2024-2025學(xué)年北師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)（考點(diǎn)清單） 解析版

專題02講實(shí)數(shù)（考點(diǎn)清單）

【聚焦考點(diǎn)】

題型一：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平根數(shù)和平方根

題型二：利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

題型三：估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

題型四：求代數(shù)式的平方根

題型五：求立方根問題

題型六：（算術(shù)）平方根和立方根的綜合應(yīng)用

題型七：有理數(shù)和無理數(shù)的概念

題型八：實(shí)數(shù)和數(shù)軸

題型九：實(shí)數(shù)的比較大小

題型十：無理數(shù)的估算

題型十一：二次根式的化簡(jiǎn)求值

題型十二：實(shí)數(shù)和二次根式的混合計(jì)算

題型十三：實(shí)數(shù)的規(guī)律問題

【題型歸納】

題型一：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平根數(shù)和平方根

【典例1】（2023下?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算標(biāo)的結(jié)果是（）

A.4B.TC.±4D.以上都不對(duì)

【詳解】解：；42=16>J16=4,故選：A.

【專訓(xùn)1-1]（2022上.浙江?七年級(jí)期中）16的平方根是（）

A.4B.-4C.±4D.±2

【詳解】解：?.?（±4）2=16,，16的平方根是±4,故選：C.

【專訓(xùn)1-2]（2023上?甘肅酒泉?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（）

A.（-乃>的算術(shù)平方根是土乃B.0是2的平方根

C.0.1的平方根是±0.01D.-3是27的負(fù)立方根

【詳解】解：A、（-乃了二萬，所以（-萬了的算術(shù)平方根是萬，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、0是2的平方根，故該選項(xiàng)正確；

C、0.1的平方根是±?1,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、3是27的立方根，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選B.

題型二：利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

【典例2】（2021下.廣西河池.八年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)x,V為實(shí)數(shù)，且y=4+57+7^^,則1-乂的值是（）

A.1B.9C.4D.5

【詳解】解：y=4+j5-x+Jx-5,

*.*5-x>0,貝U%K5；x-5>0,貝1Jx25；

??x—5,

**?y=4,

二"_乂=|4_5|=卜1|=1，

故選：A.

【專訓(xùn)2-1]（2023下?廣西賀州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩邊x,y滿足|x-3|+J2y-8=0,則第三邊長(zhǎng)

為（）

A.右或5B.5C.岳或小D.6或5

【詳解】解：尤-3|+j2y—8=0,l^-3|>0,,2y-82

：.\x-3\=O,J2y-8=0,

x=3,y=4,

①當(dāng)兩直角邊是3,4時(shí)，三角形是直角三角形，則斜邊的長(zhǎng)為：斤彳=5，

②當(dāng)3為一直角邊，4為斜邊時(shí)，則第三邊是直角，長(zhǎng)是用彳=布.

第三邊長(zhǎng)為近或5,

故選：D

【專訓(xùn)2-2]（2023上?江西九江?八年級(jí)校考期末）已知|2〃-4|+后工=0,則（4+6）刈3的值為（）

A.2011B.1C.-1D.無法確定

【詳解】解：?*-4|+^7^=0,

2a—4=0,3+Z?=0,

解得：。=2,b=—3,

：.（6Z+&）2013=（2-3）2013=（-1）2013=-1；

故選C

題型三：估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

【典例3】（2023下.重慶南川?八年級(jí)統(tǒng)考期末）估計(jì)兩■-2的值應(yīng)該在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【詳解】解：?.?加<瘋<相，

7<^/61<8,

.?.5<V61-2<6,

故選：C.

【專訓(xùn)3-1]（2022上?福建泉州.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果整數(shù)。滿足夕則。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【詳解】解：

.?.近〈3〈用，

.,.如果整數(shù)。滿足則。的值是：3,

故選：C.

【專訓(xùn)3-2]（2021?北京?統(tǒng)考中考真題）已知432=1849,44?=1936,45?=2025,46?=2116.若〃為整數(shù)且

J2O21<〃+1,則"的值為（）

A.43B.44C.45D.46

【詳解】解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

442<2021<452,

/.44<V2021<45,

〃=44；

故選B.

題型四：求代數(shù)式的平方根

【典例4】（2022下廣東佛山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若尤2+±=2,則x+1的值是（）

XX

A.2B.-2C.±2D.±y/2

【詳解】解：：三+1=2,

2

1

+2x-----Fx29+—+2=2+2=4,

XXx

x+—=±^4=±2.

x

故選C.

【專訓(xùn)44】（2020上.四川成都.八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知工、九滿足G斤+|y+2|=0,則爐―4y的平方根為.

【詳解】???J7=f+|y+2|=0,

.*.x-l=0,y+2=6

x=l,y=-2,

?.--4y=1+8=9,

的平方根為±3,

故答案為：±3.

【專訓(xùn)4-2］（2019上?云南臨滄?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)。滿足/+3-1=0,則。+工的值為

aa

【詳解】解：：/+e_i=o,

a

a2H——=1,

a

11

（ad—）9=a9H—-+2=l+2=3,

aa

uH—=iV3.

a

故答案為：±括.

題型五：求立方根問題

【典例5】（2022上.福建泉州.八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算中的結(jié)果是（）

A.-8B.±8C.-4D.±4

【詳解】解：^64=-4,

故選C.

【專訓(xùn)54】（2022下.福建福州.福建省福州第十六中學(xué)?？计谥校┤簟ǖ乃阈g(shù)平方根為17.25"的立方根為-8.69；

x的平方根為±1.725,y的立方根為86.9,則（）

A.x=~^—a,y=-1000/?B.x=-^—a,y=100b

100100

C.x=100a,y=----aD.x=------CL,y--100Z?

1001000

【詳解】解：???〃的算術(shù)平方根為17.25,匕的立方根為-8.69,

???”=297.5625,反-656.234909.

??”的平方根為±1.725,y的立方根為86.9,

???x=2.975625,>=656234.909,

x=y=-1000Z?.

100

故選：A.

【專訓(xùn)5-2]（2021下?湖北武漢?統(tǒng)考期中）已知4M+15的算術(shù)平方根是3,2-6n的立方根是-2,則病F;二（）

A.2B.±2C.4D.±4

【詳解】解：由題意可得：4m+15=9,2-6n=-8,解得：m=-|-,?=|

y/6n-4m=^6x-1-4x^--1^=\/16=4

故選：C.

題型六：（算術(shù)）平方根和立方根的綜合應(yīng)用

【典例6】（2021.江蘇南京?統(tǒng)考中考真題）一般地，如果無"=a（〃為正整數(shù)，且〃>1）,那么x叫做。的"次方根,

下列結(jié)論中正確的是（）

A.16的4次方根是2B.32的5次方根是±2

C.當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，2的〃次方根隨〃的增大而減小D.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，2的"次方根隨w的增大而增大

【詳解】A」."/（-2）4=16,16的4次方根是±2,故不符合題意;

B.-.-25=32,（-2）5=-32,，32的5次方根是2,故不符合題意;

C.設(shè)x=g,y=6,

則./=2$=32,y5=23=8,

x15>y15,且無

:.x>y,

???當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，2的w次方根隨〃的增大而減小，故符合題意；

D.由C的判斷可得：。錯(cuò)誤，故不符合題意.

故選C.

【專訓(xùn)6-1】（七年級(jí)單元測(cè)試）下列說法：①-2是4的平方根；②16的平方根是4；③-125的立方根是15；④0.25

的算術(shù)平方根是0.5；⑤云97的立方根是±3g；⑥拘的平方根是9,其中正確的說法是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【詳解】①-2是4的平方根，正確；

②16的平方根是±4,故錯(cuò)誤；

③-125的立方根是-5,故錯(cuò)誤；

④0.25的算術(shù)平方根是0.5,正確；

⑤言的立方根是:，故錯(cuò)誤；

⑥J麗=9,9的平方根是±3,故錯(cuò)誤；

其中正確的說法是:①④，共2個(gè)，

故選：8.

【專訓(xùn)6-2]（2021下.吉林白城.七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.64的立方根是±4B.1的平方根是1

C.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0D.交7=-病

【詳解】A.64的立方根是4,故A選項(xiàng)，不正確，不符合題意；

B.1的平方根是±1,故B選項(xiàng)，不正確，不符合題意；

C.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有0和1,故C選項(xiàng)，不正確，不符合題意；

D.工方=_3,-^27=-3,=-^27,正確，符合題意.

故選D.

題型七：有理數(shù)和無理數(shù)的概念

【典例7】（2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面的說法中，正確的是（）

A.分?jǐn)?shù)包括小數(shù)B.無限循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)

C.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)D.無限不循環(huán)小數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)的形式

【詳解】A、分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，故此選項(xiàng)正確；

D、無限不循環(huán)小數(shù)不可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

3TT

【專訓(xùn)7-1]（2023上?四川宜賓?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)5、—>一不、后、-、2.010010001……中，無理

數(shù)有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

【詳解】解:根據(jù)無理數(shù)的定義及常見形式可知，無理數(shù)有3個(gè),分別是-0,T，2.010010001……，注意的是后=5

是有理數(shù)，

故選：B.

jr11______

【專訓(xùn)7-2】（2022上?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在-3.14159…，2.1,A/L6,y,-^0001,3.020020002

中，無理數(shù)有（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

jr11______冗

【詳解】解：在—3.14159…，2.i,A/L6,y,-^0X）01,3.020020002中，無理數(shù)有—3.14159…，Vh6

共3個(gè)，故選：B.

題型八：實(shí)數(shù)和數(shù)軸

【典例8】（2022上?四川宜賓.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知數(shù)軸上的點(diǎn)A,民C,。分別表示數(shù)-2,1,2,3,則表

示3-石的點(diǎn)尸落在線段（）

IA?__|______O1___B|____CL__D_|___??

-3-2-101234

A.上B.A。上C.BC±D.CDh

【詳解】解：?.,4<5<9,

2<75<3,

-3<-y/5<-2

.-.0<3-A/5<1,

則表示3-石的點(diǎn)尸落在線段OB上，

故選：A.

【專訓(xùn)8-1］（2023下?青海西寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A,8在數(shù)軸上分別表示數(shù)1,2,以A3為邊作正方形

ABCD,連接AC,以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)E,則點(diǎn)E表示的數(shù)是（)

A.0B.1+0c.2+V2D.72-1

【詳解】解：由題意可得：AB^BC=1,

由勾股定理可得：AC=yjAB2+BC2=y/2>

由題意可得：AE=AC=42

則點(diǎn)E表示的數(shù)是1+應(yīng)

故選：B

【專訓(xùn)8-2】.(2019下?河南信陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.

圖1圖2

(1)求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng);

(2)圖1中陰影部分是一個(gè)正方形A3CD,求出陰影部分的面積和邊長(zhǎng);

⑶把正方形A8CD放到數(shù)軸上，如圖2,使點(diǎn)A與-I重合，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。在數(shù)軸上所表示的數(shù).

【詳解】(1)解：設(shè)魔方的棱長(zhǎng)為心

則%3=64,

解得：x—>/64-4；

(2)解：；棱長(zhǎng)為4,

，每個(gè)小立方體的邊長(zhǎng)都是2,每個(gè)小正方形的面積都是4,

所以魔方的一面四個(gè)小正方形的面積為16,

S正方形=-X16=8;

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為我=2亞；

(3)解：正方形A3CD的邊長(zhǎng)為2應(yīng)，點(diǎn)A與-1重合,

點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)為-1-20.

題型九：實(shí)數(shù)的比較大小

【典例9】（2022上?四川樂山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)-8，0,0.5,無中，最小的數(shù)是（）

A.-V3B.0C.0.5D.兀

【詳解】由題意可得：-若<0<0.5〈萬，

所以最小的數(shù)是-6.

故選A.

【專訓(xùn)9-1]（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且6-a=c?+2c+l,

b+a=?>c1—4c+l1,則a,b,c之間的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【詳解】解：,?"-a=，+2c+l=（c+l）220,

b>a,

b-a-（b+a）=c2+2c+1-（3c2-4c+11）,

?**2a=2c2一6c+10,

Q=c?—3c+5,

???Q—c=c2—4c+5=（c—2）2+120,

：.a>c,

b>a>c,

故選：A

【專訓(xùn)9-2]（2022上.北京房山.八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)〃，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確

的是（）

ab

|||1clIIj

-3-2-10123

A.a<-3B.b>lC.b-a>0D.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：-3<。<-2,0<&<1,

/.\a\>\b\,b-a>0,故AB錯(cuò)誤，C正確；

D.\'4^=\a\,病=例，\a\>\b\,

:.證》后,故D錯(cuò)誤.

故選：c.

題型十：無理數(shù)的估算

【典例10］（2021上.福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若“〈也<b,且。、匕為兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，則。+匕等于（）

A.7B.8C.9D.10

【詳解】解：?！春?lt;人,且。、b為兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，則根據(jù)16<23<25,得到4〈后<5,

..a=4,6=5,

:.a+b=4+5=9,

故選：C.

【專訓(xùn)10-11.（2023下?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）而京的值介于下列哪兩個(gè)整數(shù)之間（）

A.30,35B.35,40C.40,45D.45,50

【詳解】解：?.?402=1600,45」=2025,而1600<2023<2025,

.-.40<72023<45,

故選：C.

【專訓(xùn)10-2】（2023下?云南德宏?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知口以。45的兩條直角邊04=2,AB=3,以。為圓

心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P所表示的數(shù)介于（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【詳解】解：：。4=2,AB=3,

?,OB—VOA2+AB2=,

點(diǎn)P表示的數(shù)為JB,

?/32<（A/13）2<42,

點(diǎn)尸表示的數(shù)介于3和4之間，

故選：C.

題型十一：二次根式的化簡(jiǎn)求值

【典例11]（2023上?上海閔行?八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知x=y=年坦，求V-沖+V的值.

V3+1V3-1

3-2>/3+13+2—+1

【詳解】解：由于x==2+y/3，

(73+1)(73-1)2(若TM+1)2

則Y一移+/

=(2-A/3)2-(2-6)(2+退)+(2+后

=7-473-(4-3)+7+4石

=13；

答：——孫+,2的值為13.

【專訓(xùn)11-1]（2023上?山西運(yùn)城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若尤，y為實(shí)數(shù)，且丁=&^+>/^^1+1.求

工+J土+2-上的值.

【詳解】解：依題意得：1-4x20且4x—120,

/.l-4x=0,

?土2=i=?

.?「「2，

24

【專訓(xùn)11-2]（2022上?廣東深圳?八年級(jí)校考期中）小明在解決問題：已知。=Af，求2片-8a+l的值.他是

這樣分析與解的:

12-73

=2-石,

102+百(2+V3)(2-V3)

<2—2=—A/3,

??(a—2)—3,a?—4a+4=3,

a1—4a=-1,

.?.24z2-8tz+l=2(6i2-4?)+1=2x(-l)+l=-l.

請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

⑴化間41+石京+蘇飛+7121+7119

⑵若。=看，

①求4/_8a+l的值；

②直接寫出代數(shù)式的值d_3/+a+1=.

［詳解］(］)解.-7=-----1---7=----7=H---尸-----7=+LH------------,

■73+1y/5+y/3V7+A/55/121+5/09

=1(A/3-1+-75-73+V7-V5+---+7121-7119)

=-xlO

2

=5；

1\/2+1FT

⑵解：①”目=8巧產(chǎn)1，

,,Q-1=5/2.，

???(a-l)2=2,/-2.+1=2,

??a2—2a=1,

44—8^+1=4(〃—2〃)+1=4x1+1=5；

(2)*.*a2—2a-1,

??/—3a2+a+l

—a(a2-2a)-a?+a+1

—ci—a2+a+1

-—(a?-2a)+1

=-1+1

=0.

故答案為：0

題型十二：實(shí)數(shù)和二次根式的混合計(jì)算

【典例12]34.(2023上?廣東清遠(yuǎn)?八年級(jí)?？计谀?計(jì)算:

(1)A/36x^25(2)20X3A/5-5C⑶2x(1—+遮⑷(4/+3面)+6

【詳解】(1)解：436x425

=6x5

=30；

(2)解：273x372-576

=6^/6—5^6

=V6;

(3)解：2x(1-問+而

=2-2A/2+2A/2

=2；

(4)解:

1

=(4百+3布卜國

心

=卜^/^+3^/^)乂3

=4舟立+3屈下

33

=4+3日

【專訓(xùn)12-1】(2019上?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知2a+4的立方根是2,3a+b-1的算術(shù)平方根是3,屈■的

小數(shù)部分為c.

⑴分別求出。、6、c的值；

(2)求/+ac+bc+1的平方根.

【詳解】(1)解：：2a+4的立方根是2,

2a+4=23=8,

:.a=2,

???3a+A-1的算術(shù)平方根是3,

/.3a+b—l=32-9，

/./?=9+l-3x2=4,

?.?而的小數(shù)部分為c,且3<J已<4,

c=^13—3;

(2)解：c2+ac+bc+1

=(7T3-3)2+2(^-3)+4(A/13-3)+1

=13-6713+9+2^-6+4713-12+1

=5,\c2+ac+力c+1的平方根為土石

【專訓(xùn)12-2]36.(2022上?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)校考期末)已知AABC三條邊的長(zhǎng)度分別是4TT,,

4—(.4-尤)?,記AABC的周長(zhǎng)為C〃ABC.

⑴當(dāng)丈=2時(shí)，A4BC的周長(zhǎng)—c=(請(qǐng)直接寫出答案).

(2)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示融C的周長(zhǎng)6人放(結(jié)果要求化簡(jiǎn))，并求出x的取值范圍.如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分

別為。，b,c,三角形的面積為S,則]

若x為整數(shù)，當(dāng)Q.C取得最大值時(shí)，請(qǐng)用秦九韶公式求出“LBC的面積.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=2時(shí)，Jx+1=12+1=5J(5T)2=J(5_2y=3,=4-2=2,

1

C8ABe=#+3+2=5+乖).

故答案為：5+出；

f%+l>0

(2)根據(jù)題意，可得,八，解得-IV,

[4-x<0

5-x>0

22

CAABC=VTF1+7(5-X)+4-(A/4^)

=Jx+1+5—%+4—(4—x)

=5+Jx+1；

..?尤為整數(shù)，且QABC有最大值，

x=4或3或2或1或0或-1,

當(dāng)％=4時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為"斤=石，’（5-4）2=1,4-（。4-4）2=4,

VV5+l<4,

...此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系，故無/4,

當(dāng)x=3時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為用1=2,7（5-3）2=2,4-（。4-2）2=2,

滿足三角形三邊關(guān)系,

可設(shè)a=2,6=2,c=3,

2

22+22-32

?q-22X22-

?,uAABC-3

2

題型十三:實(shí)數(shù)的規(guī)律問題

（2022下?湖北武漢?八年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)校）若q=l+:+*,a

【典例13]2

11

，則+y[^3+…+[。2022的值為（）

%=1+下+于…

A.2021^-202220222021

B.2023-------C.2022-------D.2022------

2022202320232022

【詳解】解「?石=33"+LZ=一7,2022x2023+1

21x24962