北京市順義某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)4月月考數(shù)學(xué)試卷

牛欄山一中20232024學(xué)年第二學(xué)期4月考試

局一數(shù)學(xué)

2024.04

第I卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中只有一是符合題目）

1.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，若它所經(jīng)過的路程與時(shí)間的關(guān)系為MO=4"—2（s（“的單位：m,r的單位：

s）,則1=2時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A.16m/sB.14m/sC.13m/sD.12m/s

【答案】A

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率.

【詳解】s（/）=4?-2,則，⑺=8/,有s'（2）=16,

所以?=2時(shí)的瞬時(shí)速度為16m/s.

故選：A

2.在（2x+l）6的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第7項(xiàng)B.第3和第4項(xiàng)C.第4項(xiàng)D.第3項(xiàng)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)直接求出結(jié)論.

【詳解】二項(xiàng)式（2x+Ip的展開式有7項(xiàng)，

所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng).

故選：C

3.已知函數(shù)/（x）=?,則在（2,/（2））點(diǎn)處的切線斜率是（）

A.72B.；C.2D.叵

24

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)Ax）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率.

【詳解】函數(shù)y(x)=6,求導(dǎo)得了'(x)=5，

所以所求切線的斜率為廣(2)='=9.

故選：D

4.下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是()

A.(x2+3e)=2x+3exB.(2sinx-3)f=2cosx

」nx、，1+lnx

C.(—)'=—―D.(xcosx)'=cosx-xsinx

%%■

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)求導(dǎo)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,(%2+3eiy=：(x2)'+(3ex)'=2x+3ex,A正確；

對(duì)于B,(2sinx-3)'=(2sinx)'-(3)'=2cosx,B正確；

對(duì)于C,Jnx、,_FxTnx_i—[nx,c錯(cuò)誤；

()-2-2

XXX

對(duì)于D,(%cosx)f=cosx+x-(cosx)"=cosx-xsinx,D正確.

故選：C

5.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減的是()

A./(%)=-1"B,/(x)=lnx-x2C./(x)=-x2+xD,f(%)=x3-%2+3

23

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：/(%)=一1°81工定義域?yàn)?0,+°),且ra)=——-T>0,

2xlni

所以了(%)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：/(x)=lnx—f定義域?yàn)?o,+8),/[(x)J2工=>2x2=+衣,

XXX

所以當(dāng)o<%<曰時(shí)/^)>。，當(dāng)x〉冬時(shí)r(x)<。.

即7(%)在0,^-上單調(diào)遞增，在為-,+8上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤;

、2JI2,

對(duì)于C：=+x=+；,

所以了(%)在1-00，：］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：〃x)=—gr5一犬+3定義域?yàn)镽,又/<％)=-兀2-2%=-%(%+2),

所以％<—2或x>0時(shí)當(dāng)—2<x<0時(shí)/^*)>0，

所以〃%)在(—8,—2),(0,+")上單調(diào)遞減，在(—2,0)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

6.在0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)中任取4個(gè)，可組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)()

A.240B.300C.320D.360

【答案】B

【解析】

【分析】由分步乘法原理計(jì)算可得.

【詳解】分步完成，

第一步，首位數(shù)字不能為零，有5種取法；

第二步，其余三位數(shù)可以從剩下的五位數(shù)中任取三位，共有A；=60種取法;

所以一共有5x60=300種,

故選：B.

7.如圖所示為函數(shù)八盼的導(dǎo)函數(shù)圖象，則下列關(guān)于函數(shù)/(盼的說法正確的有()

①單調(diào)減區(qū)間是［-2,2］；②-4和4都是極小值點(diǎn);

③沒有最大值；④最多能有四個(gè)零點(diǎn).

A.①②B.②③C.②④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，求出函數(shù)，(x)的單調(diào)區(qū)間，再逐一分析各個(gè)命題判斷得解.

【詳解】觀察圖象知，當(dāng)x<—4或0<x<4時(shí)，f\x)<0,當(dāng)T<x<0或x>4時(shí)，f\x)>0,

因此函數(shù)在(—",-4),(0,4)上單調(diào)遞減，在(—4,0),(4,+”)上單調(diào)遞增，

函數(shù),⑺在［-2,2］上不單調(diào)，①錯(cuò)誤；

T和4都是極小值點(diǎn)，②正確；

函數(shù)/⑴在％=0取得極大值，

當(dāng)了⑼不小于函數(shù)/⑺在(—",-4),(4,+“)上的所有函數(shù)值時(shí)，函數(shù)AM有最大值，③錯(cuò)誤；

當(dāng)f(0)>0,/(T)<0,/(4)<0,且函數(shù)函數(shù)/(x)在—4),(4,+”)上的圖象都與x軸相交時(shí)，

函數(shù)/3在(—8,7),(7,0),(0,4),(4,+”)上各有1個(gè)零點(diǎn)，共有4個(gè)零點(diǎn)，

因此/(x)最多能有四個(gè)零點(diǎn)，④正確，

所以關(guān)于函數(shù)Ax)的說法正確的有②④.

故選：C

8.若函數(shù)/(x)=2+adnx存在極大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a<0B.a>QC.a<0D.a>Q

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分。=0、。>0、“<0三種情況討論，分別得到函數(shù)的單調(diào)性，從

而確定函數(shù)的極值點(diǎn)，即可判斷.

【詳解】函數(shù)/(x)=2+G：lnx的定義域?yàn)?0,+e),

又=a(lnx+l),

當(dāng)。=0時(shí)/(%)=2為常數(shù)函數(shù)，不存在極值，故舍去，

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=0,解得x=L則當(dāng)0<x<1時(shí)尸(x)<0,當(dāng)x〉工時(shí)用^)>0,

eee

所以在|o,j上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則了（%）在》=L處取得極小值，不存在極大值，不符合題意；

當(dāng)時(shí),令/'（x）=0,解得X=L則當(dāng)0＜x＜:時(shí)制x）＞0,當(dāng)龍〉工時(shí)r（x）＜0,

eee

所以/（%）在［o,［］上單調(diào)遞增，在［g,+s］上單調(diào)遞減，

則〃％）在x=（處取得極大值，符合題意；

綜上可得avO.

故選：A

9.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/（x）,若當(dāng)XW1時(shí)滿足」020,則必有（）

X-1

A./（0）+/（2）＜2/⑴B./（0）+/（2）＜2/（1）

C./（0）+/（2）＞2/（1）D./（0）+〃2）＞2/⑴

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定不等式，得到函數(shù)/（X）在X＜1、X＞1時(shí)的函數(shù)值變化關(guān)系，結(jié)合不等式性質(zhì)推理得解.

【詳解】由1@20,得當(dāng)即％＞1時(shí)，f\x）＞Q,函數(shù)/⑺不單調(diào)遞減，則/（2）2/⑴；

x-1

當(dāng)X—1＜0,即尤＜1時(shí)，/（x）＜0,函數(shù)/⑺不單調(diào)遞增，則/WNAD；

由不等式的性質(zhì)得：/（0）+/（2）＞2/（1）.

故選：C

10.己知函數(shù)/（x）=；o?—x?+4,若了⑴有且只有一個(gè)零點(diǎn)飛,且x°＞0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)/（尤）的導(dǎo)數(shù)，按a=0,a＞0,a＜0分類，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、極值討論函數(shù)的零點(diǎn)是否符合

題設(shè)要求即可得解.

【詳解】顯然awO,否則函數(shù)AM有-2,2兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意,

i2

函數(shù)/(x)=—ax3-%2+4,求導(dǎo)得f\x)=ax2-2x=ax(x——),

3a

2

當(dāng)a＞0時(shí)，由/'(x)＞。，得xvO或％〉一，函數(shù)/(%)在(—8,0)上單調(diào)遞增，

a

Q

/(-2)=--^＜0,/(0)=4＞0,則函數(shù)/(幻在(—8,0)上有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

22

當(dāng)。＜0時(shí)，由/(無)＜。，得％＜一或%＞0,由廣(%)＞。，得一＜%＜0,

aa

22

函數(shù)在(-8,—),(0,+8)上單調(diào)遞減，在(一,0)上單調(diào)遞增，

aa

224

當(dāng)元=—時(shí)，"X)取得極小值/(一)=4——當(dāng)x=0時(shí)，/⑺取得極大值/(0)=4,

aa3a

Q

而/(2)=-a＜0,則/(x)在(0,+oo)上有唯一零點(diǎn)，

因?yàn)?⑺有且只有一個(gè)零點(diǎn)吃,且無。＞0,則當(dāng)且僅當(dāng)/(2)=4一上＞0,于是

a3a3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-oo,-#).

故選：A

第II卷

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)

11.口袋中有4個(gè)紅球，5個(gè)白球，且都編有不同號(hào)碼，現(xiàn)要從中取出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的不同取法有

種.(用數(shù)字作答)

【答案】30

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及組合應(yīng)用問題列式計(jì)算即得.

【詳解】求不同取法種數(shù)，需要兩步，先取出一個(gè)白球，有C；種方法，

再取出兩個(gè)紅球，有cj種方法，

由分步計(jì)數(shù)乘法原理得不同取法有C；c；=5x6=30(種).

故答案為：30

12.(x—2)5的展開式中含d的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】40

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】（x—2）5的展開式中通項(xiàng)公式為（+1=C；y5f.（一2丫，

令5—廠=3,解得r=2,

展開式中含V項(xiàng)是第3項(xiàng)，它的系數(shù)是C〉（-2）2=40.

故答案為：40.

13.現(xiàn)有3名女生，3名男生要站成一排，則男生甲不能站在左端，并且3名女生必須相鄰的不同排列方式

有種.（用數(shù)字作答）

【答案】108

【解析】

【分析】把3名女生視為一個(gè)整體，利用相鄰問題及有位置限制的排列問題，列式計(jì)算即得.

【詳解】把3名女生視為一個(gè)整體，與除甲外的另2名男生任選一個(gè)在左端，有A；種方法，

再把甲與余下兩個(gè)作全排列，有A；種方法，最后排相鄰的3名女生，有A；種方法，

所以不同排列方式有A；A：A；=3x6x6=108（種）.

故答案為：108

14.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員1人組成3人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至

少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

【答案】216

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分為1女2男和2女1男，再利用排列、組合求解每類的種數(shù)，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，即可求

解.

【詳解】第一類，選1女2男，有C[C；=30種，

這3人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有A；=6種，故有30x6=180種；

第二類，選2女1男，有C，C；=6種，這3人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有A；=6種，

故有6義6=36種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有180+36=216種，

故答案為：216

v2-r

15.已知函數(shù)~下列命題中：

er

①函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

②函數(shù)/（幻在區(qū)間（0,1）和（1,2）內(nèi)各存在1個(gè)極值點(diǎn)；

③函數(shù)不存在最小值;

④V%e（l,+oo）,叫e（-oo,0）,使得/（石）＞/（42）；

⑤存在負(fù)數(shù)。，使得方程/（%）=。有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①④

【解析】

【分析】求出/⑴的定義域及導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)、極值點(diǎn)及最小值的意義逐一判斷各個(gè)命題得解.

【詳解】函數(shù)/（x）=三二二的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得r（x）=_k—3x+l,

e%e%

對(duì)于①，由/（%）=。，得x=0或x=1,函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，①正確；

對(duì)于②，由/'（x）=0,即爐一3x+l=0,解得尤=三叵或x=

22

%〈匕叵或X〉三五時(shí)，/（龍）＜0,當(dāng)士且＜x＜i±@時(shí)，八x）＞0,

2222

即3—J?3+J?目文物分、的用佰占而3+J?0口

即———,——匚是函數(shù)/（尤）的極值點(diǎn)，而^———＞2＞②錯(cuò)誤；

222

對(duì)于③，顯然函數(shù)AX）在（-00,15）,（主段,+00）上遞減，在（三叵,當(dāng)j）上遞增，

而當(dāng)尤＞1時(shí)，/（x）＞0恒成立，又/（X）的極小值/（與5）＜/（0）=0，

因此/（之F）是f（x）的最小值，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由于Vxe（l,+°o）,/（x）＞。恒成立，當(dāng)x-＞+co時(shí)，“無）-0,

因?yàn)?（0）=0,所以*2€（—8,0）時(shí)，使得/（X]）＞/（%），④正確；

對(duì)于⑤，顯然當(dāng)XW0或X21時(shí)，/（%）＞0,而當(dāng)0＜x＜iz好時(shí)，"X）遞減，

2

當(dāng)土避＜%＜1時(shí)，/（刈遞增，且當(dāng)0＜%＜1時(shí)，/（%）＜0,

2

因此直線y=a（a＜0）與函數(shù)y=/（尤）的圖象最多有兩個(gè)公共點(diǎn),

即方程于3=a（a<0）最多有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，⑤錯(cuò)誤，

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④.

故答案為：①④

三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明過程或演算步驟.）

16.己知[％—2）的二項(xiàng)展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的和是48.

（1）求〃的值以及展開式的通項(xiàng)；

（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

（3）直接寫出展開式系數(shù)最大的項(xiàng).

【答案】⑴n=6,通項(xiàng)為&i=G（—2）'產(chǎn)2「，r=0」,2,…,6；

⑵-160；

（3）240x-2

【解析】

【分析】（1）寫出通項(xiàng)公式<+i=C；（—2丫尤"-2，,得到第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)，得到方程，求出〃=6,進(jìn)

而得到通項(xiàng)；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到廠=3,求出常數(shù)項(xiàng)；

（3）當(dāng)「為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)『為偶數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，列舉出「為偶數(shù)時(shí)各項(xiàng)的系數(shù)，

比較后得到答案.

【小問1詳解】

rnrrrn2r

21的通項(xiàng)公式為（+1=Cnx-（-2）x-'=C'n（-2）x-,

第二項(xiàng)的系數(shù)為C：（―2）=—2〃，第三項(xiàng)的系數(shù)為C；（—2）2=4X〃（；T）=In1-In,

故—2〃+2/—2n=48,解得〃=6,負(fù)值舍去，

r

故展開式的通項(xiàng)為Tr+X=C；（-2）產(chǎn)2,，r=o,1,2,…,6；

【小問2詳解】

由（1）知（+]=晨（一2y■龍6-2,,r=0,1,2,…,6,

令6—2廠=0,解得r=3,故n=或（—2）3=—160,

故常數(shù)項(xiàng)為-160；

【小問3詳解】

系數(shù)最大的項(xiàng)為240式2,理由如下：

由通項(xiàng)公式可得，廠=0,1,2,…,6,

當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，

故當(dāng)廠=0時(shí)，7j=C：(—2)°f=%6,當(dāng)廠=2時(shí)，4=《(一2)2尤2=60f，

當(dāng)廠=4時(shí)，(=C：(—2)4/=240鏟，當(dāng)廠=6時(shí)，7；=C：(―2『-=64一,

故展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為240k2.

17.已知函數(shù)/(x)=x3-x2-ax+2iSix-l時(shí)取得極值.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)Ax)在區(qū)間［-2,2］上的最小值.

【答案】(1)遞增區(qū)間是(—0—；),(1,+8),遞減區(qū)間是(—；」)；

(2)-8.

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)八無)的導(dǎo)數(shù)，由給定的極值點(diǎn)求出。值并驗(yàn)證，再解導(dǎo)數(shù)大于0、小于0的不等式即

得.

(2)利用(1)中單調(diào)區(qū)間求出極小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值即得.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=x3-x2-ax+2,求導(dǎo)得/'(x)=3x2-2x-a,

由函數(shù)〃x)在x=l時(shí)取得極值，得/''(1)=1—。=0,解得。=1,

此時(shí)/'(x)=3/—2x—l=(3x+l)(x—1),顯然x=l是/(x)的變號(hào)零點(diǎn)，即x=l是極值點(diǎn)，

因此a=l,_f(x)=3(x+g)(x—1),當(dāng)x<—g或X>1時(shí)，r(x)>0,當(dāng)—g<x<l時(shí)，r(x)<0,

所以函數(shù)/(X)的遞增區(qū)間是(―8,—J,(1,+8),遞減區(qū)間是,1).

【小問2詳解】

由(1)知，函數(shù)/(x)=Y—X+2的在-2,—；),(1,2］上單調(diào)遞增，在(一；,1)上單調(diào)遞減，

/(-2)=(—2)3—(—2)2-(-2)+2=-8,/(I)=13-12-1+2=1,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最小值是-8.

18.己知函數(shù)/(x)=xlnx+l,g^x)=x-a\wx,其中aeR.

⑴求證：對(duì)任意xe(0,+oo),總有/(%)之光恒成立；

(2)求函數(shù)g(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值；

(3)當(dāng)a<0時(shí)，求證：函數(shù)//(%)=/(%)—8(同在區(qū)間(1,+8)上存在極值.

【答案】(1)證明見解析

1,<7<1

(2)g(x).=\e-a,a>e

a-alna,l<a<e

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)依題意可得xlnx+1—為之。對(duì)任意的xe(0,+co)恒成立，4m(x)=xlnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)

說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得證；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分aWO、。>0兩種情況討論得到g(x)在(0,+。)上的單調(diào)性，再結(jié)合所給區(qū)

間，分3種情況討論函數(shù)的最小值；

(3)利用導(dǎo)數(shù)說明導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，以及隱零點(diǎn)的思想證明即可.

【小問1詳解】

依題意/(九)之九對(duì)任意的xe(0,"o)恒成立，

即xlnx+1—無之。對(duì)任意的xe(O,4w)恒成立，

令加(x)=xlnx-x+1,xe(0,+co),

則/”(％)=lnx,所以當(dāng)0cx<1時(shí)加(x)<0,當(dāng)x〉l時(shí)機(jī)'(x)>0,

所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以7?(x)niin=m(l)=0,則以(x)20恒成立，

即/(龍)2%對(duì)任意的xe(0,+oo)恒成立；

小問2詳解】

因?yàn)間(x)=x-alnx,則==

JCX

①當(dāng)aW0時(shí)g'(x)>0,所以g(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增,

當(dāng)》?l，e］時(shí)g(xL=g6=L

②當(dāng)a>0則0<x<a時(shí)g'(%)<0,x>a時(shí)g'(x)>0,

即g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

又xe［l,e］,

所以當(dāng)0<a<l時(shí)g(x)在［l,e］上單調(diào)遞增,所以g(x)1nhi=g(l)=l；

當(dāng)a^e時(shí)g(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，所以g(x)1nhi=g(e)=e-a；

當(dāng)l<a<e,則glxj疝n=g(a)=a—aMa；

l,a<l

綜上可得g(x)mm=<e-a,aNe

a—a］na,l<a<^

【小問3詳解】

因?yàn)?z(x)=/(x)-g(x)=(x+a)lnx+l-x,xe(l,+oo),

則/z"(x)=lnx+%+6Z-l=lnx+—,

xx

令方(%)=/1'(%)=111%+3,貝!J=---^-=X,

JCXJCX

因?yàn)椤?lt;0,所以尸(x)>0恒成立，

所以歹(x)即h'(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

又“⑴=a<0,當(dāng)xf+8時(shí)Inxf+oo,@f0(a<0),所以"(x)f,

所以W(1,+8)使得〃'(九O)=O,

則當(dāng)xe(1,%)時(shí)h'(x)<0,h［x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x?M，+ao)時(shí)〃(x)>0,〃⑴單調(diào)遞增，

所以/?(%)在x=%處取得極小值，

即函數(shù)//(%)="%)-8(%)在區(qū)間(1,+°0)上存在極值.

19.已知函數(shù)/(九)=e"sin元.

(1)求曲線>=/(%)在點(diǎn)(0"(。))處的切線方程；

7T

(2)判斷函數(shù)/⑺在區(qū)間(0,-)上的單調(diào)性；

(3)是否存在xe(0,7T1),使得了(無)之公成立，若存在，求出。的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=%；

71

(2)遞增；(3)存在，〃(2e?.

兀

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)由導(dǎo)數(shù)值恒正判斷函數(shù)AM單調(diào)遞增.

(3)假定存在，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)g(x)=2吧,xe(0,四)，利用導(dǎo)數(shù)探討最大值即可得解.

x2

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=e*sinx,求導(dǎo)得fr(x)=e*(sinx+cosx)=sin(x+—)，

4

則/'(0)=1,而/(0)=。，所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為丁=匕

【小問2詳解】

當(dāng)xe(0,7)時(shí)，x-\—e(―,—),<sin(x+—)<1>因此/'(尤)>。，

244424

7T

所以函數(shù)/S)在區(qū)間(0,萬)上的單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

假定存在Xe(0止)，使得了(%)2依成立，即存在龍?(0百，不等式a<0B人成立，

22x

令g(%)=立g,xe(0,-),求導(dǎo)得g'(%)=父(sinx+cosx-亞)，

x2xx

■jrjr

令/z(x)=x—sinx,xe(0,5),求導(dǎo)得旗光)=1-cosx>0,即函數(shù)〃(x)在(0,鼻)上遞增，

則〃(x)>丸(0)=。，即X>sinx>0,于是以m<1,而sinx+cosx=0sin[x+；)〉l,

It71

因此g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(O,])上單調(diào)遞增，Vxe(O,]),g(x)<g(S=2￡l，則q(”,

2兀兀

7T

所以。的取值范圍是〃<2e?.

兀

20.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+l)—ax,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線斜率為1.

(1)求。的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(%),判斷函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)求證:#(x)>0.

【答案】(1)。=1

(2)。個(gè)

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；

(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得單調(diào)區(qū)間，再求出極小值，即可判斷；

(3)結(jié)合(2),可得了(%)在(-1,+8)為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，即可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意得/(x)=(x+2)ln(x+l)—㈤:的定義域?yàn)?—1,+8),

又/''(%)=ln(x+l)+------a,

X+1

因?yàn)?'(0)=1，所以lnl+2-a=l,解得a=l.

【小問2詳解】

由⑴可得〃x)=(x+2)ln(x+l)-x,

x+2

則g(x)=/,(x)=ln(x+l)+------1,8(％)的定義域?yàn)?-1,+8),

JC+1

1/\11X

令g'(x)=0,得x=0,

g(x)與g'(x)在區(qū)間(0,+。)上的情況如下:

(TO)0(0,+oo)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+"),

又g(O)=lnl+2-1=1>0,所以g(x)>0恒成立，

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

【小問3詳解】

由⑵得，在％=0時(shí)，g(x)取得最小值1,所以制x)>0恒成立，

所以“可在(T+8)為增函數(shù)，又因?yàn)椤?)=。，

當(dāng)一1<九<0時(shí)，/(%)<0,所以4(尤)>0；

當(dāng)尤>0時(shí)，/(%)>0,所