因為E=^+歷+范，lEl=3，DA=CB，\DA\=\CB\=1，

所以=西?麗

=（CB+CD+CQ）-CB

=CB2+CD-CB+CCl-CB

r-V21

=1+V2xlx—4-lxlx-

5

=p

所以cos<CAr,>=篇篇=l，

即異面直線C4與所成角的余弦值為;.

【典例4】（2023?高一單元測試）如圖，三棱柱4BC-4/住1中，M,N分別是4止,當?shù)纳系狞c，且BM=

（1）試用鬲b，3表示向量而；

(2)若NB4C=90。"必=NC4%=60°,AB=AC=AAX=1,求MN的長.

.11-1

(l)MN=-a+-b+-c

【詳解】(1)解：而=祈不+而7+和

1—,一2一

=-BA^+AC+—CB

313

1—>1-----?—>2—>—>

=--AB-b-AAr+AC-b-(AB-AC)

^-AB+-AZ+-AC,

3313

：.MN=-a+-b+-c；

333

(2)解：-,-AB=AC=AAl=l,：la\^b\^c\=l,

???ZBAC=90°,.??2?另=0/.-ZBAAr=ZCAAr=60°,

:.a---c=bA-c-=—1,

2

\MN\2=i(a+h+c)2=i(a2+62+c2+2a-b+2a-c+2h-c)=I，

即MN的長為它.

3

【變式1](2023春?廣西南寧?高二統(tǒng)考開學考試)已知在平行六面體4BCD-ABigOi中，AB=2,

9=3,AD=1且N1MB=ZBAAt=ZDAAt=半

(2)求向量函與四夾角的余弦值.

【答案】⑴底；

⑵卓.

【詳解】(])在平行六面體4BCD-力i&CiDi中，｛近，而，硒*｝為空間的一個基底，

3

因為48=2,M=.AD=IK^DAB=ZBAAr=ZDAAX=p

則說.而=2xlxcosg=l,荏.近=2x3xcosg=3,而.旃＞=lx3xcos；=|,

DB]=DA+AB+BB]=AB-AD+AA2f

所以|西|=JAB2+揚+近2_2說,而_2ZD?西+2AB?磯

=j22+l2+32-2xl-2x|+2x3=V15.

（2）由（1）知，~DB[=AB-AD+AA1,則西?屈=屈？一四?而+屈?痂=22-i+3=6，

又|西|=V15,所以向量函與荏夾角的余弦值cos〈西，屈〉=第緇=4F=".

11\DDI\|J4DIv15X25

【變式2]（2023?全國?校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,

點E,F,G分別是4B,AD,CD的中點.設(shè)四=五，AC=b，而=直

⑴求證EG14B；

（2）求異面直線4G和CE所成角的余弦值.

【答案】（1）證明過程見解析；

（2）1

【詳解】（1）證明：連接。E,

因為空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,且E,G分別是AB,CO的中點,

所以4C=BC,BD=AD,

故CE1AB,DE14B,

又因為CEnDE=E,CE,DEu平面COE,

所以4B1平面CDE,

因為EGu平面CDE,

所以力BJ.EG.

A

(2)由題意得：均為等邊三角形且邊長為1,

所以

4G=EC=—2

Ie=|(d+c),EC=1(B?+Ic)=|(ZC-AB+Zc)=b-^d,

所以24G,EC=_(/)+&)?(b—=一t)2—ci'b—c,b—u,c

2、7V2/2424

11T1T1

=---|a|?|b|cos60°+-|c|?\b\cos60°--|d|?\c\cos60°

2424

―28+48-2’

設(shè)異面直線AG和CE所成角為。，

貝“cos3=\cos(AG,EC)\=［竺因］=?-后？=-

人」I\，/I阿「忸(?|叵走3

22

【變式3］(2023秋?遼寧沈陽?高二校聯(lián)考期末)如圖所示，在四棱錐A/-ABCD中，底面4BCD是邊長

為2的正方形，側(cè)棱4M的長為3,且NM4B=^MAD=60°,N是CM的中點，設(shè)@=而，方=而,笠=而，

用五、石、2表示向量前，并求BN的長.

【答案】BN=-gd+gb+1,BN—

2222

【詳解】解：因為N是CM的中點，底面ABCD是正方形，

所以麗=BC+CN=AD+^CM=AD+1（AM-~AC}

=40+i\AM-（AD+AB）］=--AB+-AD+-AM=--a+-b+-c,

2L1222222

又由題意，可得同=\AB\=2,\b\=\AD\=2,|c|=\AM\=3,/MAB=^MAD=60。,

ZDAB=90°,

因此=(―扣+1]+D=((m2+同_|,|^|2—2d-b—2d-c+2b

=](4+4+9-0-2x2x3cos60°+2x2x3cos60。)=%

所以|麗|=?，即BN的長為?.

強化訓練

第03講1.2空間向量基本定理

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2023秋?高二課時練習）已知為三條不共面的線段，若彳B=%南+2y近+3z*,那么

x+y+z=（）

A?.Y1-B.7—C.—5Dr.一11

666

【答案】B

【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：ACl=AB+BC+CC1,

即福=9+前一宿

因為溫=xAB+2yBC+3zQC?

所以x=1,2y=1,3z=-1,

所以久=Ly=jz=所以x+y+z=1+：-[=：.

z3Zoo

故選：B.

2.（2023?高二?？颊n時練習）對于空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,有如下關(guān)系:赤=^OA+^OB+

63

|oc,貝I」（）

A.0,4,B,C四點必共面B.P,4B,C四點必共面

C.O,P,B,C四點必共面D.O,P,4B,C五點必共面

【答案】B

【詳解】對于空間任一點。和不共線三點A8,C,若點P滿足加=xOA+yOB+zOC（x,y,zER）且％+

y+z=l,則P,4B,C四點共面.

而存=:市+；4+；方，其中;+；+；=1,所以P,4,B,C四點共面.

o32o3Z

故選：B.

3.（2023春?江西贛州?高二校聯(lián)考階段練習）己知口,無耳是空間的一個基底，則可以與向量沅=匯+2a

n=a-5構(gòu)成空間另一個基底的向量是（）

A.2d+2b—cB.a+4b+cC.b—cD-d—2b—2c

【答案】C

【詳解】因為2a+2b—c=(a+2b)+(a—c)，

3.+4b+c=2(5+2b)—(u—c)>

a—2b—2c—2(a—c)—(a+2b)，

所以向量2a+2另一3a++c-Z—一2/均與向量記，云共面.

故選：C

4.(2023春?安徽?高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試)己知四面體。-4BC,G是△ABC的重心，P是線

段OG上的點，且OP=2PG,若赤=彳方+y而+z玄，貝l](x,y,z)為()

A?&/)B.(|,|,|)C.D.(|,|-0

【答案】B

【詳解】由題意知，

".'OP=2PG，

：.OP--OG--(-OA+-OB+-OC)--OA+-OB+-OC.

33\333/999

故選：B.

5.(2023?高二?？颊n時練習)已知直線AB,BC,8月不共面，若四邊形B/GC的對角線互相平分，且

ACi=xAB+2yBC+3zCQ，則x+y+z的值為()

A.1B.—C.-D.一

636

【答案】D

【詳解】由題意，知通，BC,兩不共面，四邊形BBiGC為平行四邊形，鬲=西，

(AB,~BC,南｝為空間的一組基底.

-；ACX=AB+BC+~CC1,又溫=久四+2y麗+3z鬲，

11

???%=2y=3z=1,x=1,y=-,z=-,

?,?%+y+z=—.

)6

故選：D.

6.(2023春?安徽合肥?高二?？奸_學考試)在平行六面體4BCD中，441=1,AB=AD=e，

且NAIAD=N214B=45。，ZDAB=60°,貝()

A.1B.V2C.舊D.2

【答案】C

【詳解】以｛屈，前,五1｝為基底向量，可得袍=瓦？+而+西=一同+而+而，

則西2=(_荏+AD+可產(chǎn)=AB2+AD2+^―2AB-AD-2AB■麗+2AD?麗

=1+2+2-2XV2XV2XCOS60°-2XA/2X1XCOS45°+2XV2X1XCOS45°

=5-4x—2V2x――+2V2x—=3，

222

：.\BD^\=V3.

故選：c.

7.（2023春?江蘇南京?高二南京市第一中學?？计谥校┤鐖D，在平行六面體力BCD中，底面4BCD

是菱形，側(cè)面&ADD1是正方形，且乙41AB=120°,^DAB=60°,AB=2,若P是QD與CD1的交點，貝！MP=

（）.

A.9B.7C.3D.V7

【答案】D

【詳解】解：在平行六面體ABC。-A/iGDi中，四邊形DDiGC是平行四邊形，又P是的。，C/的交點,

所以P是C】O的中點，

所以，AP=AD+DP=AD+^（DC+^Dl）=^AB+AD+^AA1,

又稱而=2，樂?磯=-2，AD-AAi=0,

所以存2=傅說+AD+:說?

=-AB2+AD2+-AA^+AB-AD+AD-A47+-AB-XT=7,即4P=夕.

441121

故選：D.

8.（2023春?高二課時練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，點G為AABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG,

過點M任意作一個平面分別交線段PA,PB,PC于點。，E,F,若方=6方，PE=nPB,PF=tPC,則

工+5+5的值為（

m

R

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】連接4G并延長，交BC于點、H,

以｛兩,PB,而｝為空間一組基底，

由于G是△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG,

所以兩=1同=](可+血)=|同+1x|歷

=-P?l+-x-(XB+AC)=疝PZ+4(PB-PA+PC-PA｝

=-PA+-PB+-PC(1).

444

連接DM,因為。E,F,M四點共面，

所以存在實數(shù)x,y,使得麗=xDE+yDF，

即兩_而=x(P￡-PD)+y(PF-^D),

PM=(1—%—y)PD+xPE+yPF

=(1—x—y)mPA+xnPB+ytPC②，

由①②以及空間向量的基本定理可知：

(1—%—y)m=-,xn=-,yt=-

444f

4(1—x—y)=—,4x=-,4y=-

mntf

-ill

所叱+"工=4(1-x-y)+4x+4y=4.

故選：C

二、多選題

9.（2023春?江蘇