新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：立體幾何解答題全歸類（練習(xí)）（原卷版）

專題15立體幾何解答題全歸類

目錄

01非常規(guī)空間幾何體為載體..........................................................2

題整02立體幾何探索性問題..............................................................4

題整03立體幾何折疊問題................................................................6

04立體幾何作圖問題................................................................8

05立體幾何建系繁瑣問題...........................................................11

06兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題.............................................13

07利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系.....................................................15

題瞿08空間中的點不好求...............................................................17

09創(chuàng)新定義........................................................................20

1/23

woi非常規(guī)空間幾何體為載體

1.(2023?四川南充?模擬預(yù)測)如圖所示，在圓錐。。中，。為圓錐的頂點，。為底面圓圓心,AB是圓

。的直徑，C為底面圓周上一點，四邊形/ODE是矩形.

C

(1)若點尸是的中點，求證：。尸//平面/CE；

71

(2)若AB=2,ABAC=NACE=§,求直線CD與平面ABDE所成角的余弦值.

2.（2023?新高考H）如圖，三棱錐4-8CZ）中，DA=DB=DC,BD1CD,NADB=NADC=E為

3c中點.

(1)證明

(2)點尸滿足而^刀，求二面角D-48-尸的正弦值.

2/23

3.(2023?河南?高二深河高中校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四棱臺NBCD-EFG//中，上、下底面均是正方形,

且側(cè)面是全等的等腰梯形，EG=2AC=4,上、下底面中心的連線垂直于上、下底面，且7W與側(cè)面

所成角的正切值為巫.

2

(1)求點/到平面"HG的距離；

(2)求二面角的余弦值.

4.(2023?天津和平?統(tǒng)考三模)如圖，四棱臺N3CD-4月GA中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全

等的等腰梯形，4B=24&=4,E,尸分別為DC,5C的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且

與側(cè)棱所在直線所成的角為45。.

⑴求證：32〃平面。防；

(2)求點4到平面C.EF的距離；

(3)邊8c上是否存在點使得直線4M與平面尸所成的角的正弦值為巨叵，若存在，求出線段3M的

22

長；若不存在，請說明理由

3/23

?題型02立體幾何探索性問題

5.（2023?新高考I）如圖，在正四棱柱48CD-48]G2中，48=2,441=4.點4，與，C2,3分別

在棱AAt>BBX>CCt>DR上，AA2=1，BB。=DD2=2，CC。=3.

（1）證明：32c2〃4。2；

（2）點尸在棱3月上，當(dāng)二面角尸-4。2-。2為150°時，求B7.

6.（2023?北京?高三北京八中?？计谥校┝w除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖五面體N3CDM,

四邊形48CD與四邊形NDM均為等腰梯形，其中￡1尸〃AD=4,EF=BC=AB=2,ED=M，

M為ND中點，平面3C作與平面4DM交于ER再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使

得羨除/3CDE尸能夠確定，然后解答下列各題：

（1）求證：〃平面CDE；

（2）求二面角8-ZE-尸的余弦值.

（3）在線段NE上是否存在點。，使得與平面/2E所成的角的正弦值為正，若存在，求出梨的值，若

7AE

4/23

不存在，請說明理由.

條件①：平面CDE，平面/BCD；

條件②：平面ZDEB_L平面N2CD；

條件③：EC=2A/L

7.(2021?甲卷)己知直三棱柱48C-481G中，側(cè)面44百8為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為/C

和CG的中點，。為棱4與上的點，BF1AtBt.

(1)證明：BF1DEi

(2)當(dāng)為何值時，面8與GC與面。尸E所成的二面角的正弦值最?。?/p>

8.(2021?北京)如圖，在正方體488,E為4口的中點，與。［交平面CDE交于點尸.

(I)求證：尸為用G的中點；

(H)若點M是棱4與上一點，且二面角乂-尸C-E的余弦值為如，求4絲的值.

3AXBX

5/23

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，正方形/￡>￡尸所在平面和等腰梯形/BCD所在平面相互垂直，已

知BC=4,AB=AD=2.

F,------------匪

(1)求證：AC1BF；

IPEI

(2)在線段上是否存在一點尸，使得平面尸平面5c所？若存在，求出白的值；若不存在，請說

明理由.

一題整03立體幾何折疊問題

10.(2023?江蘇蘇州?高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知圖①中四邊形/BCD是圓。的

內(nèi)接四邊形，沿8。將△/取>所在圓面翻折至如圖②所示的位置，使得4C=CD.

C

圖①

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(1)若/C8O=45。，證明：AB1OC；

(2)若反^麗二曲?麗，求二面角B-/C-。余弦值的最小值.

11.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在梯形/BCD中,AD//BC,AD±AB,BC=2AD=a,AB=6,

AC與BD交于點M,將AABD沿BD翻折至工PBD,使點A到達點P的位置.

ADP

BCBC

(1)證明：BDLPC-,

(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為五，求三棱錐尸-8。的體積.

7

12.(2023嘖州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖1,已知48FE是直角梯形，EF//AB,ZABF=90°,ZBAE=60°,

C、。分別為/￡的中點，AB=5,EF=\,將直角梯形4BFE沿CD翻折使得二面角廠-OC-3的

大小為60。，如圖2所示，設(shè)N為的中點.

當(dāng)一\F

圖1圖2

(1)證明：FNLAD■,

7/23

(2)若M為/￡上一點，且察=2,則當(dāng)幾為何值時，直線與平面/￡>￡所成角的正弦值為文.

AE14

13.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在矩形ABCD中，點￡在邊CD上，且滿足AD=DE=0CE=與,

將VNOE沿NE向上翻折，使點。到點尸的位置，構(gòu)成四棱錐尸-/8CE.

(1)若點尸在線段NP上，且EF〃平面尸BC,試確定點尸的位置;

(2)若尸8=①，求銳二面角P-EC-/的大小.

一題型.04立體幾何作圖問題

14.(2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，已知平行六面體N3CD-481GA的底面是菱形,

兀3

CD=CCl=ACl=2fZDCB=~,且cos/GCO=cos/GC8=W.

(1)試在平面內(nèi)過點C作直線/,使得直線///平面￡助，說明作圖方法，并證明：直線/〃4口；

8/23

（2）求平面3CQ與平面4BQ所成銳二面角的余弦值.

15.（2023?重慶九龍坡?高三重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐尸-48CD中，底面48CD為正

方形，。為其中心，點￡為側(cè)棱尸。的中點.

（1）作出過。、P兩點且與/E平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出簡要

作圖過程）；記該截面與棱的交點為求出比值器（直接寫出答案）；

MC

（2）若四棱錐的側(cè)棱與底面邊長均相等，求NE與平面P8C所成角的正弦值.

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐尸-48CD中，平面MNG”與直

線尸3和直線/C平行，點E為尸。的中點，點尸在CD上，且DGFC=1:2.

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(1)求證：四邊形MNG〃是平行四邊形；

(2)求作過E尸作四棱錐尸-/BCD的截面，使尸B與截面平行(寫出作圖過程，不要求證明).截面的定義:

用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.

17.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模)如圖多面體4B8EF中，面E43,面4BC。，為等邊三角形,

3

四邊形/BCD為正方形，EFUBC,S.EF=-BC=3,H,G分別為CE,CD的中點.

(1)求二面角C-FH-G的余弦值；

4P

(2)作平面與平面/BCD的交線，記該交線與直線48交點為P,寫出f■的值(不需要說明理由,

AB

保留作圖痕跡).

18.(2023?北京?北京市H~一學(xué)校?？既?四棱錐尸-48。中，底面48C。是邊長為2的菱形，

/。93=與./(7。8。=0,且尸。1平面/8。。，，點尸,G分別是線段PA尸。上的中點，￡在尸/上.

且尸4=3尸E.

(I)求證：BD//平面EFG；

(II)求直線48與平面EFG的成角的正弦值；

(III)請畫出平面E/G與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.

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一題量05立體幾何建系繁瑣問題

19.(2023?浙江臺州?高一統(tǒng)考期末)如圖，平面NDE尸，平面48cD,四邊形/DE尸為矩形，且加■為線

段E尸上的動點，ABHCD,ZABC=90°,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.

(1)當(dāng)M為線段EF的中點時，

(i)求證：平面BDM；

(ii)求直線與平面M8c所成角的正弦值；

(2)記直線與平面所成角為a，平面AMD與平面MBC的夾角為。，是否存在點”使得e=尸？若

存在，求出尸N；若不存在，說明理由.

20.(2023?江蘇南京?高一南京外國語學(xué)校校考階段練習(xí))如圖，在梯形/BCD中，AB//CD,

AD=DC=CB=l,ZABC=60°,四邊形ZC在'為矩形，平面NCFF_L平面48。，CF=\.

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F

E

D

a、B

(1)求證：BCmACFE,

(2)求二面角尸-C的平面角的余弦值;

(3)若點M在線段E尸上運動，設(shè)平面與平面尸C3所成二面角的平面角為0(0490。)，試求cos。的范圍.

21.(2023?重慶?統(tǒng)考三模)如圖，四面體/BCD的頂點都在以N3為直徑的球面上，底面8C〃是邊長為

V3的等邊三角形，球心。到底面的距離為1.

(1)求球O的表面積；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值.

22.(2023?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，在平行四邊形/BCD中，AB=2BC=873.NDAB=三,

￡為邊48的中點，將V4DE沿直線OE翻折為,若尸為線段/'C的中點.在V4DE翻折過程中，

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A'

(1)求證：3尸〃平面MOE；

(2)若二面角A'-DE-C=60。,求HC與面A'ED所成角的正弦值.

7T

23.(2023?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))四面體D-N8C中=AC=2BC=2,

jr

ZBCD=ZACD=-,CD=a,CD<BC,E為/C中點.

4

(1)證明：CD1BE；

(2)若二面角E-2。的余弦值為亭，求。的值.

一題瞿06兩角相等(構(gòu)造全等)的立體幾何問題

24.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐/-3C。中,“BC是等邊三角形,/34D=NBCD=90。,點

P是4c的中點，連接BRDP.

(1)證明:平面/CD_L平面ADP;

(2)若BD二戈，且二面角4-8。-C為120。,求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.

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25.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐"-BCD中，是等邊三角形，NBAD=NBCD=90。,

點尸是/C的中點，連接AP,DP

⑴證明：平面/CD_L平面8DP；

⑵若cos/BPD=-*,求三棱錐/-BCD的體積.

26.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐。-48C中，AABC為等邊三角形,NDAC=NDAB,NBCD

面積是AA8C面積的兩倍，點M在側(cè)棱4D上.

（1）若3W_L4D,證明：平面/CD_L平面BCA/；

__27r

（2）若二面角。-5C-4的大小為行■,且"為4。的中點，求直線攻與平面力CD所成角的正弦值.

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27.（2023?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末）如圖所示，四面體48C。中，AA8C是正三角形，A4co是直角三

角形，。是ZC的中點，且NABD=NCBD,4B=BD.

（2）過NC的平面交于點E,若平面NEC把四面體4BCD分成體積相等的兩部分，求二面角。-4E-C

的余弦值.

W07利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

28.（2023?江蘇徐州?高三統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐尸-/3C中，側(cè)面尸NB是銳角三角形，PA1BC,

平面平面

(1)求證：AB1BC-,

（2）設(shè)以=尸8=2,/C=4,點。在棱（異于端點）上，當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大時，若二面角C-PA-D

大于30。，求線段長的取值范圍.

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29.(2023?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中)己知三棱柱/3C-481G，AB=AC=2,

AA,=3,ZA.AB=AAXAC=ABAC=60°,為線段/。凈4上的點，且滿足繆=黑=X。＜，＜D.

⑴求證：〃平面NBC；

(2)求證：BBJBC；

(3)設(shè)平面A/M4n平面48C=/,已知二面角M-/-C的正弦值為辛，求f的值.

30.(2023?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在正三棱臺/3C-4耳G中，側(cè)棱長為1,且BC=2B1cl=2,E為

4G的中點，。為“4上的點，且?！辏邢?/p>

(1)證明：DE2平面BCCM，并求出的長;

(2)求平面BDE與平面ABC夾角的余弦值.

31.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)如圖所示，在四棱錐尸-48CD中，底面/BCD為矩形，側(cè)面尸40為正

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三角形，且4。=248=4,M、N分別為尸。、BC的中點，”在線段尸C上，S.PC=3PH.

⑴求證：AGV//平面尸48；

(2)當(dāng)尸C時，求平面與平面的夾角的余弦值.

題亶08空間中的點不好求

32.(2023?云南臨滄?高二?？计谥?己知四棱錐尸-A8C。，底面ABC。為菱形，PD=PB,H為PC上

的點，過/〃的平面分別交尸8/。于點且助〃平面

(1)證明：MNLPC-,

(2)當(dāng)a為尸C的中點，P4=PC=//反PZ與平面/BCD所成的角為60。，求平面尸與平面4W所成的

銳二面角的余弦值.

33.(2023?浙江?高三浙江省新昌中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖，在四棱臺池8-48。12中，底面/BCD是

17/23

IT

邊長為2的菱形，NDAB=,平面灰平面/BCD,點Q,O分別為耳3。的中點,

O.B=\,ZAXAB,ZOXBO均為銳角

⑴求證：AC±BBX-

（2）若異面直線。。與441所成角正弦值為叵，四棱錐4-/BCD的體積為1,求二面角8-N4-C的平面

7

角的余弦值.

34.（2023?廣東?高三茂名市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，底面N3CZ）是

矩形，AB=2,PA=PB=BC=A，PD=PC=&

BC

（1）求證：平面P48_L平面尸CD；

（2）求直線尸N與平面P3C所成角的正弦值.

35.（2023?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體/3CDE中，底面為以/C為斜邊的

等腰直角三角形.已知平面48cl平面4c。，平面45cl平面〃平面48C,/。_L.

18/23

D

(1)證明：DE工平面/CD；

(2)若ZC=2CD=2,設(shè)“為棱BE的中點，求當(dāng)幾何體/8CDE的體積取最大值時與CD所成角的正切

值.

36.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，已知四邊形/BCD為正方形，。為正方形對角線的交點，平面/團立乂口

平面MNDC=MN,MB=MC=45,AB=MN=2.

⑴求證：平面MV。_L平面；

(2)求平面AMC和平面/ND所成角的余弦值的最小值.

37.(2023?重慶?高三重慶八中?？茧A段練習(xí))如圖甲是由梯形/BCD,48跖組成的一個平面圖形，其

中AB"DC,AD=BC,DE1AB,DC=AE=EF=1,BF=DE.如圖乙，將其沿DE,￡5折起使得E4

19/23

與E尸重合，連接尸C,直線即與平面BE戶所成角為60。.

(1)證明：EF工BF；

(2)求圖乙中二面角E-BF-C的正弦值.

一題整09創(chuàng)新定義

38.(2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知頂點為S的圓錐面(以下簡稱圓錐S)與不經(jīng)

過頂點S的平面a相交，記交線為C,圓錐S的軸線/與平面a所成角6是圓錐S頂角(圓S軸截面上兩條母

線所成角6的一半，為探究曲線。的形狀，我們構(gòu)建球7,使球T與圓錐S和平面a都相切，記球T與平面a

的切點為尸，直線/與平面a交點為/,直線N廠與圓錐S交點為。，圓錐S的母線OS與球7的切點為

\OM\=a,\MS\=b.

(1)求證：平面S04_L平面a,并指出a,b,。關(guān)系式;

(2)求證：曲線C是拋物線.

20/23

39.（2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？级＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)

是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐J-CDE,K-EFA,再分別以/C,CE,以為軸將

KEJ,AE/K分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如

圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率

之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面